5,288 matches
-
ilustra statutul special al matematicii în raport cu alte discipline (în special cu filosofia), Kant pleacă de la practica matematică a vremurilor sale. Unul dintre exemplele de care se folosește el este cel al demonstrației geometrice (euclidiene) a teoremei că suma unghiurilor unui triunghi este egală cu două unghiuri drepte (i.e. este egală cu 180o). Să ne oprim un pic asupra acestei demonstrații pentru a vedea cum procedează matematicianul pentru a ajunge la teorema de mai sus. După Kant, există doar două căi pe
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
doar dezvăluind structura conceptelor noastre sau printr-o sinteză, situație în care această recunoaștere are nevoie de ajutorul intuiției. Cum această intuiție poate fi de două feluri, putem distinge între trei abordări posibile ale problemei raportului dintre suma unghiurilor unui triunghi și un unghi drept. Să le luăm pe rând pentru a vedea care dintre acestea poate fi considerată drept sursa cunoașterii matematice și pentru a vedea prin ce se caracterizează fiecare. 1.1.1. Sinteticitatea judecăților matematice Putem ajunge prin intermediul
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
luăm pe rând pentru a vedea care dintre acestea poate fi considerată drept sursa cunoașterii matematice și pentru a vedea prin ce se caracterizează fiecare. 1.1.1. Sinteticitatea judecăților matematice Putem ajunge prin intermediul unei analize conceptuale a conceptului unui triunghi la teorema noastră? Cum cel mai în măsură să întreprindă o astfel de analiză ar fi filosoful, putem reformula întrebarea astfel: dacă i se dă unui filosof conceptul unui triunghi și i se cere "să găsească în felul lui raportul
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
matematice Putem ajunge prin intermediul unei analize conceptuale a conceptului unui triunghi la teorema noastră? Cum cel mai în măsură să întreprindă o astfel de analiză ar fi filosoful, putem reformula întrebarea astfel: dacă i se dă unui filosof conceptul unui triunghi și i se cere "să găsească în felul lui raportul dintre suma unghiurilor lui și un unghi drept" (CRP, p. 524) poate ajunge el la teorema de mai sus? Răspunsul este negativ. După Kant, "în zadar aș filosofa, adică aș
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
cere "să găsească în felul lui raportul dintre suma unghiurilor lui și un unghi drept" (CRP, p. 524) poate ajunge el la teorema de mai sus? Răspunsul este negativ. După Kant, "în zadar aș filosofa, adică aș reflecta discursiv asupra triunghiului, fără a ajunge prin aceasta câtuși de puțin mai departe decât la simpla definiție, de la care însă ar trebui tocmai să încep" (ibidem, p. 526). Prin analiză, nu putem obține mai mult decât o clarificare a conceptelor de linie dreaptă
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
încep" (ibidem, p. 526). Prin analiză, nu putem obține mai mult decât o clarificare a conceptelor de linie dreaptă, de unghi și de numărul trei, iar aceasta este departe de ce ne trebuie nouă pentru a demonstra că suma unghiurilor unui triunghi este egală cu 180o. Aceasta nu este, însă, singura cale pe care o poate urma filosoful. Ne putem gândi că acesta are totuși o șansă de a ajunge la teorema noastră, imediat ce realizăm că la baza geometriei euclidiene stau anumite
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
de mai sus ne-am folosit de un truc pentru a arăta că filosoful nu poate ajunge cu ajutorul întrebuințării discursive a rațiunii la teorema noastră, și anume prin aceea că i-am dat un punct de plecare greșit: conceptul de triunghi. De fapt, pentru a ajunge la această teoremă, trebuie să plecăm de la axiomele geometriei euclidiene folosindu-ne doar de ce ne pune la dispoziție o întrebuințare a rațiunii din concepte. Din câte se pare, am reușit să găsim un răspuns parțial
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
la dispoziție o întrebuințare a rațiunii din concepte. Din câte se pare, am reușit să găsim un răspuns parțial afirmativ la întrebarea de la care am plecat: putem ajunge la teorema noastră printr-o analiză conceptuală, dar nu a conceptului de triunghi, ci a axiomelor geometriei. Cineva ne poate opri în acest punct pentru a ne atrage atenția că îi atribuim lui Kant o viziune pe care cu siguranță nu a susținut-o. Noutatea filosofiei sale a matematicii constă tocmai în aceea
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
această discuție a fost încercarea noastră de a afla dacă putem ajunge la o teoremă matematică doar cu ajutorul analizei conceptuale. Am văzut că, în principiu, am avea două căi la dispoziție, în funcție de alegerea punctului de plecare: plecând de la conceptul unui triunghi sau plecând de la axiomele geometriei. Dacă plecăm de la conceptul unui triunghi, nu putem ajunge, cu ajutorul analizei conceptuale mai departe decât simpla definiție a conceptului. Dacă plecăm de la axiomele geometriei, situația se complică un pic. Am putea ajunge la o teoremă
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
ajunge la o teoremă matematică doar cu ajutorul analizei conceptuale. Am văzut că, în principiu, am avea două căi la dispoziție, în funcție de alegerea punctului de plecare: plecând de la conceptul unui triunghi sau plecând de la axiomele geometriei. Dacă plecăm de la conceptul unui triunghi, nu putem ajunge, cu ajutorul analizei conceptuale mai departe decât simpla definiție a conceptului. Dacă plecăm de la axiomele geometriei, situația se complică un pic. Am putea ajunge la o teoremă matematică folosindu-ne doar de analiza conceptuală, dacă plecăm de la un
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
între cunoașterea filosofică și cea matematică. La baza acestei distincții stă, așa cum am văzut, ideea lui Kant că cunoașterea matematică înaintează doar prin construirea conceptelor. Astfel, dacă "geometrul se ocupă de această problemă [a găsirii raportului dintre suma unghiurilor unui triunghi și un unghi drept] începe prin a construi un triunghi. Fiindcă știe că două unghiuri drepte fac împreună cât toate unghiurile adiacente care pot fi trase dintr-un punct pe o linie dreaptă, el prelungește o latură a triunghiului său
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
stă, așa cum am văzut, ideea lui Kant că cunoașterea matematică înaintează doar prin construirea conceptelor. Astfel, dacă "geometrul se ocupă de această problemă [a găsirii raportului dintre suma unghiurilor unui triunghi și un unghi drept] începe prin a construi un triunghi. Fiindcă știe că două unghiuri drepte fac împreună cât toate unghiurile adiacente care pot fi trase dintr-un punct pe o linie dreaptă, el prelungește o latură a triunghiului său și obține două unghiuri adiacente care sunt egale cu două
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
unui triunghi și un unghi drept] începe prin a construi un triunghi. Fiindcă știe că două unghiuri drepte fac împreună cât toate unghiurile adiacente care pot fi trase dintr-un punct pe o linie dreaptă, el prelungește o latură a triunghiului său și obține două unghiuri adiacente care sunt egale cu două unghiuri drepte. Apoi împarte unghiul extern trasând o linie paralelă cu latura din fața triunghiului și vede că aici rezultă un unghi extern adiacent, care este egal cu un unghi
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
pot fi trase dintr-un punct pe o linie dreaptă, el prelungește o latură a triunghiului său și obține două unghiuri adiacente care sunt egale cu două unghiuri drepte. Apoi împarte unghiul extern trasând o linie paralelă cu latura din fața triunghiului și vede că aici rezultă un unghi extern adiacent, care este egal cu un unghi intern etc. El ajunge în felul acesta printr-un lanț de raționamente călăuzit permanent de intuiție la rezolvarea absolut clară și totodată generală a problemei
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
are Kant în vedere atunci când spune că cunoașterea matematică este o cunoaștere din construirea conceptelor. După el, esențial pentru demonstrația matematică este abilitatea matematicianului de a produce figuri construindu-le. Astfel, în cazul teoremei despre raportul dintre suma unghiurilor unui triunghi și un unghi drept, demonstrația este ghidată de construcții pe un triunghi dat. Pentru a ajunge la această demonstrație, geometrul trebuie să înceapă "prin a construi un triunghi". După asta, el continuă prelungind BC în E și trasând CD paralel
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
din construirea conceptelor. După el, esențial pentru demonstrația matematică este abilitatea matematicianului de a produce figuri construindu-le. Astfel, în cazul teoremei despre raportul dintre suma unghiurilor unui triunghi și un unghi drept, demonstrația este ghidată de construcții pe un triunghi dat. Pentru a ajunge la această demonstrație, geometrul trebuie să înceapă "prin a construi un triunghi". După asta, el continuă prelungind BC în E și trasând CD paralel cu BA. În urma acestei construcții obținem unghiurile ACD și DCE. Din faptul
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
construindu-le. Astfel, în cazul teoremei despre raportul dintre suma unghiurilor unui triunghi și un unghi drept, demonstrația este ghidată de construcții pe un triunghi dat. Pentru a ajunge la această demonstrație, geometrul trebuie să înceapă "prin a construi un triunghi". După asta, el continuă prelungind BC în E și trasând CD paralel cu BA. În urma acestei construcții obținem unghiurile ACD și DCE. Din faptul că BA este paralelă cu CE, avem BAC = ACD și ABC = DCE. Dacă ținem cont că
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
condițiile intuiției empirice, fie după cele ale intuiției pure" (CRP, p. 525). Dacă aleg prima variantă, i.e. să îmi determin obiectul după condițiile intuiției empirice, atunci pot ajunge, prin intermediul unei cercetări empirice a figurii, la concluzia că suma unghiurilor unui triunghi este 180o, și anume măsurându-le8. În acest caz, eu plec de la concept spre intuiția empirică ce îi corespunde și îl examinez in concreto în ea și ajung astfel să cunosc a posteriori ceea ce se cuvine obiectului acestui concept. Problema este
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
avem în vedere construcția matematică, plecăm de la schemele conceptelor, deoarece "la baza conceptelor noastre sensibile pure nu stau imagini ale obiectelor, ci scheme" (CRP, p. 171). De exemplu, în cazul demonstrației teoremei discutate mai sus, eu trec dincolo de conceptul de triunghi spre proprietăți care nu se află în el și fac acest lucru cu ajutorul construcției matematice/geometrice adăugând "într-o intuiție pură, la fel ca și în cea empirică, diversul care aparține schemei unui triunghi în genere" (CRP, p. 526). Spre deosebire de
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
sus, eu trec dincolo de conceptul de triunghi spre proprietăți care nu se află în el și fac acest lucru cu ajutorul construcției matematice/geometrice adăugând "într-o intuiție pură, la fel ca și în cea empirică, diversul care aparține schemei unui triunghi în genere" (CRP, p. 526). Spre deosebire de imaginea unei figuri geometrice sau a unui număr 13, în cazul cărora avem de-a face cu intuiții particulare, schema nu este decât o regulă a sintezei imaginației. Faptul că construcția matematică are la
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
bază astfel de reguli și nu simple imagini/figuri face ca judecățile matematice să fie universale 14. Dacă în matematică s-ar pleca de la reprezentări singulare, atunci nu am ajunge să avem nici măcar concepte. Când definește, de exemplu, conceptul de triunghi, matematicianul nu poate pleca de la o imagine a acestuia pentru că "nu există imagine a unui triunghi care să poată fi vreodată adecvată conceptului de triunghi. Căci ea nu ar atinge generalitatea conceptului, care face ca acesta să fie valabil pentru
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
14. Dacă în matematică s-ar pleca de la reprezentări singulare, atunci nu am ajunge să avem nici măcar concepte. Când definește, de exemplu, conceptul de triunghi, matematicianul nu poate pleca de la o imagine a acestuia pentru că "nu există imagine a unui triunghi care să poată fi vreodată adecvată conceptului de triunghi. Căci ea nu ar atinge generalitatea conceptului, care face ca acesta să fie valabil pentru toate triunghiurile, dreptunghiulare sau scalene etc., ci ar fi restrânse totdeauna numai la o parte a
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
singulare, atunci nu am ajunge să avem nici măcar concepte. Când definește, de exemplu, conceptul de triunghi, matematicianul nu poate pleca de la o imagine a acestuia pentru că "nu există imagine a unui triunghi care să poată fi vreodată adecvată conceptului de triunghi. Căci ea nu ar atinge generalitatea conceptului, care face ca acesta să fie valabil pentru toate triunghiurile, dreptunghiulare sau scalene etc., ci ar fi restrânse totdeauna numai la o parte a acestei sfere" (CRP, p. 171). Ei pleacă de la scheme
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
nu poate pleca de la o imagine a acestuia pentru că "nu există imagine a unui triunghi care să poată fi vreodată adecvată conceptului de triunghi. Căci ea nu ar atinge generalitatea conceptului, care face ca acesta să fie valabil pentru toate triunghiurile, dreptunghiulare sau scalene etc., ci ar fi restrânse totdeauna numai la o parte a acestei sfere" (CRP, p. 171). Ei pleacă de la scheme în definițiile lor. Reprezentările singulare, fie că sunt date în intuiția pură, sau în intuiția empirică pe
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
în două clase: cele care intersectează linia dată și cele care nu o intersectează; o linie care este limita între aceste două clase se numește paralelă la linia dreapta dată. Dacă plecăm de aici, ajungem la următorul rezultat: unghiurile unui triunghi însumează fie 180o, fie mai puțin. Cazul euclidian corespunde situației în care suma unghiurilor este egală cu 180o, cel neeuclidian celei în care este mai mică de 180o. La trei ani după Lobacevski, fără însă a ști despre acesta, publică
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]