328 matches
-
corpul numerelor reale și mulțimea vectorilor este formată din săgeți plane având un punct fix de pornire și, respectiv, din perechi de numere reale. Pentru a se califica drept spațiu vectorial, mulțimea și operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar trebuie să respecte o serie de cerințe numite axiome. În lista de mai jos, fie , și vectori arbitrari din , și "a" și scalari în . Aceste axiome generalizează proprietățile vectorilor introduse în exemplele de mai sus. Într-adevăr, rezultatul adunării a
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
reale. Pentru a se califica drept spațiu vectorial, mulțimea și operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar trebuie să respecte o serie de cerințe numite axiome. În lista de mai jos, fie , și vectori arbitrari din , și "a" și scalari în . Aceste axiome generalizează proprietățile vectorilor introduse în exemplele de mai sus. Într-adevăr, rezultatul adunării a două perechi ordonate (ca în al doilea exemplu de mai sus) nu depinde de ordinea operanzilor: De asemenea, în exemplul geometric de vectorii
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
ambele exemple. Astfel, făcând abstracție de natura concretă a tipului particular de vectori pe care se lucrează, definiția include aceste două exemple, și multe altele, într-o singură noțiune de spațiu vectorial. Scăderea a doi vectori și împărțirea la un scalar nenul poate fi definită ca: Atunci când corpul de scalari este mulțimea numerelor reale , spațiul vectorial se numește "spațiu vectorial real". Atunci când câmpul scalar este mulțimea numerelor complexe, se numește "spațiu vectorial complex". Aceste două cazuri sunt cele folosite cel mai
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
tipului particular de vectori pe care se lucrează, definiția include aceste două exemple, și multe altele, într-o singură noțiune de spațiu vectorial. Scăderea a doi vectori și împărțirea la un scalar nenul poate fi definită ca: Atunci când corpul de scalari este mulțimea numerelor reale , spațiul vectorial se numește "spațiu vectorial real". Atunci când câmpul scalar este mulțimea numerelor complexe, se numește "spațiu vectorial complex". Aceste două cazuri sunt cele folosite cel mai adesea în inginerie. Definiția generală a unui spațiu vectorial
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
multe altele, într-o singură noțiune de spațiu vectorial. Scăderea a doi vectori și împărțirea la un scalar nenul poate fi definită ca: Atunci când corpul de scalari este mulțimea numerelor reale , spațiul vectorial se numește "spațiu vectorial real". Atunci când câmpul scalar este mulțimea numerelor complexe, se numește "spațiu vectorial complex". Aceste două cazuri sunt cele folosite cel mai adesea în inginerie. Definiția generală a unui spațiu vectorial permite ca scalarii să fie elemente din orice corp fix . Ideea este cunoscută atunci
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
numerelor reale , spațiul vectorial se numește "spațiu vectorial real". Atunci când câmpul scalar este mulțimea numerelor complexe, se numește "spațiu vectorial complex". Aceste două cazuri sunt cele folosite cel mai adesea în inginerie. Definiția generală a unui spațiu vectorial permite ca scalarii să fie elemente din orice corp fix . Ideea este cunoscută atunci ca "spațiu vectorial peste ". Un corp este, în esență, o mulțime de numere care posedă operațiuni de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. De exemplu, numerele raționale formează și ele
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
și din cazurile de dimensiune superioară, în spațiile vectoriale generale, nu există nicio noțiune de vecinătate, unghi sau . Pentru tratarea unor astfel de probleme, se introduc tipuri particulare de spații vectoriale; vedeți mai jos. Adunarea vectorială și înmulțirea cu un scalar sunt operațiuni care îndeplinesc proprietatea de : și în pentru în , , în . Unele surse mai vechi menționează aceste proprietăți ca axiome separate. În limbajul algebrei abstracte, primele patru axiome pot fi subsumate prin impunerea condiției ca mulțimea de vectori să fie
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
subsumate prin impunerea condiției ca mulțimea de vectori să fie un grup abelian în raport cu adunarea. Restul de axiome conferă acestui grup o structură de -. Cu alte cuvinte, există un definit pe corpul în al grupului vectorilor. Atunci, înmulțirea cu un scalar "a"v este definită ca . Există o serie de consecințe directe ale axiomelor spațiilor vectoriale. Unele dintre ele rezultă din aplicarea teoriei elementare a grupurilor la grupului aditiv al vectorilor: de exemplu, vectorul nul din și elementul invers al oricărui
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
o simplificare a aplicațiilor liniare. În același timp, Grassmann a studiat calculul baricentric inițiat de Möbius. El și-a imaginat mulțimi de obiecte abstracte dotate cu operațiuni. În lucrarea sa sunt prezente conceptele de și dimensiune, precum și cea de produs scalar. În fapt, activitatea lui Grassmann din 1844 depășește cadrul spațiilor vectoriale, deoarece abordarea înmulțirii l-a condus pe el la ceea ce astăzi numim algebre. Peano a fost primul care a dat definiția modernă a spațiilor vectoriale și a aplicațiilor liniare
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
introducerea de mai sus. Mułțimea numerelor complexe , de exemplu, numere care pot fi scrise sub forma pentru numere reale și , unde este unitatea imaginară, formează un spațiu vectorial peste numerele reale cu obișnuitele operațiuni de adunare și înmulțire cu un scalar: și pentru numerele reale , , "a", și . Diferite axiome ale spațiilor vectoriale rezultă din faptul că aceleași reguli rămân valabile pentru aritmetica numerelor complexe. De fapt, exemplul numerelor complexe este, în esență, aceleași (de exemplu, este "izomorf") cu spațiul vectorial al
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
esență, aceleași (de exemplu, este "izomorf") cu spațiul vectorial al perechilor ordonate de numere reale menționat mai sus: dacă ne gândim la numărul complex ca reprezentând perechea ordonată în planul complex atunci vom vedea că regulile pentru sumă și produs scalar corespund exact cu cele din exemplul anterior. Mai mult, în general, oferă o altă clasă de exemple de spații vectoriale, în special în algebră și : un corp conține un este spațiu vectorial peste "E", prin operațiunile de înmulțire de adunare
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
peste R, iar extensia de corp formula 1 este un spațiu vectorial peste Q. Funcțiile definite pe orice mulțime fixă cu valori într-un corp formează și ele spații vectoriale, prin efectuarea punctuală a operațiunilor de adunare și înmulțire cu un scalar. Adică suma a două funcții și este funcția dată de și în mod similar pentru multiplicare. Astfel de apar în multe situații geometrice, atunci când este sau un interval, sau alte submulțimi ale lui . Multe noțiuni de topologie și analiză, cum
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
multiplicare. Astfel de apar în multe situații geometrice, atunci când este sau un interval, sau alte submulțimi ale lui . Multe noțiuni de topologie și analiză, cum ar fi continuitatea, integrabilitatea sau se comportă bine în raport cu liniaritatea: adunarea și înmulțirea cu un scalar a funcțiilor care posedă o astfel de proprietate și-o conservă. Prin urmare, mulțimea acestor funcții sunt spații vectoriale. Ele sunt studiate în detaliu, folosind metodele de , vezi mai jos. Constrângerile algebrice produc și ele spații vectoriale: este dat de
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
ecuații liniare omogene sunt strâns legate de spații vectoriale. De exemplu, soluțiile sistemului sunt date de triplete arbitrare cu "a", b = "a"/2 și c = −5"a"/2. Ele formează un spațiu vectorial: și după adunarea și înmulțirea cu un scalar a acestui gen de triplete, ele continuă să satisfacă aceleași raporturi dintre cele trei variabile; astfel și ele sunt soluții. Matricele pot fi folosite pentru a condensa mai multe ecuații liniare ca mai sus într-un singur vector ecuație, și
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
vectorul , reprezintă , și este vectorul nul. În mod similar, soluții "ecuațiilor diferențiale liniare "formează spații vectoriale. De exemplu, produce , unde "a" și sunt constante arbitrare, și e funcția exponențială cu baza naturală. "Bazele" permit reprezentarea vectorilor cu ajutorul unui șir de scalari numit "coordonate" sau "componente". O bază este o mulțime (finită sau infinită) de vectori , pentru comoditate de multe ori indexați cu un " i", care generează întregul spațiu și este liniar independentă. "Care generează întregul spațiu" înseamnă că orice vector poate
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
pentru comoditate de multe ori indexați cu un " i", care generează întregul spațiu și este liniar independentă. "Care generează întregul spațiu" înseamnă că orice vector poate fi exprimat ca sumă finită (numită "combinație liniară") a elementelor bazei: formula 3 unde sunt scalari, numiți coordonatele (sau componentele) vectorului în raport cu baza , iar elemente din . Independența liniară înseamnă că coordonatele sunt unic determinate pentru orice vector din spațiu vectorial. De exemplu, , , până la , formează o bază în , numit , deoarece orice vector poate fi exprimat unic ca
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
sunt liniar independente peste , astfel încât dimensiunea acestui spațiu este doi, atât cât este și gradul ecuației. O extensie de corp peste mulțimea numerelor raționale poate fi gândită ca spațiu vectorial peste (prin definirea adunării vectoriale ca adunarea corpului, definirea multiplicarea scalarilor ca fiind multiplicarea cu elemente din , și altfel ignorând multiplicarea corpului). Dimensiunea (sau gradul) de extensiei de domeniu peste depinde de . Dacă satisface o ecuație polinomială ("α este "), dimensiunea este finită. Mai exact, este egală cu gradul de având α
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
astfel de ecuație, cu alte cuvinte π este transcendent. Relația dintre două spații vectoriale poate fi exprimată printr-o "aplicație liniară" sau "transformare liniară". Acestea sunt funcții care reflectă structura spațiului vectorial, adică ele conservă sumele și înmulțirea cu un scalar: Un "izomorfism" este o aplicație liniară astfel încât există o , cu proprietatea că cele două posibile și sunt egale cu . Echivalent, "f" este atât injectivă cât și surjectivă. Dacă există un izomorfism între "V" și "W", cele două spații se spune
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
baza standard a lui cu , prin intermediul lui . Libertatea de a alege o bază convenabilă este deosebit de utilă în context infinit-dimensional, vezi mai jos. "Matricele" sunt o noțiune utilă pentru codificarea aplicațiilor liniare. Ele sunt scrise ca un tablou dreptunghiular de scalari ca în imaginea din dreapta. Orice matrice "m"-pe-"n" "A" dă naștere unei aplicații liniare de la "F" la " F", cu următorea lege sau, folosind a lui "A" cu coordonatele vectorului : Mai mult decât atât, după alegerea bazelor lui și , "orice
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
lege sau, folosind a lui "A" cu coordonatele vectorului : Mai mult decât atât, după alegerea bazelor lui și , "orice" aplicație liniară este unic reprezentată de o matrice prin această atribuire. Determinantul det("A") al unei matrice pătrate "A" este un scalar care spune dacă aplicația liniară asociată este un izomorfism sau nu: pentru a fi izomorfism, este suficient și necesar ca determinantul să fie nenul. Transformarea liniară a lui corespunzătoare unei matrice reale "n"-pe-"n" dacă și numai dacă determinantul
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
lui corespunzătoare unei matrice reale "n"-pe-"n" dacă și numai dacă determinantul este pozitiv. , aplicații liniare , sunt deosebit de importante deoarece, în acest caz, vectorii pot fi comparați cu imaginea lor în raport cu , . Orice vector nenul care satisface , unde este un scalar, se numește "vector propriu" al lui cu "valoarea proprie" . Echivalent, este un element al nucleului diferenței (în cazul în care Id este . Dacă este finit dimensional, acest lucru poate fi reformulat folosind determinanți: având valoarea proprie este echivalent cu Dezvoltând
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
jos, acestea sunt și ele caracterizate prin , care determină un obiect prin specificarea aplicațiilor liniare de la la orice alt spațiu vectorial. O submulțime nevidă "W" a unui spațiu vectorial "V" , care este închisă în raport cu adunarea și cu multiplicarea cu un scalar (și, prin urmare, conține vectorul nul din "V") se numește "subspatiu vectorial" al lui "V", sau pur și simplu "subspațiu" al lui "V", atunci când spațiul ambiental este fără echivoc spațiu vectorial. Subspațiile lui "V" sunt spații vectoriale (peste același corp
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
Dat fiind orice subspațiu , spațiul factor "V"/"W" (""V" "W"") este definit după cum urmează: ca mulțime, el se compune din unde v este un vector arbitrar din "V". Suma a două astfel de elemente și este și înmulțirea cu un scalar este dată de . Punctul cheie în această definiție este faptul că diferența dintre v și v se află în "W". Astfel, spațiul factor „uită” informațiile conținute în subspațiul "W". Nucleul ker("f") unei aplicații liniare este format din vectorii v
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
într-un nou spațiu vectorial. "Produsul direct" formula 8 al unei familii de spații vectoriale "V" constă din mulțimea tuturor tuplurilor (, care specifică pentru fiecare indice "i" dintr-o "I" un element v al lui "V". Adunarea și înmulțirea cu un scalar se realizează pe componente. O variantă a acestei construcții este "suma directă" formula 9 (notată cu formula 10), în care sunt permise numai tuplurile cu un număr finit de vectori nenuli. Dacă mulțimea de indici "I" este finită, cele două construcții sunt
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
ca o diferență de două funcții pozitive în cazul în care "f" reprezintă partea pozitivă a lui "f" și "f" partea negativă. „Măsurarea” vectorilor se face prin specificarea unei , un datum care măsoară lungimi de vectori, sau printr-un produs scalar, care măsoară unghiurile dintre vectori. Normele și produsele scalare se notează cu formula 11 și, respectiv, cu formula 12. Natura unui produs scalar presupune că lungimile de vectori pot fi și ele definite, prin definirea normei asociate formula 13. Spațiile vectoriale înzestrate cu
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]