5,440 matches
-
lucrările, după ce discutai cu el nu mai aveai niciuna; se vedea imediat că el gândea în imagini. Dna Kowalevski era o logiciană. Observăm aceeași diferență la studenții noștri; unora le place mai mult să trateze problemele "prin analiză", celorlalți "prin geometrie". Primii sunt incapabili să "vadă în spațiu", pe ceilalți îi vor obosi calculele lungi și se vor încurca. Cele două feluri de gândire sunt necesare în mod egal pentru progresul științei; logicienii, ca și intuitivii, au făcut lucruri mărețe pe
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
funcție ca un potențial electric; ne-am fi considerat îndreptățiți să afirmăm că echilibrul electrostatic poate fi atins. Poate doar o comparație fizică să fi putut stârni unele îndoieli. Dacă, însă, am fi avut grijă să traducem raționamentul în limbajul geometriei, intermediar între cel de analiză și cel de fizică, cu siguranță aceste îndoieli nu s-ar fi produs, și poate astfel și astăzi i-am mai înșela pe cititorii neavizați. Așadar, intuiția nu ne dă certitudini. Iată de ce evoluția trebuia
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
cea mai pură ne-ar conduce întotdeauna doar la tautologii; ea nu ar putea crea ceva nou; numai din ea singură nu ar putea ieși vreo știință. Acești filosofi au dreptate într-un anume sens; pentru a face aritmetică, sau geometrie, sau oricare altă știință, ne trebuie altceva decât logica pură. Acest altceva nu poate fi denumit cu un alt cuvânt decât cu cel de intuiție. Dar câte înțelesuri diferite ascund aceste cuvinte? Să comparăm aceste patru axiome: 1. Două cantități
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
nu a mai făcut decât să cizeleze și să perfecționeze. Galois a murit la 21 de ani, Abel la 27, Ramanujan la 33, Riemann la 40. Pentru unii matematicieni, realizările au venit mai târziu; marele tratat al lui Gauss despre geometria diferențială a fost publicat pe când aceasta avea 50 de ani (deși ideile fundamentale îi veniseră cu zece ani mai înainte). Nu cunosc un exemplu de progres matematic major inițiat de o persoană trecută de cincizeci de ani. Dacă o persoană
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
sunt aceste lucruri, nu numai că nu știm, dar nici nu trebuie să căutăm să știm. Nu avem nevoie de ele, și cineva care nu ar fi văzut vreodată un punct sau o dreaptă sau un plan ar putea face geometrie la fel de bine ca noi. Cuvintele a trece prin, sau expresia a fi situat pe nu provoacă în noi nicio imagine, pentru că primele sunt pur și simplu sinonime cu a fi determinat, iar a doua cu a determina. Așa încât, pentru a
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
Chicago în care porcii intrau vii și ieșeau din ea transformați deja în jambon și cârnați. Asemenea acestor mașini, nici matematicianul nu are nevoie să înțeleagă ce face. Nu-i fac niciun reproș lui Hilbert pentru acest caracter formal al geometriei sale. Acolo trebuia să ajungă, dat fiind problema care se punea. Voia să reducă la minim numărul axiomelor fundamentale ale geometriei și să facă enumerarea lor completă; or, în raționamentele în care spiritul nostru rămâne activ, în acelea în care
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
nu are nevoie să înțeleagă ce face. Nu-i fac niciun reproș lui Hilbert pentru acest caracter formal al geometriei sale. Acolo trebuia să ajungă, dat fiind problema care se punea. Voia să reducă la minim numărul axiomelor fundamentale ale geometriei și să facă enumerarea lor completă; or, în raționamentele în care spiritul nostru rămâne activ, în acelea în care intuiția încă joacă un rol, în raționamentele vii, ca să spunem așa, este dificil să nu introduci o axiomă sau un postulat
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
o axiomă sau un postulat care să treacă neobservat. Așa încât, abia după ce toate raționamentele geometrice au fost aduse la o formă pur mecanică a putut fi sigur că îi reușise proiectul și că își desăvârșise opera. Ceea ce Hilbert făcuse pentru geometrie, alții au vrut să facă pentru aritmetică și pentru analiză. Chiar dacă ar fi reușit în totalitate, ar fi oare kantienii condamnați definitiv la tăcere? Poate că nu, deoarece, dacă reducem gândirea matematică la o formă vidă, e sigur că o
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
Trebuie să faci o alegere între toate construcțiile pe care le poți combina din materialele furnizate de logică; adevăratul geometru face această alegere în mod înțelept, întrucât este ghidat de un instinct sigur, sau de vaga conștiință a unei nu-știu-cărei geometrii mai profunde și mai ascunse, singura care stabilește valoarea edificiului construit. Căutarea originii acestui instinct, studierea legilor acestei geometrii profunde care se simt și nu se enunță ar fi încă o țintă frumoasă pentru filosofii care nu acceptă ca logica
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
geometru face această alegere în mod înțelept, întrucât este ghidat de un instinct sigur, sau de vaga conștiință a unei nu-știu-cărei geometrii mai profunde și mai ascunse, singura care stabilește valoarea edificiului construit. Căutarea originii acestui instinct, studierea legilor acestei geometrii profunde care se simt și nu se enunță ar fi încă o țintă frumoasă pentru filosofii care nu acceptă ca logica să fie totul. Dar nu doresc să mă plasez de partea acestui punct de vedere, pentru că nu așa vreau
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
aceste postulate. Astfel, anumite axiome ale matematicii care nu pot fi demonstrate nu ar fi decât definiții mascate. Acest punct de vedere este deseori legitim; și l-am admis și eu în ceea ce privește, de exemplu, postulatul lui Euclid. Celelalte axiome ale geometriei nu sunt suficiente pentru a defini complet distanța; atunci, distanța va fi prin definiție între toate mărimile care satisfac aceste alte axiome cea care face ca postulatul lui Euclid să fie adevărat. Ei bine, logicienii admit pentru principiul inducției complete
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
momentul în care puneam piciorul pe prima treaptă, mi-a venit ideea, fără ca nimic din gândurile mele anterioare să fi părut a mă pregăti, că transformările de care mă folosisem pentru a defini funcțiile fuchsiene sunt identice cu cele din geometria neeuclidiană. Nu am făcut verificarea, nici nu aș mai fi avut timp, deoarece abia urcat în omnibuz am reluat conversația începută, dar am avut pe loc o certitudine totală. Reîntors la Caen, am verificat rezultatul pe îndelete pentru a-mi
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
mă gândeam la cu totul altceva. Într-o zi, plimbându-mă pe o faleză, mi-a venit ideea, cu același caracteristici de concizie, spontaneitate și certitudine imediată, că transformările aritmetice ale formelor cuadratice ternare nedefinite sunt identice cu cele din geometria neeuclidiană. Revenit la Caen, am reflectat asupra acestui rezultat și am tras concluziile; exemplul formelor cuadratice îmi arăta că există și alte grupe fuchsiene, altele decât cele care corespundeau seriei hipergeometrice; am văzut că puteam să le aplic teoria seriilor
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
a distinge între ei două feluri de spirite: logicieni precum Weierstrass, de exemplu, și intuitivi precum Riemann. Aceeași diferență o observăm și printre studenții noștri. Unora le place mai mult să trateze problemele "prin analiză", cum spun ei, celorlați "prin geometrie". Este complet inutil să încerci să schimbi ceva la ei, și, de altfel, ar fi oare de dorit acest lucru? Este bine să existe logicieni și este bine să existe intuitivi; cine ar îndrăzni să afirme că ar fi preferat
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
puțin să dorească o definiție pur logică. Dar imaginați-vă zăpăceala începătorului căruia ați vrea să i-o serviți! Tot așa sunt și definițiile pe care le găsiți într-o carte foarte admirată și premiată de foarte multe ori, Fundamentele geometriei 7 a lui Hilbert. Într-adevăr, ia să vedem cum începe: Să ne gândim la trei sisteme de LUCRURI pe care le vom numi puncte, drepte și plane. Ce sunt aceste "lucruri"? Nu le știm și nu avem nevoie să
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
raționa corect este și o calitate prețioasă, pe care profesorul de matematică ar trebui s-o cultive înainte de toate? Am grijă să nu uit asta; acest lucru trebuie avut în vedere, și încă de la început. Aș fi dezolat să văd geometria degenerând în nu știu ce tahimetrie de joasă speță, și nu subscriu în niciun fel unor doctrine extreme ale unor Oberlehrer 8 germani. Dar există destul de multe ocazii pentru a-i obișnui pe elevi cu raționamentul corect, în părțile matematicii în care
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
pentru acest motiv am enunțat definiția și am spus asta sau asta. Dar este timpul să ieșim din generalități și să examinăm cum principiile puțin mai abstracte pe care tocmai vi le-am expus pot fi aplicate în aritmetică, în geometrie, în analiză și în mecanică. Comentarii Spre sfârșitul secolului al XIX-lea, grație eforturilor unor mari matematicieni cum ar fi Cauchy, Liouville, Riemann, Weierstrass sau Cantor, analiza matematică era deja o disciplină fundamentată logic odată cu definirea riguroasă a noțiunilor de
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
dar au pus în dificultate învățământul matematic, care opera de mai bine de două secole cu variante intuitive și, de aceea, mai accesibile studenților. Formalizarea matematicii în componentele sale de bază, calculul diferențial și integral, numărul rațional și real, precum și geometria au îndepărtat matematica de pedagogia predării sale în școală și universități, și chiar de științele și domeniile în care juca un loc central de câteva secole. Este o criză care durează până în zilele noastre și care, mergând pe linia gândirii
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
dar, din fericire, el a rămas în strânsă relație cu Serre, care a fost capabil să-i corecteze această omisiune. Nu există nicio distincție clară între exemplu și teorie. Multe din exemplele mele favorite vin din pregătirea mea timpurie în geometria proiectivă clasică: cubul răsucit, suprafață cuadratică sau reprezentarea lui Klein pentru linii în spațiul tridimensional. Nimic nu putea fi mai concret sau mai clasic, și toate puteau fi privite în mod algebric sau geometric, dar fiecare lămurește și este primul
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
la un loc. Dar, dincolo de toate acestea, un exemplu bun este un lucru frumos. Strălucește și convinge. Lămurește și dă înțeles. Asigură piatra de temelie a credinței. Demonstrația Cu toții am fost învățați că "demonstrația" este trăsătura centrală a matematicii, și geometria euclidiană, cu șirul ei de axiome și propoziții, a oferit cadrul esențial pentru gândirea modernă încă din perioada Renașterii. Matematicienii se mândresc cu certitudinea absolută, în comparație cu etapele provizorii ale cercetătorilor de științe naturale, ca să nu mai vorbim despre gândirea încâlcită
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
comportă mai mult ca "bozonii", care se strâng într-un grup mare, adeseori "supralicitându-și" realizările o atitudine pe care matematicienii o desconsideră. La început, există tentația de a privi matematica drept o colecție de ramuri separate, cum ar fi geometria, algebra, analiza, teoria numerelor etc., în care prima este dominată de încercarea de a înțelege conceptul de "spațiu", cea de-a doua de arta manipulării simbolurilor, a treia de accesul la "infinit" și "continuum", și așa mai departe. Totuși, asta
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
Bineînțeles, asta nu înseamnă să spunem că părțile matematicii sunt toate la fel, și merită să amintim ceea ce spune Grothendieck (în Culturi și semințe 12 [t.n.]), când compară peisajul analizei în care a lucrat mai întâi cu cel al geometriei algebrice în care și-a petrecut restul vieții sale de matematician: Încă îmi amintesc acea impresie izbitoare (în întregime subiectivă, bineînțeles), ca și cum aș fi părăsit stepele aride și posomorâte pentru a mă regăsi dintr-odată într-un fel de "tărâm
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
scrisă în 1915, a fost citată (în favoarea sau împotriva mea) de multe ori. A fost, desigur, un eufemism retoric conștient, totuși unul scuzabil pentru timpul la care a fost scris. 22 În contextul acestei discuții, trebuie să considerăm, bineînțeles, drept geometrie pură ceea ce matematicienii numesc geometrie "analitică". 23 J.B.S. Haldane, Callinicus: a Defence of Chemical Warfare (1924). 24 Morris Kline, Geometry and Truth, extras din Mathematics in Western Culture, Harmondsworth, Penguin, 1972, pp. 478-482 (publicat prima dată în 1953), în "Conceptions
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
citată (în favoarea sau împotriva mea) de multe ori. A fost, desigur, un eufemism retoric conștient, totuși unul scuzabil pentru timpul la care a fost scris. 22 În contextul acestei discuții, trebuie să considerăm, bineînțeles, drept geometrie pură ceea ce matematicienii numesc geometrie "analitică". 23 J.B.S. Haldane, Callinicus: a Defence of Chemical Warfare (1924). 24 Morris Kline, Geometry and Truth, extras din Mathematics in Western Culture, Harmondsworth, Penguin, 1972, pp. 478-482 (publicat prima dată în 1953), în "Conceptions of Inquiry", Stuart Brown, John
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
în 1894 de către Benjamin Finkel și publicată de Mathematical Association of America (Asociația Matematică Americană, t.n), [n.n.]. 6 H. Poincaré, Science et méthode (1908) (Science and Method, tradusă de Francis Maitland, Thomas Nelson & Sons, Londra, 1914). 7 Grundlagen der Geometrie (Fundamentele Geometriei, t.n.). 8 Oberlehrer (germ. în text), profesor senior [n.n.]. 9 The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008. 10 În original, "stage" înseamnă și fază, etapă, dar și scenariu, scenă, teatru, platou de cinema, punere în
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]