458 matches
-
sferă, suma unghiurilor unui triunghi nu este egală cu 180°. Deci teorema lui Pitagora nu este valabilă decât în spațiul linear al geometriei lui Euclid, deoarece suma unghiurilor unui triunghi pe suprafața pământului poate fi superioară triunghiului pitagoreic. Noua geometri euclidiană În geometria euclidiană suma unghiurilor unui triunghi poate fi superioară triunghiului pitagoreic Întâlnindu-l pe Dr. Isaac Beeckman la Universitatea din Caen, specializat în mecanismele de gândire, este fascinat de subiect și îi dedică următorii 54 de ani ai vieții
[Corola-publishinghouse/Science/84990_a_85775]
-
unui triunghi nu este egală cu 180°. Deci teorema lui Pitagora nu este valabilă decât în spațiul linear al geometriei lui Euclid, deoarece suma unghiurilor unui triunghi pe suprafața pământului poate fi superioară triunghiului pitagoreic. Noua geometri euclidiană În geometria euclidiană suma unghiurilor unui triunghi poate fi superioară triunghiului pitagoreic Întâlnindu-l pe Dr. Isaac Beeckman la Universitatea din Caen, specializat în mecanismele de gândire, este fascinat de subiect și îi dedică următorii 54 de ani ai vieții. Trăiește cu patru
[Corola-publishinghouse/Science/84990_a_85775]
-
componente spectrale de aplitudini ridicate în domeniul 100 Hz - 5 kHz, în timp ce zgomotele continue sunt caracterizate de componente spectrale în domeniul 5kHz - 1 MHz. Metoda descrisă în [78] analizează doar zgomotele tranzitorii prin compararea cu un prag prestabilit a distanței Euclidiene a doi vectori ce conțin componentele spectrale pentru domeniul 0 - 50 kHz. Un avantaj al acestei metode este dat de faptul că dispozitivul utilizat pentru detecția consumatorilor poate fi montat la orice priză din cadrul unei locuințe, întrucât zgomotul se transmite
Amprenta consumatorilor electrici by Andrei Sebastian Ardeleanu, Codrin Donciu () [Corola-publishinghouse/Science/83090_a_84415]
-
Patapievici). Scena matematicii a găzduit între a doua jumătate a secolului al XIX-lea și prima jumătate a secolului XX evenimente de mare importanță în procesul abandonării raționalității iluministe, cu toate tendințele sale coercitive și aspirațiile sale unilaterale. Descoperirea geometriilor euclidiene (cea hiperbolică a lui Lobacevski, în 1829, cea a lui Bolyai, în 1832, cea a lui Riemann, în 1854) contestă, ab initio, criteriile carteziene de validare a unor propoziții matematice. În speță, criteriul evidenței care perpetuase, între altele, ideea adevărului
[Corola-publishinghouse/Science/1998_a_3323]
-
1829, cea a lui Bolyai, în 1832, cea a lui Riemann, în 1854) contestă, ab initio, criteriile carteziene de validare a unor propoziții matematice. În speță, criteriul evidenței care perpetuase, între altele, ideea adevărului natural al postulatului paralelelor din geometria euclidiană, nu mai este acceptat de la sine. Chiar dacă nu invalidează formalismul transcendental kantian 2, geometriile neeuclidiene chestionează statutul ontologic al axiomelor matematicii, anticipând - și prin discursul convenționalist al lui H. Poincaré (1854-1912) - teza despre adevărul limitat de sistemele de referință. De
[Corola-publishinghouse/Science/1998_a_3323]
-
și logica cuantică / 105 2.3. Tymoczko și Lakatos / 114 2.3.1. Tymoczko și teorema celor patru culori / 114 2.3.2. Lakatos și istoria matematicii / 120 Capitolul 3. Încercări de salvare a statutului special / 125 3.1. "Salvarea euclidiană" / 126 3.2. A priori relativizat / 127 Capitolul 4. Aplicabilitatea matematicii / 131 4.1. Provocarea lui Wigner / 131 4.2. Provocarea lui Steiner / 135 4.3. Frumusețea matematică / 138 4.4. Magia numerelor / 139 4.5. Matematica în fizică / 141
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Putnam nu sunt singurele argumente în favoarea unei viziuni failibiliste asupra matematicii, ulterior găsim astfel de argumente la Tymoczko și Lakatos, ultimul urmărind să extindă failibilismul popperian în matematică. Ulterior se încearcă strategii de salvare a statutului special al matematicii: "salvarea euclidiană" propusă de Resnik și conceptul de "a priori relativizat" a lui Friedman. Capitolul patru al acestei cărți pare a fi cel central și în el sunt amintite în trecere marile curente din filosofia matematicii. Se arata că logicismul, formalismul și
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
stat, la început, considerații opuse celor pe care am ajuns, în cele din urmă, să le susțin. Punctul de plecare a fost reprezentat de următoarea situație: În lucrarea sa "Is Logic Empirical?", H. Putnam pune următoarea întrebare: în cazul geometriei euclidiene, s-a întâmplat ca "adevăruri" despre care se credea că sunt necesare, să fie respinse ca falsități, de ce nu ar fi cazul și ca unele "adevăruri necesare" ale logicii să fie respinse? (Putnam 1969: 216) Odată cu propunerea de către Einstein a
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
sunt necesare, să fie respinse ca falsități, de ce nu ar fi cazul și ca unele "adevăruri necesare" ale logicii să fie respinse? (Putnam 1969: 216) Odată cu propunerea de către Einstein a teoriei relativității generale, s-a renunțat la ideea că geometria euclidiană reprezintă cadrul matematic potrivit pentru formularea legilor empirice care descriu unele fenomene empirice concrete. Acest lucru i-a făcut pe unii filosofi să afirme că dacă teoria relativității generale este corectă, atunci unele "adevăruri" despre care se credea că sunt
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
corectă, atunci unele "adevăruri" despre care se credea că sunt necesare sunt respinse ca falsități și astfel întreaga clasă a "adevărurilor necesare" este pusă sub semnul întrebării. Un exemplu de astfel de "adevăr necesar" ar fi cel al următoarei axiome euclidiene: "cea mai scurtă cale între două puncte este o linie dreaptă". Dacă acceptăm teoria relativității generale, acceptăm și că este posibil ca cea mai scurtă cale între două puncte să nu fie o linie dreaptă, ci un geodezic (acest lucru
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
ca cea mai scurtă cale între două puncte să nu fie o linie dreaptă, ci un geodezic (acest lucru are loc într-un câmp gravitațional puternic, cum este cel al Soarelui) și astfel acceptăm că există situații în care axioma euclidiană este falsă. Mergând mai departe pe această linie, ne putem întreba: de ce nu ar fi cazul și ca unele legi ale logicii să fie false? Cei care adoptă o interpretare logică a mecanicii cuantice vor spune că sunt astfel de
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
cea a lui Einstein sunt alcătuite din două părți care funcționează asimetric: o parte empirică (conține legi precum legea gravitației, ecuațiile lui Maxwell ale electromagnetismului etc.) și o parte a priori constitutivă (conține principiile matematice folosite în teorie precum geometria euclidiana și geometria minkowskiană, iar pe lângă acestea și anumite principii fizice fundamentale). De aici nu mai este decât un pas mic până la o viziune diferită de holismul epistemologic quinean. Tot ce rămâne de făcut este să se arate că cele două
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
a filosofiei kantiene asupra matematicii. Pentru a ilustra statutul special al matematicii în raport cu alte discipline (în special cu filosofia), Kant pleacă de la practica matematică a vremurilor sale. Unul dintre exemplele de care se folosește el este cel al demonstrației geometrice (euclidiene) a teoremei că suma unghiurilor unui triunghi este egală cu două unghiuri drepte (i.e. este egală cu 180o). Să ne oprim un pic asupra acestei demonstrații pentru a vedea cum procedează matematicianul pentru a ajunge la teorema de mai sus
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
unghiurilor unui triunghi este egală cu 180o. Aceasta nu este, însă, singura cale pe care o poate urma filosoful. Ne putem gândi că acesta are totuși o șansă de a ajunge la teorema noastră, imediat ce realizăm că la baza geometriei euclidiene stau anumite axiome din care sunt derivate toate teoremele cu ajutorul logicii, i.e. că inferența matematică este analitică. Putem spune, astfel, că în argumentul de mai sus ne-am folosit de un truc pentru a arăta că filosoful nu poate ajunge
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
poate ajunge cu ajutorul întrebuințării discursive a rațiunii la teorema noastră, și anume prin aceea că i-am dat un punct de plecare greșit: conceptul de triunghi. De fapt, pentru a ajunge la această teoremă, trebuie să plecăm de la axiomele geometriei euclidiene folosindu-ne doar de ce ne pune la dispoziție o întrebuințare a rațiunii din concepte. Din câte se pare, am reușit să găsim un răspuns parțial afirmativ la întrebarea de la care am plecat: putem ajunge la teorema noastră printr-o analiză
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
fi putut să fie, după cum știm foarte bine astăzi geometria hiperbolică este consistentă. Primul care a renunțat să mai caute o demonstrație pentru postulatul cinci sau să arate că există o contradicție în adăugarea negației acestui postulat la restul geometriei euclidiene, descriind în schimb o nouă geometrie tot hiperbolică a fost Karl Friedrich Gauss. Acesta însă nu a publicat nimic în legătură cu ideile sale privitoare la posibilitatea unei geometrii neeuclidiene. Am vorbit mai sus despre existența a trei etape în descoperirea și
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
de etapă o reprezintă crearea primei geometrii neeuclidiene complete de către Lobacevski și Bolyai. Ca și predecesorii lor, aceștia au început prin a studia problema paralelelor 19, spre deosebire de predecesorii lor, ei au luat în considerare posibilitatea unei geometrii diferite de cea euclidiană. Primul a fost Nicolai Ivanovich Lobacevski care ține o prelegere la Universitatea din Kazan în 1826 și apoi publică o lucrare în 1829, în care ia în considerare posibilitatea unei geometrii în care se acceptă că se pot trasa două
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
și cele care nu o intersectează; o linie care este limita între aceste două clase se numește paralelă la linia dreapta dată. Dacă plecăm de aici, ajungem la următorul rezultat: unghiurile unui triunghi însumează fie 180o, fie mai puțin. Cazul euclidian corespunde situației în care suma unghiurilor este egală cu 180o, cel neeuclidian celei în care este mai mică de 180o. La trei ani după Lobacevski, fără însă a ști despre acesta, publică și Janos Bolyai rezultatele sale într-o anexă
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
atenția, unii matematicieni neștiind de existența lor, iar unii dintre "matematicienii care aflaseră de noul sistem geometric erau înclinați să-l privească mai degrabă ca pe o aberație decât ca pe, într-un anumit sens, o alternativă validă la geometria euclidiană" (Mykytiuk și Shenitzer 1995: 63). Lucrurile au început să se schimbe odată cu publicarea în 1868 de către Eugenio Beltrami a unei interpretări a lucrării lui Lobacevski. Ajungem astfel la ultima dintre cele trei etape amintite mai sus. Contribuția majoră a lui
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
tractrix în jurul asimptotei sale. Ce este interesant de remarcat în legătură cu aceasta este că pe ea sunt valabile rezultatele obținute de Lobacevski și Bolyai și astfel poate fi considerată ca "o lume" în care este valabilă o altă geometrie decât cea euclidiană. Cu ajutorul acestui model, Beltrami a reușit să facă trei lucruri: în primul rând să arate că geometria hiperbolică este consistentă, în al doilea rând să-i determine pe matematicienii vremurilor sale să ia în serios această geometrie 21, iar în
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Tot atunci a apărut și geometria eliptica, descoperită de Bernhardt Riemann. Acesta a ajuns la geometria sa pe o cale diferită de cea urmată de Lobacevski și Bolyai, și anume luând în considerare două postulate diferite de cele ale geometriei euclidiene: postulatele doi și cinci. Postulatul doi este înlocuit cu unul care spune că o linie poate fi finită în lungime, iar de postulatul cinci nu mai e nevoie pentru că în geometria eliptică nu sunt acceptate paralelele. În ce fel poate
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
prim pas în "dezintegrarea" viziunii kantiene asupra matematicii? Totul depinde de felul cum sunt privite aceste geometrii. Putem distinge între două feluri de a ne raporta la ele: ca fiind simple posibilități logice sau ca fiind alternative reale la geometria euclidiană. Să luăm prima variantă. Este ea consistentă cu viziunea kantiană asupra matematicii? Cineva ar putea spune că da. Acesta s-ar putea sprijini în interpretarea sa pe următorul text din Critica rațiunii pure: "nu este nici o contradicție în conceptul unei
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
văzut în secțiunea precedentă că, în viziunea lui Kant, axiomele geometriei sunt sintetice și nu analitice. Dacă ar fi fost analitice, ar fi fost într-adevăr imposibil de găsit alte sisteme geometrice consistente bazate pe negarea unora dintre axiomele geometriei euclidiene. Cum, însă, aceste axiome sunt sintetice, trebuie să acceptăm posibilitatea geometriilor neeuclidiene. Astfel, apariția acestor sisteme nu intră nicidecum în conflict cu filosofia kantiană a matematicii, ci reprezintă chiar o dovadă în favoarea acesteia. Problema cu o astfel de interpretare 22
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
considerare o figură neeuclidiană, ce trebuie să avem în vedere este nu dacă există o contradicție în conceptul acestei figuri, ci dacă poate fi construită în spațiu 25, adică în intuiția pură. Dar acest spațiu este, în viziunea lui Kant, euclidian. Deci nu se pune problema construirii în el a unei figuri neeuclidiene. O astfel de figură nu poate fi nimic mai mult decât o plăsmuire a imaginației. Întreaga discuție de până acum nu are, desigur, alt rol decât cel al
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
faptului că figurile geometriilor neeuclidiene sunt obiecte posibile ale intuiției. Dar rezultatele obținute de Beltrami în legătură cu pseudosfera fac ca astfel de figuri să fie intuitive. Un alt pas important în punerea pe picior de egalitate a geometriilor neeuclidiene cu geometria euclidiană îl face Helmholtz, care argumentează că aceleași proceduri constructive intuitive care ne fac să acceptăm adevărul postulatelor geometriei euclidiene pot să ne convingă, în alte circumstanțe, că lumea este neeuclidiană 26. Poincaré contribuie de asemenea la schimbarea atitudinii față de geometriile
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]