9,239 matches
-
II.6 Corelație perfectă negativă a unui portofoliu compus din două titluri. Avem inegalitatea: < x +y Această relație redă în mod evident avantajul diversificării. Fig.II.7 Portofoliu compus din două titluri necorelate. Dependența, este în acest caz curbilinie (conform ecuației 9c), reprezentată printr-o parabolă cu vârful în M. Pe segmentul M,x, se înregistrează un comportament "anormal" al portofoliului, datorat formei parabolei: creșterea progresivă a rentabilității este asociată cu o reducere a riscului. Punctul M desemnează portofoliul optim (cu
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
minim). Acest punct nu poate fi situat pe axa verticală, ceea ce înseamnă că riscul portofoliului compus din titluri necorelate, nu este niciodată nul. Pe segmentul M,y, creșterea rentabilității portofoliului se asociază cu o creștere a riscului său. Revenind la ecuația (9), relativ la ultimul termen al acesteia, cazul (a) se asociază unui risc maxim (ultimul termen este pozitiv și maxim), cazul (b) unui risc minim (ultimul termen este negativ și diminuează suma primilor doi termeni) și cazul (c) unui risc intermediar
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
titlurilor într-un portofoliu optim Pentru un portofoliu compus din două titluri x și y, se dorește determinarea ponderilor și ale acestora, astfel încât riscul asociat portofoliului să fie minim. Ținând cont de complementaritatea ponderilor și anulând derivata I-a a ecuației riscului în raport cu ponderea unui titlu, obținem: Această valoare , reprezintă ponderea optimă a titlului x. Calculul expus anterior, de determinare a ponderilor optime, se aplică identic la cazul a trei titluri componente ale portofoliului. Ținând cont de egalitatea , ecuația riscului devine
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
a a ecuației riscului în raport cu ponderea unui titlu, obținem: Această valoare , reprezintă ponderea optimă a titlului x. Calculul expus anterior, de determinare a ponderilor optime, se aplică identic la cazul a trei titluri componente ale portofoliului. Ținând cont de egalitatea , ecuația riscului devine: unde 1+2+3=1, Exprimând una din ponderi în funcție de celelalte două: 3=1-1-2 ecuația precedentă devine: Pentru determinarea ponderilor 1 și 2, se anulează derivatele parțiale ale ecuației riscului în raport cu acestea: Rezolvând sistemul format din
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
anterior, de determinare a ponderilor optime, se aplică identic la cazul a trei titluri componente ale portofoliului. Ținând cont de egalitatea , ecuația riscului devine: unde 1+2+3=1, Exprimând una din ponderi în funcție de celelalte două: 3=1-1-2 ecuația precedentă devine: Pentru determinarea ponderilor 1 și 2, se anulează derivatele parțiale ale ecuației riscului în raport cu acestea: Rezolvând sistemul format din ecuațiile precedente, se determină 1 și 2, apoi E(rP) și corespunzătoare portofoliului optim (cu risc minim). Dacă din
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
componente ale portofoliului. Ținând cont de egalitatea , ecuația riscului devine: unde 1+2+3=1, Exprimând una din ponderi în funcție de celelalte două: 3=1-1-2 ecuația precedentă devine: Pentru determinarea ponderilor 1 și 2, se anulează derivatele parțiale ale ecuației riscului în raport cu acestea: Rezolvând sistemul format din ecuațiile precedente, se determină 1 și 2, apoi E(rP) și corespunzătoare portofoliului optim (cu risc minim). Dacă din calcule, rezultă valori negative ale ponderilor, acestea se exclud dintre soluțiile posibile, deoarece semnifică
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
riscului devine: unde 1+2+3=1, Exprimând una din ponderi în funcție de celelalte două: 3=1-1-2 ecuația precedentă devine: Pentru determinarea ponderilor 1 și 2, se anulează derivatele parțiale ale ecuației riscului în raport cu acestea: Rezolvând sistemul format din ecuațiile precedente, se determină 1 și 2, apoi E(rP) și corespunzătoare portofoliului optim (cu risc minim). Dacă din calcule, rezultă valori negative ale ponderilor, acestea se exclud dintre soluțiile posibile, deoarece semnifică o vânzare pe debit care nu este admisă
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
investitorului pe frontiera eficientă este determinată de atitudinea sa față de risc. Problema frontierei eficiente va fi privită ca o problemă de optimizare cu restricții și se va rezolva aplicând la multiplicatorul lui Lagrange. Caracteristicile problemei care utilizează toate cele trei ecuații ale modelului lui Markowitz sunt13: una din restricții este suma ponderilor; valoarea rentabilității portofoliului se consideră parametru, iar ecuația rentabilității este a doua restricție; funcția obiectiv (de minimizat) este riscul portofoliului; soluțiile problemei sunt multiple (descriu un loc geometric). Lagrangianul
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
problemă de optimizare cu restricții și se va rezolva aplicând la multiplicatorul lui Lagrange. Caracteristicile problemei care utilizează toate cele trei ecuații ale modelului lui Markowitz sunt13: una din restricții este suma ponderilor; valoarea rentabilității portofoliului se consideră parametru, iar ecuația rentabilității este a doua restricție; funcția obiectiv (de minimizat) este riscul portofoliului; soluțiile problemei sunt multiple (descriu un loc geometric). Lagrangianul funcției obiectiv este: unde: 1, 2 sunt multiplicatori (câte unul pentru fiecare restricție); rentabilitățile medii ale titlurilor componente; r
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
unde: 1, 2 sunt multiplicatori (câte unul pentru fiecare restricție); rentabilitățile medii ale titlurilor componente; r' parametru (rentabilitatea portofoliului); 1/2 coeficient de corecție, introdus în expresia lagrangianului pentru ușurarea calculelor). Observații: 1) Se poate considera ca funcție obiectiv, fie ecuația riscului care trebuie minimizată, fie ecuația rentabilității care trebuie maximizată. Se alege prima variantă și din rațiuni matematice, deoarece ecuația riscului este de gradul doi (există derivata a II-a). 2) Când se urmărește o soluție unică (selecția ponderilor optime
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
unul pentru fiecare restricție); rentabilitățile medii ale titlurilor componente; r' parametru (rentabilitatea portofoliului); 1/2 coeficient de corecție, introdus în expresia lagrangianului pentru ușurarea calculelor). Observații: 1) Se poate considera ca funcție obiectiv, fie ecuația riscului care trebuie minimizată, fie ecuația rentabilității care trebuie maximizată. Se alege prima variantă și din rațiuni matematice, deoarece ecuația riscului este de gradul doi (există derivata a II-a). 2) Când se urmărește o soluție unică (selecția ponderilor optime), nu se consideră rentabilitatea ca restricție
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
2 coeficient de corecție, introdus în expresia lagrangianului pentru ușurarea calculelor). Observații: 1) Se poate considera ca funcție obiectiv, fie ecuația riscului care trebuie minimizată, fie ecuația rentabilității care trebuie maximizată. Se alege prima variantă și din rațiuni matematice, deoarece ecuația riscului este de gradul doi (există derivata a II-a). 2) Când se urmărește o soluție unică (selecția ponderilor optime), nu se consideră rentabilitatea ca restricție. De fapt, ecuația (8) a modelului lui Markowitz nu intervine în metoda de rezolvare
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
trebuie maximizată. Se alege prima variantă și din rațiuni matematice, deoarece ecuația riscului este de gradul doi (există derivata a II-a). 2) Când se urmărește o soluție unică (selecția ponderilor optime), nu se consideră rentabilitatea ca restricție. De fapt, ecuația (8) a modelului lui Markowitz nu intervine în metoda de rezolvare prezentată la 2.3.1.a. Când se urmăresc soluții multiple (frontiera eficientă), se consideră ecuația rentabilității ca restricție, dar ca ecuație parametrică. Necunoscutele de determinat sunt cei doi
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
soluție unică (selecția ponderilor optime), nu se consideră rentabilitatea ca restricție. De fapt, ecuația (8) a modelului lui Markowitz nu intervine în metoda de rezolvare prezentată la 2.3.1.a. Când se urmăresc soluții multiple (frontiera eficientă), se consideră ecuația rentabilității ca restricție, dar ca ecuație parametrică. Necunoscutele de determinat sunt cei doi multiplicatori și ponderile i ale titlurilor. Se pune condiția de ordinul întâi (condiția necesară) reprezentând anularea derivatelor de ordinul I ale lagrangianului, în raport cu necunoscutele de determinat. Exemplificăm
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
se consideră rentabilitatea ca restricție. De fapt, ecuația (8) a modelului lui Markowitz nu intervine în metoda de rezolvare prezentată la 2.3.1.a. Când se urmăresc soluții multiple (frontiera eficientă), se consideră ecuația rentabilității ca restricție, dar ca ecuație parametrică. Necunoscutele de determinat sunt cei doi multiplicatori și ponderile i ale titlurilor. Se pune condiția de ordinul întâi (condiția necesară) reprezentând anularea derivatelor de ordinul I ale lagrangianului, în raport cu necunoscutele de determinat. Exemplificăm pentru cazul a trei titluri componente
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
doi multiplicatori și ponderile i ale titlurilor. Se pune condiția de ordinul întâi (condiția necesară) reprezentând anularea derivatelor de ordinul I ale lagrangianului, în raport cu necunoscutele de determinat. Exemplificăm pentru cazul a trei titluri componente: Sub formă matriceală, acest sistem de ecuații se scrie: AX = B X = A-1B Soluția ecuației matriceale adică valorile i, 1, 2 va rezulta ca dependentă de parametrul r'. Se dau acestuia valori cerute (așteptate) de investitori inclusiv valorile și, pentru fiecare valoare, se determină setul de ponderi
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
pune condiția de ordinul întâi (condiția necesară) reprezentând anularea derivatelor de ordinul I ale lagrangianului, în raport cu necunoscutele de determinat. Exemplificăm pentru cazul a trei titluri componente: Sub formă matriceală, acest sistem de ecuații se scrie: AX = B X = A-1B Soluția ecuației matriceale adică valorile i, 1, 2 va rezulta ca dependentă de parametrul r'. Se dau acestuia valori cerute (așteptate) de investitori inclusiv valorile și, pentru fiecare valoare, se determină setul de ponderi i. Se exclud valorile negative ale acestora. Observație
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
de distribuție. În modelul diagonal sunt necesare 3n+2 informații. Sunt "n" speranțe de rentabilitate, "n" riscuri și "n" covarianțe ale titlurilor cu indicele pieței. Se adaugă rentabilitatea și riscul pieței. În mod evident: Ca formule de bază, se folosesc ecuația dreptei de regresie și ecuația riscului titlului din modelul de piață 16. Pentru ușurarea calculelor (simplificarea notațiilor) se folosesc rentabilități medii în locul speranțelor de rentabilitate. Reamintim că notația "P" desemnează portofoliul și notația "p" piața. (10) și (11) Se determină
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
sunt necesare 3n+2 informații. Sunt "n" speranțe de rentabilitate, "n" riscuri și "n" covarianțe ale titlurilor cu indicele pieței. Se adaugă rentabilitatea și riscul pieței. În mod evident: Ca formule de bază, se folosesc ecuația dreptei de regresie și ecuația riscului titlului din modelul de piață 16. Pentru ușurarea calculelor (simplificarea notațiilor) se folosesc rentabilități medii în locul speranțelor de rentabilitate. Reamintim că notația "P" desemnează portofoliul și notația "p" piața. (10) și (11) Se determină mai întâi forma covarianțelor covi
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
de piață 16. Pentru ușurarea calculelor (simplificarea notațiilor) se folosesc rentabilități medii în locul speranțelor de rentabilitate. Reamintim că notația "P" desemnează portofoliul și notația "p" piața. (10) și (11) Se determină mai întâi forma covarianțelor covi,j ținând cont de ecuația (10). (12) Reluăm calculul riscului total al portofoliului. Se notează (numai pentru modelul diagonal) ponderile i ale titlurilor componente ale portofoliului, cu xi; pentru a se evita confuzia cu valoarea i care apare în ecuația (10). Conform modelului lui Markowitz
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
covi,j ținând cont de ecuația (10). (12) Reluăm calculul riscului total al portofoliului. Se notează (numai pentru modelul diagonal) ponderile i ale titlurilor componente ale portofoliului, cu xi; pentru a se evita confuzia cu valoarea i care apare în ecuația (10). Conform modelului lui Markowitz: Se regrupează primul și ultimul termen într-o operațiune în sens invers față de descompunerea inițială (după indici identici și indici diferiți), care avea rolul de a evidenția riscurile individuale și covarianțele. Ecuația (13), reprezintă forma
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
care apare în ecuația (10). Conform modelului lui Markowitz: Se regrupează primul și ultimul termen într-o operațiune în sens invers față de descompunerea inițială (după indici identici și indici diferiți), care avea rolul de a evidenția riscurile individuale și covarianțele. Ecuația (13), reprezintă forma ecuației riscului în modelul diagonal. Primul termen al membrului drept al ecuației reprezintă riscul specific (suma produselor între pătratele ponderilor și riscurile specifice ale titlurilor). Cel de-al doilea termen (produsul între pătratul volatilității portofoliului și riscul
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
10). Conform modelului lui Markowitz: Se regrupează primul și ultimul termen într-o operațiune în sens invers față de descompunerea inițială (după indici identici și indici diferiți), care avea rolul de a evidenția riscurile individuale și covarianțele. Ecuația (13), reprezintă forma ecuației riscului în modelul diagonal. Primul termen al membrului drept al ecuației reprezintă riscul specific (suma produselor între pătratele ponderilor și riscurile specifice ale titlurilor). Cel de-al doilea termen (produsul între pătratul volatilității portofoliului și riscul pieței) reprezintă riscul sistematic
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
într-o operațiune în sens invers față de descompunerea inițială (după indici identici și indici diferiți), care avea rolul de a evidenția riscurile individuale și covarianțele. Ecuația (13), reprezintă forma ecuației riscului în modelul diagonal. Primul termen al membrului drept al ecuației reprezintă riscul specific (suma produselor între pătratele ponderilor și riscurile specifice ale titlurilor). Cel de-al doilea termen (produsul între pătratul volatilității portofoliului și riscul pieței) reprezintă riscul sistematic al portofoliului considerat. Se determină frontiera eficientă, folosind multiplicatorii lui Lagrange
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]
-
produsul între pătratul volatilității portofoliului și riscul pieței) reprezintă riscul sistematic al portofoliului considerat. Se determină frontiera eficientă, folosind multiplicatorii lui Lagrange, după procedura expusă în subcapitolul 2.3.1.b. Funcția obiectiv (de minimizat) este riscul portofoliului, redat de ecuația (4). Se folosesc trei restricții: (unde βP este considerată ca necunoscută care depinde de ponderile xi) (ecuație parametrică) Lagrangianul funcției obiectiv este: Pentru determinarea necunoscutelor xi, p și 1, 2, 3, se anulează derivatele de ordinul întâi ale funcției L
[Corola-publishinghouse/Science/1466_a_2764]