9,239 matches
-
anumite reguli de calcul, date de Heisenberg, au fost în mod formal identice cu regulile calculului cu matrici, stabilite cu mult timp înainte de către matematicieni. Born, Jordan și Heisenberg au propus apoi să înlocuiască variabilele de poziție și impuls ale ecuațiilor mecanicii clasice cu matrici. Ei au aplicat regulile mecanicii matriciale la câteva probleme extrem de simplificate și rezultatele au fost destul de satisfăcătoare. Cu toate acestea, atunci nu a existat nicio dovadă rațională că mecanica lor matricială s-ar dovedi corectă în
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
care au inclus vechea teorie a atomului de hidrogen. Miracolul a apărut abia când mecanica matricială, sau o teorie matematic echivalentă, a fost aplicată problemelor pentru care regulile calculului lui Heisenberg erau lipsite de sens. Regulile lui Heisenberg presupuneau că ecuațiile clasice de mișcare aveau soluții cu anumite proprietăți de periodicitate; și că ecuațiile de mișcare ale celor doi electroni ai atomului de heliu, sau ale numărului chiar mai mare de electroni ai atomilor mai grei, pur și simplu nu au
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
când mecanica matricială, sau o teorie matematic echivalentă, a fost aplicată problemelor pentru care regulile calculului lui Heisenberg erau lipsite de sens. Regulile lui Heisenberg presupuneau că ecuațiile clasice de mișcare aveau soluții cu anumite proprietăți de periodicitate; și că ecuațiile de mișcare ale celor doi electroni ai atomului de heliu, sau ale numărului chiar mai mare de electroni ai atomilor mai grei, pur și simplu nu au aceste proprietăți, astfel încât regulile lui Heisenberg nu pot fi aplicate acestor cazuri. Cu
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
fost făcut acum câteva luni de către Kinoshita la Cornell și de către Bayley la Oficiul de Standarde 6, este în conformitate cu datele experimentale privind acuratețea observațiilor, de o parte la zece milioane. Desigur, în acest caz, am reușit "să scoatem" ceva din ecuațiile în care nu am pus nimic. Același lucru e valabil și în cazul trăsăturilor calitative ale "spectrelor complexe", adică ale spectrelor atomilor mai grei. Aș dori să reamintesc o conversație cu Jordan, care mi-a spus, când trăsăturile calitative ale
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
unui cabinet telefonic central, ca să numesc doar câteva. De dragul frumuseții, aș mai putea cita cercetarea tranzistorizată, zborul spațial și designul computerelor, dar aproape toată știința și ingineria au folosit manipulări matematice ample cu succese remarcabile. Mulți dintre dvs. cunoașteți istoria ecuațiilor lui Maxwell, cum, într-o oarecare măsură din motive de simetrie, le-a pus un anumit termen și, mai târziu, undele radio prezise de teorie au fost găsite de către Hertz. Sunt binecunoscute multe alte exemple care au prezis cu succes
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
prezis cu succes efecte fizice necunoscute prin intermediul formulărilor matematice, de aceea nu mai trebuie să le repet aici. Rolul fundamental al invarianței este subliniat de Wigner. Este un fapt de bază pentru matematicieni, ca și pentru știință. Lipsa invarianței la ecuațiile lui Newton (nevoia unui cadru absolut de referință pentru viteze) i-a condus pe Lorentz, Fitzgerald, Poincaré și Einstein la extraordinara teorie a relativității. Și Wigner observă că aceleași concepte matematice se regăsesc în conexiuni total neașteptate. De exemplu, funcțiile
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
rațională (încă). Mai departe, simplitatea matematicii a fost mult timp considerată cheia pentru aplicațiile în fizică. Einstein este cel mai celebru exponent al acestei credințe. Dar, chiar și în matematică, simplitatea este remarcabilă, cel puțin pentru mine; cele mai simple ecuații algebrice, liniare și cuadratice corespund celor mai simple entități geometrice, linii drepte, cercuri și conice. Acest lucru face analiza geometrică posibilă într-un mod practic. Cum poate matematica simplă, la urma urmei un produs al minții umane, să fie de
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
abstracte teorii logice, cum ar fi, de exemplu, algebra categorială, o formă de logică algebrică foarte generală derivată din aplicarea algebrei la topologie. Un al doilea exemplu este relația dintre topologie și studiul proprietăților asimptotice sau, pe termen lung, al ecuațiilor diferențiale. Încă de pe vremea lui Newton, legile de bază ce descriau procesele fizice au fost stabilite în forma ecuațiilor diferențiale adică a ecuațiilor ce prescriau rata de schimb a variabilelor de stare ale sistemului fizic în termenii stării date a
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
aplicarea algebrei la topologie. Un al doilea exemplu este relația dintre topologie și studiul proprietăților asimptotice sau, pe termen lung, al ecuațiilor diferențiale. Încă de pe vremea lui Newton, legile de bază ce descriau procesele fizice au fost stabilite în forma ecuațiilor diferențiale adică a ecuațiilor ce prescriau rata de schimb a variabilelor de stare ale sistemului fizic în termenii stării date a sistemului. Să considerăm, de exemplu, sistemul a două variabile x și y în forma În perioada dinaintea Primului Război Mondial, marele
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
Un al doilea exemplu este relația dintre topologie și studiul proprietăților asimptotice sau, pe termen lung, al ecuațiilor diferențiale. Încă de pe vremea lui Newton, legile de bază ce descriau procesele fizice au fost stabilite în forma ecuațiilor diferențiale adică a ecuațiilor ce prescriau rata de schimb a variabilelor de stare ale sistemului fizic în termenii stării date a sistemului. Să considerăm, de exemplu, sistemul a două variabile x și y în forma În perioada dinaintea Primului Război Mondial, marele matematician și astronom francez
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
în termenii stării date a sistemului. Să considerăm, de exemplu, sistemul a două variabile x și y în forma În perioada dinaintea Primului Război Mondial, marele matematician și astronom francez Henri Poincaré a introdus un mod de analiză a unor astfel de ecuații cu două necunoscute care descriu proprietățile finale ale soluțiilor lor: , în care t devine foarte mare. El a arătat că fiecare astfel de pereche de funcții, când este reprezentată ca un punct în planul (x,y), converge fie la un
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
mai mult de 2 variabile , , a fost intens studiată în ultimele două decenii și prezintă dificultăți topologice semnificative. Cele mai importante rezultate au fost cele obținute de Stephen Smale în teoria sistemelor Morse-Smale. Și mai mari dificultăți apar în studiul ecuațiilor diferențiale funcționale. Proprietățile asimptotice ale unor sisteme cum sunt cele obținute din soluții ale ecuațiilor diferențiale pot fi considerate și dintr-un alt punct de vedere, cel al teoriei probabilităților. În forma ei modernă, teoria probabilităților s-a dezvoltat ca
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
dificultăți topologice semnificative. Cele mai importante rezultate au fost cele obținute de Stephen Smale în teoria sistemelor Morse-Smale. Și mai mari dificultăți apar în studiul ecuațiilor diferențiale funcționale. Proprietățile asimptotice ale unor sisteme cum sunt cele obținute din soluții ale ecuațiilor diferențiale pot fi considerate și dintr-un alt punct de vedere, cel al teoriei probabilităților. În forma ei modernă, teoria probabilităților s-a dezvoltat ca o disciplină matematică precisă și puternic sofisticată pe baza teoriei integralei și a măsurii Lebesgue
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
din punct de vedere probabilistic cu unul din sistemele standard din studiile lui Bernoulli. Descrierea fenomenelor fizice în formă continuă (mișcare de undă și difuzie, precum și fenomene de echilibru) a fost dată începând cu secolul al VIII-lea în forma ecuațiilor cu derivate parțiale adică ecuații ce prescriu rata de variație în diverse direcții spațiale, precum și în timp în termenii variabilelor de stare. Teoria de matematică pură a soluțiilor ecuațiilor cu derivate parțiale, în special a acelor soluții care satisfac condițiile
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
cu unul din sistemele standard din studiile lui Bernoulli. Descrierea fenomenelor fizice în formă continuă (mișcare de undă și difuzie, precum și fenomene de echilibru) a fost dată începând cu secolul al VIII-lea în forma ecuațiilor cu derivate parțiale adică ecuații ce prescriu rata de variație în diverse direcții spațiale, precum și în timp în termenii variabilelor de stare. Teoria de matematică pură a soluțiilor ecuațiilor cu derivate parțiale, în special a acelor soluții care satisfac condițiile suplimentare numite condiții la limită
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
a fost dată începând cu secolul al VIII-lea în forma ecuațiilor cu derivate parțiale adică ecuații ce prescriu rata de variație în diverse direcții spațiale, precum și în timp în termenii variabilelor de stare. Teoria de matematică pură a soluțiilor ecuațiilor cu derivate parțiale, în special a acelor soluții care satisfac condițiile suplimentare numite condiții la limită pe regiunile de spațiu-timp în care sunt definite, a fost începută de faimosul matematician german Bernhard Riemann în anii 1850 și dezvoltată în coroborare
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
teorie (creată înainte de cel de-al Doilea Război Mondial de, printre alții, Michel Plancherel, Salomon Bochner, Norbert Wiener și Torsten Carleman) era teoria transformării Fourier, care în cazul n-dimensional este unde , Problemele clasice referitoare la toate clasele obișnuite de ecuații diferențiale parțiale au fost rezolvate într-un mod simplu și sistematic prin folosirea acestor instrumente. Numeroase noi clase, implicând fundamentele unor teorii relativ inaccesibile, precum teoria funcțiilor analitice de mai multe variabile complexe, au fost de asemenea abordate. În ultimii
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
iz, w =u + iv, cu x și y, u și v reali. Să presupunem că pentru fiecare z în discul din jurul lui z0 este definită funcția f. Atunci se spune că f este analitică dacă componentele ei satisfac sistemul de ecuații cu derivate parțiale (ecuațiile Cauchy-Riemann): Teoria funcțiilor analitice de o singură variabilă complexă a fost capodopera matematică a secolului al XIX-lea. Impactul ei în fizică se poate măsura prin fraza de deschidere a volumului din 1966 al fizicienilor britanici
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
cu x și y, u și v reali. Să presupunem că pentru fiecare z în discul din jurul lui z0 este definită funcția f. Atunci se spune că f este analitică dacă componentele ei satisfac sistemul de ecuații cu derivate parțiale (ecuațiile Cauchy-Riemann): Teoria funcțiilor analitice de o singură variabilă complexă a fost capodopera matematică a secolului al XIX-lea. Impactul ei în fizică se poate măsura prin fraza de deschidere a volumului din 1966 al fizicienilor britanici Eden, Landshoff, Olive și
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
multe variabile complexe a fost un factor stimulativ de dezvoltare în ultimele decenii, matematicienii și fizicienii din trecut au folosit asemenea rezultate sofisticate pentru a calcula integrala Feynman implicată în teoria câmpului cuantic. În plus față de progresele rapide în teoria ecuațiilor liniare cu derivate parțiale din ultimele trei decenii, o dezvoltare la fel de intensă a avut loc pe terenul mai dificil al ecuațiilor neliniare cu derivate parțiale și al problemelor neliniare. Aplicațiile realizate și potențiale ale unei asemenea dezvoltări au inclus cea
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
rezultate sofisticate pentru a calcula integrala Feynman implicată în teoria câmpului cuantic. În plus față de progresele rapide în teoria ecuațiilor liniare cu derivate parțiale din ultimele trei decenii, o dezvoltare la fel de intensă a avut loc pe terenul mai dificil al ecuațiilor neliniare cu derivate parțiale și al problemelor neliniare. Aplicațiile realizate și potențiale ale unei asemenea dezvoltări au inclus cea mai mare parte a domeniilor-cheie din fizică și biologie. O aplicație cu adevărat remarcabilă din ultimele trei decenii a fost descrierea
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
neliniare. Aplicațiile realizate și potențiale ale unei asemenea dezvoltări au inclus cea mai mare parte a domeniilor-cheie din fizică și biologie. O aplicație cu adevărat remarcabilă din ultimele trei decenii a fost descrierea teoretică a mișcării undei neliniare de dispersie ecuația Korteweg-De Vries a cărei investigație detaliată a arătat existența solitonilor unde permanente care interacționează fără să-și piardă identitatea sau dinamica. Studiul ecuațiilor neliniare, cu derivate parțiale, integrale sau de forme mai generale, a impus dezvoltarea studiului sistematic al analizei
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
cu adevărat remarcabilă din ultimele trei decenii a fost descrierea teoretică a mișcării undei neliniare de dispersie ecuația Korteweg-De Vries a cărei investigație detaliată a arătat existența solitonilor unde permanente care interacționează fără să-și piardă identitatea sau dinamica. Studiul ecuațiilor neliniare, cu derivate parțiale, integrale sau de forme mai generale, a impus dezvoltarea studiului sistematic al analizei neliniare funcționale, considerând operatorii neliniari pe spații sau funcții și studiind proprietățile soluțiilor ecuațiilor ce implică astfel de operatori. Problemele neliniare sunt provocările
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
interacționează fără să-și piardă identitatea sau dinamica. Studiul ecuațiilor neliniare, cu derivate parțiale, integrale sau de forme mai generale, a impus dezvoltarea studiului sistematic al analizei neliniare funcționale, considerând operatorii neliniari pe spații sau funcții și studiind proprietățile soluțiilor ecuațiilor ce implică astfel de operatori. Problemele neliniare sunt provocările esențiale ale matematicilor și științelor teoretice viitoare. Dezvoltarea analizei funcționale sau a teoriei operatorilor a implicat instrumente din topologia algebrică, din topologia varietăților diferențiabile, și din teoria convexității, precum și cele mai
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
Acest lucru a avut un impact puternic în ultimele decenii asupra studiului unei largi varietăți de probleme neliniare cu valoare limitată, precum și în crearea unor probleme noi și mai generale relevante pentru aplicațiile ce nu pot fi descrise în termenii ecuațiilor cu derivate parțiale, cum ar fi inegalitățile variaționale și cvasi-variaționale. Un program extrem de promițător care își propune aplicarea unor instrumente matematice sofisticate la o gamă largă de probleme în știință și, în special, în domeniul dezvoltării biologice a fost promovat
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]