31,723 matches
-
alte notații. Folosind Simbolul lui Pochhammer: putem scrie: Cel mai simplu exemplu este funcția exponențială: Un alt exemplu este cel al funcției formula 17: Factorizând primul termen seria devine: în care coeficientul celui de-al n-lea termen este: Atunci raportul coeficienților consecutivi devine Deoarece (n+1) nu este un factor al numitorului, înmulțim și numărătorul și numitorul cu acest factor pentru a obține: Acest raport conduce la expresia: Similar, multe funcții elementare se pot exprima sub formă de serii hipergeometrice, precum
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
spațiul Riemann simetric. Seriile care nu conțin factorul n! la numitor se numesc serii hipergeometrice bilaterale, dacă sumarea se face pentru toți întregii n, inclusiv cei negativi. Există anumite valori ale lui formula 27 și formula 28 pentru care numărătorul sau numitorul coeficienților este 0. Excluzând cazurile de mai sus, determinarea razei de convergență a seriei poate fi facută prin limita raportului termenilor succesivi cand n → ∞. Problema convergenței pentru p=q+1 când z se află pe cercul unitate, adică |z| = 1, este
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
Comparând cele de mai sus, obținem o ecuație diferențială pentru funcția: defintă de seria: Inversând formulele de diferențiere, obtinem următoarele formule de integrare: 1° pentru formula 50 2° pentru formula 52 Folosind la integrare metoda substituției, pentru formula 54, obținem: De exemplu Raportul coeficienților unei serii obținute prin luarea tuturor termenilor unei serii hipergeometrice este de asemenea rațional. Extinzând acestea în conformitate cu procesul de mai sus, obținem pentru termenii impari: iar pentru termenii pari: De exemplu: Fie formula 68 operatorul formula 69. Din formula de diferențiere de
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
asociate ei, sau cincisprezece relative la formula 93 și oricare două din cele șase funcții asociate ei, etc. O identitate derivată este: și va reprezenta o serie finită dacă (b-d) este un întreg nenegativ. Dezvoltând se obține o serie în care coeficientul lui formula 96 este: unde formula 98 este funcția Beta. Se poate arăta că: deci Cazuri speciale: sau sau cu condiția formula 105 sau formula 106 atunci ambele parți ale egalității converg. Această condiție a fost dată deEuler în 1748 și reprezintă baza transformărilor
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
sunt considerate în formă de armonice sferice, aceste polinoame reflectă, într-un anumit sens, proprietățile de simetrie a două sfere, sau echivalent, rotațiile date de grupul Lie SO(3). În produsul tensorial se întâlnesc decompoziții de reprezentări concrete ale grupului coeficienților Clabsch-Gordon, care pot fi scriși sub forma seriei hipergeometrice F.
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
x, t )" este sistemul de coordonate transformat care se mișcă cu viteza de grup "Ω'( k )" a undei călătoare. Curbura dispersiei, "Ω"( k )", este întotdeauna negativă pentru unda de vânt sub acțiunea forței gravitaționale. Pentru undele de la suprafața apei adânci, coeficienții importanți ai ecuației neliniare Schrödinger sunt: în care "g" este accelerația gravitațională. NLSE (1) este măsura echivalentă a ecuației Landau-Lifshitz izotropice (LLE) sau a ecuației feromagnetului Heisenberg: De notat că aceste ecuații admit câteva generalizări integrabile și neintegrabile în dimensiunea
Ecuația Schrödinger neliniară () [Corola-website/Science/317730_a_319059]
-
de 53 de echipe au concurat pentru 23 de locuri la turneul final, alăturându-se Franței. Gibraltar a participat pentru prima oară în preliminariile pentru Campionatul European, după ce s-au afiliat la UEFA în 2013. Urnele au fost realizate cu ajutorul coeficienților UEFA, cu câștigătoarea EURO 2012 (Spania) și gazda (Franța) fiind automat în prima urnă. Cele 53 de echipe au fost împărțite în opt grupe de câte șase echipe și 1 grupă de 5 echipe. Locul 1, 2, și cel mai
Campionatul European de Fotbal 2016 () [Corola-website/Science/317804_a_319133]
-
este, în analiza funcțională, o teoremă referitoare la legătura dintre coeficienții unui element "X" dintr-un spațiu Hilbert și un șir ortonormal. Poartă numele matematicianului german Friedrich Wilhelm Bessel. Fie formula 1 un spațiu Hilbert și să presupunem că formula 2 este un șir ortonormat în formula 1. Atunci, pentru orice formula 4 in formula 1
Inegalitatea lui Bessel () [Corola-website/Science/318040_a_319369]
-
este diferențiala totală a funcției -V:formula 4 O consecință importantă este că integrala formei Ω este în acest caz independentă de drum: într-adevăr,formula 5iar forma drumului nu joacă nici un rol. Chestiunea care se ridică este cum putem recunoaște, inspectând coeficienții "a", dacă forma Ω reprezintă o diferențială totală. Răspunsul este bine cunoscut:dacă Ω este definită într-o vecinătate (stelată) U a unui punct x, atunci: "Condiția necesară și suficientă pentru ca Ω să fie diferențiala totală a unei funcții F
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
const" (vezi Fig.1), unde constanta depinde de condițiile inițiale:formula 16 deci "F=const". Aceste proprietăți pot rămâne adevărate si atunci cand Ω nu este o diferențială totală: pentru ca Ω=0 și dF = 0 să descrie același plan este suficientă proporționalitatea coeficienților diferențialelor dx cu un factor depinzând de punctul x = x...,x): formula 17. Forma Ω o scriem atunci:formula 18 Spunem despre o formă Ω care satisface astfel de relații că este integrabilă. Factorul μ(x) se numește factor integrant(d). Factorul
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
schimbări de coordonate (vezi §1.2.1) cât și la înmulțirea formei Ω cu o funcție oarecare de x."Integrarea" 1-formei Ω înseamnă găsirea unei schimbări "inteligente" de variabile x = x(x'...x'), i=1...,n, astfel încât, în noile variabile, coeficienții tuturor diferențialelor să se anuleze, cu excepția unuia singur. Intuitiv, dacă ecuațiile suprefețelor "înfășurate" de planele Ω=0 sunt cunoscute: x=x(x,x...x,x), unde x este coordonata intersecției lor cu axa x și dacă ∂x/∂x ≠ 0, atunci
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
anumite constrângeri asupra parametrilor de forță Y(U,x,x..x) prin care se asigură integrabilitatea formei DQ. O formă diferențială care conține numai doi termeni:formula 23 este totdeauna integrabilă împrejurul unui punct (x,y), dacă cel puțin unul din coeficienți nu se anulează. Într-adevar, daca b(x,y) ≠ 0, ecuația:formula 24 are o soluție unică y(x,y) definită intr-o vecinătate U "X" U a lui (x,y), cu derivate continue față de ambele variabile și astfel incât y
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
analiza echilibrului termic - poate fi tratat fără a face recurs la "teoria generală" urmând pe Max Planck. O prezentare detaliată a procedurii sale se găsește într-un . Pentru n≥3 1-formele diferențiale nu sunt integrabile, decât dacă anumite condiții asupra coeficienților lor sunt îndeplinite. Deducția acestor condiții pentru n=3 o prezentăm aici; cazul general (n oarecare) păstrează același spirit și este tratat sumar în paragraful următor. Presupunem că ne aflăm într-o vecinătate a unui punct (x,y,z) unde
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
acestor condiții pentru n=3 o prezentăm aici; cazul general (n oarecare) păstrează același spirit și este tratat sumar în paragraful următor. Presupunem că ne aflăm într-o vecinătate a unui punct (x,y,z) unde cel puțin unul din coeficienții "a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)" ai formei formula 29nu se anulează. Presupunem că acesta este "c(x,y,z)", astfel incât (impărțind cu c(x,y,z) și renotând a/c cu a, b
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
y,z) față de z pentru x,y,z suficient de aproape de (x,y,z). Deducem că ecuația (2.12) este satisfăcută pentru orice (x,y,z) în această vecinătate. Condiția (2.12) poate fi scrisă în mod simetric fata de coeficienții a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z) (revenind la notațiile inițiale înlocuind in (2.12) a(x,y,z) și b(x,y,z) cu a(x,y,z)/c(x,y,z) și b
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
y,z):formula 36 Remarcă:dacă b=0, atunci condiția (2.12) se reduce la ∂a/∂y=0:dacă diferențiala dy nu apare, atunci, pentru ca 1-forma Ω să fie integrabilă, trebuie ca variabila y să nu mai apară de loc în coeficienții formei. Dacă coeficientul lui dz depinde de x, atunci dependența de y dispare după ce Ω a fost împărțită cu acest coeficient. Folosind această "remarcă", arătăm acum suficiența condiției (2.13) și cum se poate construi explicit funcția z(x,y
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
Remarcă:dacă b=0, atunci condiția (2.12) se reduce la ∂a/∂y=0:dacă diferențiala dy nu apare, atunci, pentru ca 1-forma Ω să fie integrabilă, trebuie ca variabila y să nu mai apară de loc în coeficienții formei. Dacă coeficientul lui dz depinde de x, atunci dependența de y dispare după ce Ω a fost împărțită cu acest coeficient. Folosind această "remarcă", arătăm acum suficiența condiției (2.13) și cum se poate construi explicit funcția z(x,y). Considerăm pentru aceasta
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
apare, atunci, pentru ca 1-forma Ω să fie integrabilă, trebuie ca variabila y să nu mai apară de loc în coeficienții formei. Dacă coeficientul lui dz depinde de x, atunci dependența de y dispare după ce Ω a fost împărțită cu acest coeficient. Folosind această "remarcă", arătăm acum suficiența condiției (2.13) și cum se poate construi explicit funcția z(x,y). Considerăm pentru aceasta la fiecare x fixat (dx=0) ecuația diferențială pentru z(x,y):formula 37 care are, într-o vecinătate
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
transformare, 1-forma Ω devine:formula 39 Dar în virtutea ecuației (2.14 ) termenii conținând pe dy dispar. După remarca de mai sus, dacă (2.13) este satisfăcută, atunci în noile variabile x,y,z, dependența de y trebuie să dispară complet când coeficientul lui dx sau dz este o constantă:formula 40Dar atunci Ω' nu conține decât două variabile și este integrabilă după § 2.1. Considerăm formula 42 pentru x,y,z împrejurul lui (x,y,z)=(1,1,1). Condiția (2.13) este satisfăcută
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
hiperplanul Ω=0 conține (n-1) vectori liniar independenți și deci ecuația (3.4) înseamnă (n-1)(n-2)/2 (numărul de perechi de vectori) condiții independente. "Remarca" din paragraful precedent rămâne adevărată: dacă forma Ω este integrabilă, unul din coeficienții ei este ales constant și coeficientul unei diferențiale - o numim dx - este nul în întreaga vecinătate U a unui punct x, atunci nici unul din ceilalți coeficienți ai formei nu mai depinde de x. Aceasta este o consecință a teoremei lui
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
vectori liniar independenți și deci ecuația (3.4) înseamnă (n-1)(n-2)/2 (numărul de perechi de vectori) condiții independente. "Remarca" din paragraful precedent rămâne adevărată: dacă forma Ω este integrabilă, unul din coeficienții ei este ales constant și coeficientul unei diferențiale - o numim dx - este nul în întreaga vecinătate U a unui punct x, atunci nici unul din ceilalți coeficienți ai formei nu mai depinde de x. Aceasta este o consecință a teoremei lui Frobenius (3.4) și permite construcția
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
independente. "Remarca" din paragraful precedent rămâne adevărată: dacă forma Ω este integrabilă, unul din coeficienții ei este ales constant și coeficientul unei diferențiale - o numim dx - este nul în întreaga vecinătate U a unui punct x, atunci nici unul din ceilalți coeficienți ai formei nu mai depinde de x. Aceasta este o consecință a teoremei lui Frobenius (3.4) și permite construcția explicită a suprafeței integrale, iterând procedura de la sfârșitul paragrafului (începând de la ecuația (2.14)) Condițiile de integrabilitate ale lui Frobenius
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
este o "2-formă", definită prin formula 53unde "da" este "1-forma" dată de "diferențiala totală" a lui "a". Un calcul simplu arată că formula 54 Analog, produsul exterior al unei 2-forme cu o 1-formă este o 3-formă, care este o conbinație liniară, cu coeficienți care depind de (x,x...x) a 3-formelor elementare dx Λ dx Λ dx; acestea sunt funcționale (multi)liniare total antisimetrice de 3 vectori :formula 55= volumul prismei determinate de "proiecțiile" vectorilor ξ, m=1,2,3, in subspațiul 3-dimensional generat
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
format din:formula 59 poate fi scris:formula 60 după schimbarea de variabile: "x=x/y, z=z-x (1-y)/3". În general, un sistem de n-1 1-forme cu n variabile este integrabil daca există un determinant de ordinul n-1 al coeficienților care este nenul (1-formele sunt "independente"). Motivul este că putem alege una din variabile - o numim x - ca variabilă independentă și exprima diferențialele dx, i≤n-1 ca functie de dx, ceea ce este echivalent cu un sistem de n-1
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
2 și n=4 modul în care se obțin condițiile de integrabilitate; se vede ușor cum procedura este generalizabilă la p și n oarecare. Presupunem că cele două forme sunt independente, adică există un determinant de ordinul doi format din coeficienții a,a care nu se anulează. Putem atunci „rezolva“ sistemul față de două diferențiale, pe care le numim dz,dz astfel incât el ia forma:formula 62formula 63 Căutăm o soluție a acestui sistem z(x,y,z,z), z(x,y,z
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]