402 matches
-
supremație intuiționismul, logicismul și formalismul. Logicismul, formulat pentru prima dată de Frege și popularizat de Russell, a argumentat găsirea matematicii prin transparențele adevărului logic. A reieșit că adevărul logic nu este transparent, și acest program, care era mai degrabă favoritul logicienilor decât al matematicienilor, a eșuat. Intuiționismul, fondat și dezvoltat de către Brouwer, nega validitatea celor mai multe raționamente despre procesele infinite, clasice sau cantoriene. Dacă ar fi prosperat, ar fi făcut activitatea matematică în majoritatea domeniilor de o dificultate imposibilă. N-a prosperat
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
că sunt analiști, iar despre ceilalți că sunt geometri, nimic nu-i împiedică pe unii să rămână analiști chiar și atunci când fac geometrie, în timp ce ceilalți rămân geometri chiar dacă se ocupă de Analiză pură. Natura însăși a spiritului lor îi face logicieni sau intuiționiști, și nu pot scăpa de asta când abordează un nou subiect. Nu este vorba nici de educația care a dezvoltat în ei una din cele două tendințe și a înăbușit-o pe cealaltă. Te naști matematician, nu devii
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
știe bine că el nu ne-a dat decât o prezentare generală: fapt este, însă, că nu a ezitat s-o publice; și probabil crede că a găsit, dacă nu o demonstrație riguroasă, cel puțin o oarecare certitudine morală. Un logician ar fi aruncat îngrozit un asemenea proiect, de fapt, nici nu ar fi fost nevoie să-l arunce, întrucât așa ceva nici măcar nu i-ar fi trecut prin minte. Dați-mi voie să mai compar doi oameni, care fac cinste științei
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
mult să trateze problemele "prin analiză", celorlalți "prin geometrie". Primii sunt incapabili să "vadă în spațiu", pe ceilalți îi vor obosi calculele lungi și se vor încurca. Cele două feluri de gândire sunt necesare în mod egal pentru progresul științei; logicienii, ca și intuitivii, au făcut lucruri mărețe pe care ceilalți nu le-ar fi putut face. Cine ar îndrăzni să spună că ar fi dorit ca Weierstrass să nu fi scris niciodată, sau că ar fi preferat ca Riemann să
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
înclinație. De exemplu, Euclid a ridicat un eșafodaj savant căruia contemporanii săi nu-i puteau găsi vreun defect. În această vastă construcție, în care fiecare piesă se datorează totuși intuiției, putem recunoaște și astăzi, fără prea mare efort, opera unui logician. Nu mințile s-au schimbat, ci ideile; mințile intuitive au rămas aceleași; dar cititorii lor le-au cerut mai multe concesii. Care este rațiunea acestei evoluții? Nu este greu s-o descoperim. Că intuiția nu ne poate da nici rigoare
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
majoritate, prost definite; se credea că sunt cunoscute pentru că erau reprezentate cu simțul sau imaginația; dar aveam doar imaginea lor neșlefuită, și nu o idee precisă pe care să se fi putut baza raționamentul. Aici și-au unit mai întâi logicienii eforturile. La fel și pentru numărul incomensurabil. Ideea vagă a continuității, pe care o datorăm intuiției, s-a rezolvat printr-un sistem complicat de inegalități privind numerele întregi. Pe această cale, dificultățile provenind din trecerile la limită sau din considerarea
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
mult mai interesantă decât cea a elementelor izolate, iar un naturalist, care nu a studiat niciodată un elefant altfel decât la microscop, ar putea crede că știe suficient de bine acest animal? Ei bine! Și în matematică există ceva asemănător. Logicianul descompune, ca să spunem așa, fiecare demonstrație într-un număr foarte mare de operațiuni elementare; după ce am fi examinat aceste operațiuni una câte una și am fi constatat că fiecare este corectă, am fi putut crede că am înțeles adevăratul sens
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
pieselor. Aceasta v-ar permite doar să recunoașteți că fiecare mutare a fost făcută conform acestor reguli, iar acest avantaj ar valora foarte puțin, de fapt. Și, totuși, este ceea ce face cititorul unei cărți de matematică, dacă nu este decât logician. Înțelegerea partidei de șah este cu totul altceva; înseamnă să știi de ce jucătorul avansează o anumită piesă, mai degrabă decât o altă piesă pe care ar fi putut-o muta, de asemenea, fără să încalce regulile jocului. Înseamnă să-ți
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
a fost dată la o parte, cu alte cuvinte s-a aruncat reprezentarea grosieră care i-a servit pentru câtva timp drept sprijin și care-i devenise acum inutilă; nu a mai rămas decât construcția în sine, ireproșabilă în ochii logicianului. Și totuși, dacă imaginea primitivă ar fi dispărut complet din amintirea noastră, cum am mai fi ghicit prin ce capriciu au fost clădite în acest fel, unele peste altele, toate aceste inegalități? Probabil vi se pare că fac abuz de
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
geometrice. Ei bine, și analiștii au fost inventatori. Numele pe care le-am citat mai devreme mă scutesc de alte precizări. Există aici o contradicție, cel puțin aparentă, care se cere explicată. Mai întâi, poate să creadă cineva că acești logicieni au procedat întotdeauna de la general la particular, așa precum par să-i oblige regulile logicii formale? Nu astfel ar fi reușit ei să extindă frontierele Științei; nu poți face o cucerire științifică decât prin generalizare. Într-unul din capitolele volumului
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
de această intuiție pură și cei care se preocupă mai întâi de logica formală? De exemplu, dl Hermite, despre care am vorbit mai înainte, nu poate fi clasificat printre geometrii care se folosesc de intuiția sensibilă, dar nu este niciun logician propriu-zis. El nu-și ascunde repulsia pentru procedeele pur deductive care pornesc de la general pentru a merge la particular. Comentarii Henri Poincaré (1854-1912), unul dintre cei mai mari matematicieni din toate timpurile și, în egală măsură, filosof al științei și
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
care s-a impus nu se justifică. Acest tip de raționament nu este mai puțin o inducție matematică adevărată, care nu diferă de inducția obișnuită decât prin certitudinea sa. Definiții și axiome Existența unor asemenea principii ridică o dificultate pentru logicienii intransigenți; cum se gândesc ei să scape din asta? Principiul inducției complete, spun ei, nu este o axiomă propriu-zisă sau o judecată sintetică a priori; este pur și simplu definiția numărului întreg. Deci este o simplă convenție. Pentru a discuta
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
lui Euclid. Celelalte axiome ale geometriei nu sunt suficiente pentru a defini complet distanța; atunci, distanța va fi prin definiție între toate mărimile care satisfac aceste alte axiome cea care face ca postulatul lui Euclid să fie adevărat. Ei bine, logicienii admit pentru principiul inducției complete ceea ce eu admit pentru postulatul lui Euclid; nu vor să-l vadă decât ca pe o definiție mascată. Dar pentru a avea acest drept, trebuie îndeplinite două condiții. Stuart Mill spunea că orice definiție implică
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
să recurgem la procedee de demonstrație în care, în general, am fi forțați să invocăm tocmai acest principiu de inducție completă pe care trebuie să-l verificăm. Am explicat, așadar, una din condițiile pe care ar trebui să le satisfacă logicienii și vom vedea mai departe că nu au reușit. Mai este și o a doua condiție. Atunci când dăm o definiție, o facem pentru a ne folosi de ea. În continuarea discursului vom găsi, așadar, cuvântul definit; pornind de la obiectul reprezentat
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
Este posibil ca aceste două definiții să desemneze același obiect. Dar, dacă acesta este cazul, atunci este un adevăr nou pe care trebuie fie să-l demonstrăm, fie să-l admitem ca o axiomă independentă. Vom vedea, mai departe, că logicienii nu au reușit să îndeplinească cea de-a doua condiție mult mai bine decât pe prima. Definițiile numărului sunt foarte numeroase și foarte diverse; renunț să mai amintesc chiar și numele autorilor lor. Nu trebuie să ne mire că există
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
care sunt în mod vital necesare pentru memorare și înțelegere. Al treilea păcat, cel al identificării cultivării rațiunii cu educația, este mai rar, dar nu necunoscut: filosofii care, chipurile, nu doresc să fie deranjați sau încurcați doar cu fapte, precum și logicianul pur și matematicianul, care nu numai că nu doresc să-și pună mintea la lucru, dar sunt chiar înclinați să nege că acest lucru poate fi făcut, aceștia sunt cei vinovați de păcatul de a da atât de puțină atenție
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
copii sunt incapabili să devină matematicieni, și totuși trebuie să-i înveți matematică; și nici chiar matematicienii înșiși nu sunt cu toții turnați după același calapod. E suficient să le citești lucrările pentru a distinge între ei două feluri de spirite: logicieni precum Weierstrass, de exemplu, și intuitivi precum Riemann. Aceeași diferență o observăm și printre studenții noștri. Unora le place mai mult să trateze problemele "prin analiză", cum spun ei, celorlați "prin geometrie". Este complet inutil să încerci să schimbi ceva
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
Unora le place mai mult să trateze problemele "prin analiză", cum spun ei, celorlați "prin geometrie". Este complet inutil să încerci să schimbi ceva la ei, și, de altfel, ar fi oare de dorit acest lucru? Este bine să existe logicieni și este bine să existe intuitivi; cine ar îndrăzni să afirme că ar fi preferat ca Weierstrass să nu fi scris niciodată sau să nu fi existat deloc Riemann? Așadar, trebuie să ne resemnăm cu diversitatea de spirite, sau, mai
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
fost prost definite; credeai că le cunoști pentru că ți le reprezentai cu simțurile sau cu imaginația, dar nu aveai decât o imagine brută, și nu o idee precisă care să stea la baza raționamentului. Aici a trebuit să-și unească logicienii eforturile. La fel în cazul numărului incomensurabil. Ideea vagă de continuitate, pe care o datorăm intuiției, s-a rezolvat într-un sistem complicat de inegalități cu numere întregi. Așa au dispărut definitiv toate aceste dificultăți care-i înspăimântau pe înaintașii
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
logica ar fi singurul ghid al pedagogului, ar trebui să înceapă cu funcțiile cele mai generale, adică cele mai bizare. Pe debutant trebuie să-l pui în contact cu acest muzeu al anomaliilor monstruoase. Dacă n-o faceți, ar spune logicienii, veți atinge rigoarea doar în etape. Da, poate, dar nu putem pune un preț atât de mic pe realitate, și nu mă refer doar la realitatea lumii sensibile, care are totuși prețul său, întrucât nouă din zece elevi vă vor
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
care rezultă unitatea individului nu sunt tot o realitate, și încă una mai interesantă? Crede oare naturalistul, care nu a studiat niciodată elefantul decât la microscop, că poate cunoaște suficient acest animal? La fel se întâmplă și în matematică. După ce logicianul va fi descompus fiecare demonstrație într-o mulțime de operații elementare, toate corecte, tot nu va deține întreaga realitate; îi va scăpa complet acel nu-știu-ce care face unitatea demonstrației. În cazul edificiilor ridicate de maeștrii noștri, la ce bun să
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
un sistem complicat de inegalități, care reproduce toate liniile imaginii primitive; când totul este gata, s-a înlăturat schelăria, ca după construcția unei bolte; această reprezentare brută, acum sprijin inutil, a dispărut, și rămâne doar edificiul însuși, ireproșabil în ochii logicianului. Și, totuși, dacă profesorul nu ar reaminti imaginea primitivă, dacă nu ar restabili provizoriu schelăria, cum ar ghici elevul prin ce capriciu au fost clădite unele peste altele aceste inegalități? Definiția ar fi logic corectă, dar ea nu i-ar
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
cu promptitudine punctul în care acestea ar putea avea de-a face cu uneltele matematice pe care i le-am pus în mână. Cum ar putea face asta, dacă am lăsa între unii și alții acest abis profund săpat de către logicieni? Alături de viitorii ingineri, alți elevi, mai puțin numeroși, trebuie să devină la rândul lor profesori; trebuie așadar ca ei să meargă până la capăt; înainte de toate, cunoașterea profundă și riguroasă a primelor principii le este indispensabilă. Dar ăsta nu este un
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
nu diferă prin substanță și se apropie prin formă; că proprietățile lor sunt asemănătoare și, ca să spunem așa, paralele. Numai cu acest preț vom putea să satisfacem toate tendințele. Dacă enunțul este destul de corect pentru a fi pe placul unui logician, justificarea îl va mulțumi pe intuitiv. Dar încă mai putem face ceva și mai bun; de fiecare dată când acest lucru va fi posibil, justificarea va preceda enunțul și îl va pregăti; vom fi conduși la enunțul general prin studierea
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
rămânând încă pe tărâmul finitului: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2. Primul care a recurs la un astfel de șiretlic - să adune un număr infinit de termeni pentru a obține un rezultat finit - a fost un logician britanic din secolul al XIV-lea, Richard Suiseth. Suiseth a luat un șir numeric infinit: 1/2, 2/4, 3/8, 4/16, ... , n/2n, ... , și a adunat toate numerele, obținând 2 ca rezultat. La urma urmei, numerele din șir
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]