458 matches
-
a cuvintelor grecești περιφέρεια ("perifereia" = periferie) și περίμετρος ("perimetros" = perimetru), probabil cu referire la utilizarea sa în formula de calcul a circumferinței (sau a perimetrului) unui cerc. π este caracterul Unicode U+03C0 („Litera grecească mică pi”). În geometria plană euclidiană, π este definit ca raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său: Raportul / este constant, indiferent de dimensiunile unui cerc. De exemplu, dacă un cerc are de două ori diametrul "d" al unui alt cerc, el va avea de două
Pi () [Corola-website/Science/304110_a_305439]
-
cerc, el va avea de două ori circumferința "C", păstrând raportul /. Altfel, π poate fi definit și ca raportul dintre aria (A) unui cerc și aria unui pătrat cu latura egală cu raza cercului: Aceste definiții depind de rezultatele geometriei euclidiene, cum ar fi faptul că toate cercurile sunt asemenea. Aceasta poate fi considerată o problemă atunci când π apare în domenii matematice care altfel nu implică geometria. Din acest motiv, matematicienii preferă adesea să definească π fără referire la geometrie, alegând
Pi () [Corola-website/Science/304110_a_305439]
-
π și "e" sunt independente algebric, deși Iuri Nesterenko a demonstrat independența algebrică a numerelor {π, "e", Γ(1/4)} în 1996. π este omniprezent în matematică, apărând chiar și în locuri fără o legătură evidentă cu cercurile din geometria euclidiană. Pentru orice cerc de rază "r" și diametru "d" = 2"r", circumferința este π"d" și aria este π"r". Mai mult, π apare în formulele pentru arie și volum al multor forme geometrice bazate pe cerc, cum ar fi
Pi () [Corola-website/Science/304110_a_305439]
-
radiani. Cu alte cuvinte, 1° = (π/180) radiani. În matematica modernă, π este adesea "definit" cu ajutorul funcțiilor trigonometrice, de exemplu ca cel mai mic număr pozitiv "x" pentru care cos "x" = 0, pentru a evita dependența nenecesară de subtilitățile geometriei euclidiene și ale integrării. Echivalent, π poate fi definit cu ajutorul funcțiilor trigonometrice inverse, de exemplu care π = 2 arccos(0) sau π = 4 arctan(1). Expanding inverse trigonometric functions as power series is the easiest way to derive infinite series for
Pi () [Corola-website/Science/304110_a_305439]
-
matematică. Din punct de vedere al concepțiilor filozofice, Bolyai era la început ateu, ca apoi să manifeste un idealism sub formă camuflată. Atras de problemele fundamentale ale geometriei, se ocupă de acest domeniu, încercând să fixeze bazele riguroase ale geometriei euclidiene. Astfel, a studiat axioma paralelelor și a remarcat faptul că aceasta este independentă de celelalte axiome ale geometriei. Mai mult, a reușit să formuleze alte opt enunțuri echivalente ale acestei axiome. În domeniul analizei matematice, studiază convergența seriilor și descoperă
Farkas Bolyai () [Corola-website/Science/312188_a_313517]
-
domeniu inițiat în Franța de către Poicaré. S-a ocupat de soluțiile ecuațiilor undelor. A stabilit clase noi de mișcări (recurente, centrale) și a studiat condițiile aparițiilor acestora. S-a folosit de metodele topologice și de teoria mulțimilor. A caracterizat spațiul euclidian formula 1 în clasa spațiilor metrice prin proprietăți geometrice, preluate din axiomele lui David Hilbert. Birkhoff era pe deplin conștient de marea sa capacitate în domeniul matematicii și era hotărât să devină și să rămână primul matematician american în analiză. Era
George David Birkhoff () [Corola-website/Science/312187_a_313516]
-
reale), dar algoritmul a fost generalizat în secolul al XIX-lea și la alte tipuri de numere, cum ar fi întregii Gaussieni și polinoamele de o variabilă. Aceasta a dus la noțiuni moderne de algebră abstractă, cum ar fi inelele euclidiene. s-a generalizat și pentru alte structuri matematice, cum ar fi nodurile și polinoamele multivariate. Algoritmul lui Euclid are numeroase aplicații practice și teoretice. Este un element cheie al algoritmului RSA, o metodă de criptare cu chei publice des folosită
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
Euclid pentru a studia întregii algebrici, un tip general de numere. De exemplu, Dedekind a fost primul care a demonstrat teorema celor două pătrate a lui Fermat folosind factorizarea unică a întregilor gaussieni. Dedekind a definit și conceptul de domeniu euclidian, un sistem numeric în care se poate defini o versiune generalizată a algoritmului lui Euclid. În ultimele decenii ale secolului al XIX-lea, însă, algoritmul lui Euclid a fost treptat eclipsat de teoria mai generală a lui Dedekind despre idealuri
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
toate resturile "r", "r" etc. au fost substituite, ultima ecuație îl exprimă pe "g" sub forma unei combinații liniare de "a" și "b": "g" = "sa" + "tb". Identitatea lui Bézout, și deci și algoritmul anterior, poate fi generalizată la contextul domeniilor euclidiene. Identitatea lui Bézout dă o altă definiție a celui mai mare divizor comun "g" al două numere "a" și "b". Fie mulțimea tuturor numerelor de forma "ua" + "vb", unde "u" și "v" sunt orice două numere întregi. Cum "a" și
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
exemplu, el se poate folosi pentru a rezolva ecuații liniare diofantice și probleme chinezești ale resturilor pentru aceste numere; se pot defini și fracții continue de întregi gaussieni. O mulțime de elemente împreună cu doi operatori binari, + și ·, se numește inel euclidian dacă formează un inel comutativ "R" și dacă pe această mulțime se poate executa un algoritm al lui Euclid modificat. Cele două operații ale unui astfel de inel nu trebuie neapărat să fie adunarea și înmulțirea din aritmetica obișnuită; ele
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
un grup sau de pe un monoid. Cu toate acestea, aceste operații generale trebuie să respecte multe legi ce guvernează și aritmetica obișnuită, cum ar fi de exemplu commutativitatea, asociativitatea și distributivitate. Algoritmul lui Euclid generalizat are nevoie de o "funcție euclidiană", respectiv de o transformare "f" de la "R" la mulțimea numerelor întregi nenegative cu proprietatea că, pentru două elemente nenule "a" și "b" din "R", există "q" și "r" în "R" cu proprietatea că "a" = "qb" + "r" și "f"("r") < "f
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
de un număr finit de ori, algoritmul trebuie să se termine într-un număr finit de pași. Acest principiu se bazează pe ordonarea naturală și pe existența unui număr natural minim. Teorema fundamentală a aritmeticii se aplică pe orice inel euclidian: orice element dintr-un inel euclidian poate fi factorizat în mod unic în elemente ireductibile. Orice inel euclidian este un domeniu de factorizare unică, deși reciproca nu este adevărată întotdeauna. Inelele euclidiene sunt o submulțime a domeniilor CMMDC, domenii în
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
algoritmul trebuie să se termine într-un număr finit de pași. Acest principiu se bazează pe ordonarea naturală și pe existența unui număr natural minim. Teorema fundamentală a aritmeticii se aplică pe orice inel euclidian: orice element dintr-un inel euclidian poate fi factorizat în mod unic în elemente ireductibile. Orice inel euclidian este un domeniu de factorizare unică, deși reciproca nu este adevărată întotdeauna. Inelele euclidiene sunt o submulțime a domeniilor CMMDC, domenii în care există întotdeauna un cel mai
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
principiu se bazează pe ordonarea naturală și pe existența unui număr natural minim. Teorema fundamentală a aritmeticii se aplică pe orice inel euclidian: orice element dintr-un inel euclidian poate fi factorizat în mod unic în elemente ireductibile. Orice inel euclidian este un domeniu de factorizare unică, deși reciproca nu este adevărată întotdeauna. Inelele euclidiene sunt o submulțime a domeniilor CMMDC, domenii în care există întotdeauna un cel mai mic divizor comun al două elemente. Cu alte cuvinte, poate exista un
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
fundamentală a aritmeticii se aplică pe orice inel euclidian: orice element dintr-un inel euclidian poate fi factorizat în mod unic în elemente ireductibile. Orice inel euclidian este un domeniu de factorizare unică, deși reciproca nu este adevărată întotdeauna. Inelele euclidiene sunt o submulțime a domeniilor CMMDC, domenii în care există întotdeauna un cel mai mic divizor comun al două elemente. Cu alte cuvinte, poate exista un cel mai mare divizor comun (pentru toate elementele dintr-un inel), deși s-ar
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
mic divizor comun al două elemente. Cu alte cuvinte, poate exista un cel mai mare divizor comun (pentru toate elementele dintr-un inel), deși s-ar putea ca acesta să nu poată fi găsit cu ajutorul algoritmului lui Euclid. Un inel euclidian este întotdeauna un domeniu de ideal principal, domeniu integral în care fiecare ideal este un ideal principal. Din nou, reciproca nu este adevărată: nu orice astfel de domeniu este inel euclidian. Unicitatea factorizării în inelele euclidiene este utilă în mai
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
poată fi găsit cu ajutorul algoritmului lui Euclid. Un inel euclidian este întotdeauna un domeniu de ideal principal, domeniu integral în care fiecare ideal este un ideal principal. Din nou, reciproca nu este adevărată: nu orice astfel de domeniu este inel euclidian. Unicitatea factorizării în inelele euclidiene este utilă în mai multe aplicații. De exemplu, unicitatea factorizării întregilor gaussieni este convenabilă la calculul formulelor pentru toate tripletele pitagoreice și la demonstrarea teoremei lui Fermat privind suma a două pătrate. Unicitatea factorizării este
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
lui Euclid. Un inel euclidian este întotdeauna un domeniu de ideal principal, domeniu integral în care fiecare ideal este un ideal principal. Din nou, reciproca nu este adevărată: nu orice astfel de domeniu este inel euclidian. Unicitatea factorizării în inelele euclidiene este utilă în mai multe aplicații. De exemplu, unicitatea factorizării întregilor gaussieni este convenabilă la calculul formulelor pentru toate tripletele pitagoreice și la demonstrarea teoremei lui Fermat privind suma a două pătrate. Unicitatea factorizării este și element cheie într-o
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
o factorizare unică. Această neunicitate a factorizărilor din unele corpuri ciclotomice l-a condus pe Ernst Kummer la conceptul de număr ideal și, mai apoi, pe Richard Dedekind la cel de ideal. Întregii cuadratici pot fi un exemplu de inel euclidian. Întregii cuadratici sunt o generalizare a conceptului de întregi gaussieni în care unitatea imaginară "i" este înlocuită de un număr ω. Astfel, ele au forma "u" + "v" ω, unde "u" și "v" sunt numere întregi, iar ω are una dintre
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
egal cu un multiplu de patru plus unu (cum ar fi 5, 17, sau −19), atunci Altfel, Dacă funcția "f" corespunde unei funcții normă, cum ar fi cea utilizată la sortarea întregilor gaussieni, atunci inelul unor astfel de numere este euclidian doar pentru o mulțime finită de valori ale lui "D": "D" = −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57 sau 73. Întregii cuadratici cu "D" = −1 și −3
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57 sau 73. Întregii cuadratici cu "D" = −1 și −3 sunt întregi gaussieni, respectiv întregi Eisenstein. Dacă "f" poate fi orice funcție euclidiană atunci lista de valori posibile ale lui " D" pentru care inelul este euclidian nu este cunoscută. Primul exemplu de domeniu euclidian nu era cu funcție normă ("D"=69) și a fost publicat în 1994. În 1973, Weinberger a demonstrat că
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
21, 29, 33, 37, 41, 57 sau 73. Întregii cuadratici cu "D" = −1 și −3 sunt întregi gaussieni, respectiv întregi Eisenstein. Dacă "f" poate fi orice funcție euclidiană atunci lista de valori posibile ale lui " D" pentru care inelul este euclidian nu este cunoscută. Primul exemplu de domeniu euclidian nu era cu funcție normă ("D"=69) și a fost publicat în 1994. În 1973, Weinberger a demonstrat că un ienl este euclidian dacă și numai dacă este domeniu de ideal principal
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
Întregii cuadratici cu "D" = −1 și −3 sunt întregi gaussieni, respectiv întregi Eisenstein. Dacă "f" poate fi orice funcție euclidiană atunci lista de valori posibile ale lui " D" pentru care inelul este euclidian nu este cunoscută. Primul exemplu de domeniu euclidian nu era cu funcție normă ("D"=69) și a fost publicat în 1994. În 1973, Weinberger a demonstrat că un ienl este euclidian dacă și numai dacă este domeniu de ideal principal, cu condiția ca ipoteza Riemann generalizată să fie
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
valori posibile ale lui " D" pentru care inelul este euclidian nu este cunoscută. Primul exemplu de domeniu euclidian nu era cu funcție normă ("D"=69) și a fost publicat în 1994. În 1973, Weinberger a demonstrat că un ienl este euclidian dacă și numai dacă este domeniu de ideal principal, cu condiția ca ipoteza Riemann generalizată să fie adevărată; Demonstrația lui Weinberger a fost generalizată în 2004 pentru a elimina această restricție. Algoritmul lui Euclid se poate aplica pe inele necomutative
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
este divizor comun și al restului ρ. Ecuația analoagă pentru divizorii la stânga ar fi În oricare variantă, procesul se repetă ca mai sus până când se identifică cel mai mare divizor comun la dreapta sau la stânga. Ca și în cazul inelelor euclidiene, „mărimea” restului ρ trebuie să fie strict mai mică decât β, și trebuie să existe doar un număr finit de mărimi posibile pentru ρ, pentru ca algoritmul să se termine. Majoritatea rezultatelor pentru CMMDC sunt valabile și pentru inelele necomutative. De
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]