3,726 matches
-
târziu. Brahmagupta a operat fără dificultăți cu numere negative, considerând numerele ca având o existență independentă. Marele matematician tratează și ecuația diofantică, ecuația lui Pell. Brahmagupta definește pentru prima dată numărul "zero", adunarea și scăderea, stabilește regulile operațiilor elementare cu fracții. A contribuit la definitivarea sistemului zecimal pozițional de scriere a numerelor în India, așa cum este cunoscut astăzi. Una dintre cele mai cunoscute contribuții în geometrie este formula care îi poartă numele: Dacă ABCD este un patrulater inscriptibil, atunci aria acestuia
Brahmagupta () [Corola-website/Science/312200_a_313529]
-
folosită în comerțul electronic. Este utilizat pentru a rezolva ecuațiile diofantice, cum ar fi calcularea numerelor care satisfac mai multe congruențe (Teorema chinezească a resturilor) sau inversul multiplicativ al unui corp. Algoritmul lui Euclid poate fi utilizat pentru a construi fracții continue, în metoda lanțului Sturm pentru găsirea rădăcinilor reale ale unui polinom, și în mai mulți algoritmi moderni de factorizare a întregilor. În fine, este o unealtă de bază pentru demonstrarea unor teoreme din teoria modernă a numerelor, cum ar
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
a fost descris în Europa pentru prima dată în a doua ediție a lucrării lui Bachet "Problèmes plaisants et délectables" ("Probleme plăcute și delectabile", 1624). În Europa, a fost folosit tot pentru rezolvarea de ecuații diofantice, dar și la construcția fracțiilor continue. Algoritmul lui Euclid extins a fost publicat de matematicianul englez Nicholas Saunderson, care i l-a atribuit lui Roger Cotes ca metodă de calcul eficient a fracțiilor continue. În secolul al XIX-lea, algoritmul lui Euclid a dus la
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
fost folosit tot pentru rezolvarea de ecuații diofantice, dar și la construcția fracțiilor continue. Algoritmul lui Euclid extins a fost publicat de matematicianul englez Nicholas Saunderson, care i l-a atribuit lui Roger Cotes ca metodă de calcul eficient a fracțiilor continue. În secolul al XIX-lea, algoritmul lui Euclid a dus la dezvoltarea unor noi sisteme de numere, cum ar fi întregii gaussieni și întregii eisensteinieni. În 1815, Carl Gauss a utilizat algoritmul lui Euclid pentru a demonstra factorizarea unică
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
Gauss a utilizat algoritmul lui Euclid pentru a demonstra factorizarea unică a întregilor gaussieni, deși lucrarea sa a fost publicată pentru prima oară în 1832. Gauss a menționat algoritmul în "Disquisitiones Arithmeticae" (publicat la 1801), dar numai ca metodă pentru fracțiile continue. Peter Dirichlet pare a fi fost primul care a descris algoritmul lui Euclid ca bază pentru teoria numerelor. Dirichlet a observat că multe din rezultatele teoriei numerelor, cum ar fi unicitatea factorizării, sunt adevărate pentru toate celelalte sisteme de
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
din resturile "x" prin ecuația Deoarece aceste numere "h" sunt inversele multiplicative ale numerelor "M", ele se pot găsi folosind algoritmul lui Euclid așa cum s-a arătat în subsecțiunea anterioară. Algoritmul luo Euclid este în strânsă relație cu noțiunea de fracție continuă. Șirul de ecuații poate fi scris sub forma Ultimul termen din partea dreaptă este întotdeauna egal cu inversul părții stângi din ecuația următoare. Astfel, primele două ecuații pot fi combinate formând A treia ecuație poate fi folosită pentru a substitui
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
două ecuații pot fi combinate formând A treia ecuație poate fi folosită pentru a substitui termenul de la numitor "r"/"r", dând Raportul final al resturilor "r"/"r" poate fi oricând înlocuit folosind următoarea ecuație din serie, până la ultima. Rezultatul este fracția continuă În exemplul de mai sus, s-a calculat CMMDC(1071, 462), iar câturile "q" erau 2, 3 și respectiv 7. Deci fracția 1071/462 poate fi scrisă sub forma după cum confirmă și calculele. Calculul celui mai mare divizor comun
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
al resturilor "r"/"r" poate fi oricând înlocuit folosind următoarea ecuație din serie, până la ultima. Rezultatul este fracția continuă În exemplul de mai sus, s-a calculat CMMDC(1071, 462), iar câturile "q" erau 2, 3 și respectiv 7. Deci fracția 1071/462 poate fi scrisă sub forma după cum confirmă și calculele. Calculul celui mai mare divizor comun este un pas esențial în mai mulți algoritmi de factorizare a întregilor, such as Pollard's rho algorithm, algoritmul lui Shor, metoda de
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
de factorizare a întregilor, such as Pollard's rho algorithm, algoritmul lui Shor, metoda de factorizare a lui Dixon și factorizarea Lenstra cu curbe eliptice. Algoritmul lui Euclid poate fi utilizat eficient pentru găsirea CMMDC în aceste cazuri. Factorizarea cu fracții continue utilizează fracțiile continue, determinate folosind algoritmul lui Euclid. Eficiența computațională a algoritmului lui Euclid a fost mult studiată. Această eficiență poate fi descrisă de numărul de pași ai algoritmului înmulțit cu costul computațional al fiecărui pas. După cum a arătat
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
întregilor, such as Pollard's rho algorithm, algoritmul lui Shor, metoda de factorizare a lui Dixon și factorizarea Lenstra cu curbe eliptice. Algoritmul lui Euclid poate fi utilizat eficient pentru găsirea CMMDC în aceste cazuri. Factorizarea cu fracții continue utilizează fracțiile continue, determinate folosind algoritmul lui Euclid. Eficiența computațională a algoritmului lui Euclid a fost mult studiată. Această eficiență poate fi descrisă de numărul de pași ai algoritmului înmulțit cu costul computațional al fiecărui pas. După cum a arătat Gabriel Lamé pentru
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
aspecte. Primul este că resturile "r" sunt numere reale, deși câturile "q" sunt, ca și mai înainte, întregi. Al doilea este că algoritmul nu este garantat că se termină într-un număr finit "N" de pași. Dacă se termină, atunci fracția "a"/"b" este un număr rațional, adică este raportul a două numere întregi și poate fi scris ca fracție continuă finită ["q"; "q", "q", ..., "q"]. Dacă algoritmul nu se oprește, atunci fracția "a"/"b" este un număr irațional și poate
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
doilea este că algoritmul nu este garantat că se termină într-un număr finit "N" de pași. Dacă se termină, atunci fracția "a"/"b" este un număr rațional, adică este raportul a două numere întregi și poate fi scris ca fracție continuă finită ["q"; "q", "q", ..., "q"]. Dacă algoritmul nu se oprește, atunci fracția "a"/"b" este un număr irațional și poate fi descris de o fracție continuă infinită ["q"; "q", "q", ...]. Exemple de fracții continue infinite sunt raportul de aur
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
finit "N" de pași. Dacă se termină, atunci fracția "a"/"b" este un număr rațional, adică este raportul a două numere întregi și poate fi scris ca fracție continuă finită ["q"; "q", "q", ..., "q"]. Dacă algoritmul nu se oprește, atunci fracția "a"/"b" este un număr irațional și poate fi descris de o fracție continuă infinită ["q"; "q", "q", ...]. Exemple de fracții continue infinite sunt raportul de aur "φ" = [1; 1, 1, ...] și rădăcina pătrată a lui 2, √2 = [1; 2
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
număr rațional, adică este raportul a două numere întregi și poate fi scris ca fracție continuă finită ["q"; "q", "q", ..., "q"]. Dacă algoritmul nu se oprește, atunci fracția "a"/"b" este un număr irațional și poate fi descris de o fracție continuă infinită ["q"; "q", "q", ...]. Exemple de fracții continue infinite sunt raportul de aur "φ" = [1; 1, 1, ...] și rădăcina pătrată a lui 2, √2 = [1; 2, 2, ...]. În general, algoritmul nu se oprește, întrucât aproape toate rapoartele "a"/"b
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
întregi și poate fi scris ca fracție continuă finită ["q"; "q", "q", ..., "q"]. Dacă algoritmul nu se oprește, atunci fracția "a"/"b" este un număr irațional și poate fi descris de o fracție continuă infinită ["q"; "q", "q", ...]. Exemple de fracții continue infinite sunt raportul de aur "φ" = [1; 1, 1, ...] și rădăcina pătrată a lui 2, √2 = [1; 2, 2, ...]. În general, algoritmul nu se oprește, întrucât aproape toate rapoartele "a"/"b" de două numere reale sunt iraționale. O fracție
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
fracții continue infinite sunt raportul de aur "φ" = [1; 1, 1, ...] și rădăcina pătrată a lui 2, √2 = [1; 2, 2, ...]. În general, algoritmul nu se oprește, întrucât aproape toate rapoartele "a"/"b" de două numere reale sunt iraționale. O fracție continuă infinită poate fi trunchiată la un pas "k" ["q"; "q", "q", ..., "q"] pentru a da o aproximație a raportului "a"/"b", aproximație ce e cu atât mai bună cu cât "k" este mai mare. Aproximația este descrisă de convergenții
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
factorizarea acestora. Multe dintre aplicațiile descrise mai sus pentru numere întregi sunt valabile și pentru polinoame. Algoritmul lui Euclid se poate folosi pentru rezolvarea de ecuații liniare diofantice și de probleme chinezești ale resturilor pentru polinoame; se pot defini și fracții continue de polinoame. Algoritmul lui Euclid polinomial are și alte aplicații proprii, cum ar fi lanțurile Sturm, o tehnică de numărare a rădăcinilor reale ale polinoamelor într-un interval dat de pe axa numerelor reale. Aceasta are aplicații în mai multe
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
sau ±"i". Multe dintre celelalte aplicații ale algoritmului lui Euclid sunt valabile și pentru întregii gaussieni. De exemplu, el se poate folosi pentru a rezolva ecuații liniare diofantice și probleme chinezești ale resturilor pentru aceste numere; se pot defini și fracții continue de întregi gaussieni. O mulțime de elemente împreună cu doi operatori binari, + și ·, se numește inel euclidian dacă formează un inel comutativ "R" și dacă pe această mulțime se poate executa un algoritm al lui Euclid modificat. Cele două operații
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
în medie 90 micrograme de uraniu repartizate astfel: 66% în schelet, 16% în ficat 8% în rinichi și 10% în alte țesuturi. Definiția oficială a uraniului sărăcit dată de Comisia de Reglementare Nucleară a SUA (NRC) este: uraniul în care fracția procentuală în greutate a U este mai mică de 0,711%. Pentru utilizările militare ale uraniului sărăcit compoziția izotopică este : 99,8% U ; 0,2% U și 0,001% U. Uraniul sărăcit rezultă ca deșeu din instalațiile de îmbogățire a
Uraniu sărăcit () [Corola-website/Science/311004_a_312333]
-
Fracția molara e un mod de exprimare a concentrației unui component dintr-un amestec sau soluție, fiind raportul dintre cantitatea (numărul de moli) componentului și cantitatea totală din soluție. Se notează de obicei cu x sau x după cum e notat componentul
Fracție molară () [Corola-website/Science/311876_a_313205]
-
componentului și cantitatea totală din soluție. Se notează de obicei cu x sau x după cum e notat componentul. Este deci o mărime adimensionala. Prin multiplicare cu 100 rezultă procentul molar al componentului. În amestecuri ideale coincide că valori numerice cu fracția volumică. unde Fracția molara a unui component se poate calcula cunoscând masele componenților din amestec: Într-un compus raportul molar este dat de raportul numerelor de atomi din compusul respectiv. Spre deosebire de fracția molara raportul molar este dat de cantitatea unui
Fracție molară () [Corola-website/Science/311876_a_313205]
-
totală din soluție. Se notează de obicei cu x sau x după cum e notat componentul. Este deci o mărime adimensionala. Prin multiplicare cu 100 rezultă procentul molar al componentului. În amestecuri ideale coincide că valori numerice cu fracția volumică. unde Fracția molara a unui component se poate calcula cunoscând masele componenților din amestec: Într-un compus raportul molar este dat de raportul numerelor de atomi din compusul respectiv. Spre deosebire de fracția molara raportul molar este dat de cantitatea unui component prin raportare
Fracție molară () [Corola-website/Science/311876_a_313205]
-
În amestecuri ideale coincide că valori numerice cu fracția volumică. unde Fracția molara a unui component se poate calcula cunoscând masele componenților din amestec: Într-un compus raportul molar este dat de raportul numerelor de atomi din compusul respectiv. Spre deosebire de fracția molara raportul molar este dat de cantitatea unui component prin raportare la cantitatea solventului. Suma fracțiilor molare ale componenților e egală cu 1, condiție de normare. Această rezultă din definiția fracției molare. Din definiție mai rezultă că componentul pur are
Fracție molară () [Corola-website/Science/311876_a_313205]
-
se poate calcula cunoscând masele componenților din amestec: Într-un compus raportul molar este dat de raportul numerelor de atomi din compusul respectiv. Spre deosebire de fracția molara raportul molar este dat de cantitatea unui component prin raportare la cantitatea solventului. Suma fracțiilor molare ale componenților e egală cu 1, condiție de normare. Această rezultă din definiția fracției molare. Din definiție mai rezultă că componentul pur are o fracție molara de 1, iar dacă componentul nu este prezent în amestec fracția să molara
Fracție molară () [Corola-website/Science/311876_a_313205]
-
de raportul numerelor de atomi din compusul respectiv. Spre deosebire de fracția molara raportul molar este dat de cantitatea unui component prin raportare la cantitatea solventului. Suma fracțiilor molare ale componenților e egală cu 1, condiție de normare. Această rezultă din definiția fracției molare. Din definiție mai rezultă că componentul pur are o fracție molara de 1, iar dacă componentul nu este prezent în amestec fracția să molara e 0. Așadar fracție molara ia valori între 0 și 1. Relația dintre fracția molara
Fracție molară () [Corola-website/Science/311876_a_313205]