5,440 matches
-
„Universul este o creație divină, În care rolul omului este să-și Înfrângă animalitatea și să Încurajeze divinul” (Pitagora) Matematica s-a dezvoltat odată cu Înțelegerea naturii, una sprijinindu-se pe cealaltă. Potrivit geometriei sacre, Universul se manifestă și ni se prezintă prin proporții perfecte, frumoase, prin ritm, prin numere; lumea cântă și vibrează armonios, iar un mod de viață plin de Înțelepciune este să nu strici armonia dată. „Divinitatea geometrizează prin intermediul sunetului” spunea
Creativitate şi modernitate în şcoala românească by Claudia OLENIUC, Mariana OLENIUC () [Corola-publishinghouse/Science/91778_a_93109]
-
și aranjare În spațiu. Combinarea celor cinci corpuri regulate a creat știința numită alchimie. De asemenea multe concepte mistice și filozofice se bazează pe aceste forme, văzute ca simboluri. Cele cinci corpuri geometrice au fost denumite și poliedre platonice În geometria sacră, ca un omagiu adus lui Platon care le-a adus În atenția matematicienilor, deși filozoful nu are o contribuție matematică propriu-zisă la studierea lor. Pitagora a fost primul care a asociat dodecaedrul cu energia vieții. Dodecaedrul era un subiect
Creativitate şi modernitate în şcoala românească by Claudia OLENIUC, Mariana OLENIUC () [Corola-publishinghouse/Science/91778_a_93109]
-
care nici măcar discipolii nu discutau Între ei. În școala lui Pitagora se fac și primele Încercări de a se stabili legături Între idei, concepte și lumea reală: sferă, numere, figuri, Univers, considerat de formă sferică. „Divinitatea le-a dăruit pământenilor geometria ca să poată gândi noțiunea de perfecțiune. Universul este sferic ca și cel ce l-a creat”, spunea Pitagora. Cât de vechi sunt Însă aceste corpuri? La Muzeul Ashmolean (Oxford) din Anglia se află cele cinci corpuri regulate, sculptate În piatră
Creativitate şi modernitate în şcoala românească by Claudia OLENIUC, Mariana OLENIUC () [Corola-publishinghouse/Science/91778_a_93109]
-
matematice / 28 1.1.2. Aprioricitatea judecăților matematice / 35 1.1.3. Aplicabilitatea matematicii / 42 1.1.4. Distincția pur-aplicat / 44 1.2. Pozitiviștii logici / 44 1.2.1. Matematica secolului al XIX-lea / 46 1.2.1.1. Apariția geometriilor neeuclidiene / 46 1.2.1.2. O nouă fundamentare a geometriei / 55 1.2.1.3. Schimbarea viziunii asupra geometriei / 60 1.2.1.4. Fundamente noi pentru calcul / 62 1.2.1.5. Axiomatizarea aritmeticii / 66 1.2.1
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
3. Aplicabilitatea matematicii / 42 1.1.4. Distincția pur-aplicat / 44 1.2. Pozitiviștii logici / 44 1.2.1. Matematica secolului al XIX-lea / 46 1.2.1.1. Apariția geometriilor neeuclidiene / 46 1.2.1.2. O nouă fundamentare a geometriei / 55 1.2.1.3. Schimbarea viziunii asupra geometriei / 60 1.2.1.4. Fundamente noi pentru calcul / 62 1.2.1.5. Axiomatizarea aritmeticii / 66 1.2.1.6. Logica poliadică / 67 1.2.2. Teoria relativității generale / 69
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
44 1.2. Pozitiviștii logici / 44 1.2.1. Matematica secolului al XIX-lea / 46 1.2.1.1. Apariția geometriilor neeuclidiene / 46 1.2.1.2. O nouă fundamentare a geometriei / 55 1.2.1.3. Schimbarea viziunii asupra geometriei / 60 1.2.1.4. Fundamente noi pentru calcul / 62 1.2.1.5. Axiomatizarea aritmeticii / 66 1.2.1.6. Logica poliadică / 67 1.2.2. Teoria relativității generale / 69 1.2.3. O nouă viziune asupra matematicii / 75
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
au stat, la început, considerații opuse celor pe care am ajuns, în cele din urmă, să le susțin. Punctul de plecare a fost reprezentat de următoarea situație: În lucrarea sa "Is Logic Empirical?", H. Putnam pune următoarea întrebare: în cazul geometriei euclidiene, s-a întâmplat ca "adevăruri" despre care se credea că sunt necesare, să fie respinse ca falsități, de ce nu ar fi cazul și ca unele "adevăruri necesare" ale logicii să fie respinse? (Putnam 1969: 216) Odată cu propunerea de către Einstein
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
că sunt necesare, să fie respinse ca falsități, de ce nu ar fi cazul și ca unele "adevăruri necesare" ale logicii să fie respinse? (Putnam 1969: 216) Odată cu propunerea de către Einstein a teoriei relativității generale, s-a renunțat la ideea că geometria euclidiană reprezintă cadrul matematic potrivit pentru formularea legilor empirice care descriu unele fenomene empirice concrete. Acest lucru i-a făcut pe unii filosofi să afirme că dacă teoria relativității generale este corectă, atunci unele "adevăruri" despre care se credea că
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
vor spune că sunt astfel de legi ale logicii clasice care sunt false. Aceștia consideră că adevărata revoluție conceptuală produsă de mecanica cuantică este revizuirea logicii. După Putnam (Putnam 1976: 47), nucleul interpretării logice a mecanicii cuantice este următoarea propoziție: geometrie = logică teoria generală a relativității mecanică cuantică Există, însă, argumente pentru ideea că adevărurile matematicii nu "întâlnesc tribunalul experienței" atunci când este confirmată sau infirmată o teorie științifică. Plecând de la distincția trasată de Reichenbach între două înțelesuri ale "a priori-ului
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
și cea a lui Einstein sunt alcătuite din două părți care funcționează asimetric: o parte empirică (conține legi precum legea gravitației, ecuațiile lui Maxwell ale electromagnetismului etc.) și o parte a priori constitutivă (conține principiile matematice folosite în teorie precum geometria euclidiana și geometria minkowskiană, iar pe lângă acestea și anumite principii fizice fundamentale). De aici nu mai este decât un pas mic până la o viziune diferită de holismul epistemologic quinean. Tot ce rămâne de făcut este să se arate că cele
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
lui Einstein sunt alcătuite din două părți care funcționează asimetric: o parte empirică (conține legi precum legea gravitației, ecuațiile lui Maxwell ale electromagnetismului etc.) și o parte a priori constitutivă (conține principiile matematice folosite în teorie precum geometria euclidiana și geometria minkowskiană, iar pe lângă acestea și anumite principii fizice fundamentale). De aici nu mai este decât un pas mic până la o viziune diferită de holismul epistemologic quinean. Tot ce rămâne de făcut este să se arate că cele două părți sunt
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
suma unghiurilor unui triunghi este egală cu 180o. Aceasta nu este, însă, singura cale pe care o poate urma filosoful. Ne putem gândi că acesta are totuși o șansă de a ajunge la teorema noastră, imediat ce realizăm că la baza geometriei euclidiene stau anumite axiome din care sunt derivate toate teoremele cu ajutorul logicii, i.e. că inferența matematică este analitică. Putem spune, astfel, că în argumentul de mai sus ne-am folosit de un truc pentru a arăta că filosoful nu poate
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
nu poate ajunge cu ajutorul întrebuințării discursive a rațiunii la teorema noastră, și anume prin aceea că i-am dat un punct de plecare greșit: conceptul de triunghi. De fapt, pentru a ajunge la această teoremă, trebuie să plecăm de la axiomele geometriei euclidiene folosindu-ne doar de ce ne pune la dispoziție o întrebuințare a rațiunii din concepte. Din câte se pare, am reușit să găsim un răspuns parțial afirmativ la întrebarea de la care am plecat: putem ajunge la teorema noastră printr-o
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
a rațiunii din concepte. Din câte se pare, am reușit să găsim un răspuns parțial afirmativ la întrebarea de la care am plecat: putem ajunge la teorema noastră printr-o analiză conceptuală, dar nu a conceptului de triunghi, ci a axiomelor geometriei. Cineva ne poate opri în acest punct pentru a ne atrage atenția că îi atribuim lui Kant o viziune pe care cu siguranță nu a susținut-o. Noutatea filosofiei sale a matematicii constă tocmai în aceea că se îndepărtează de
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
procedează toate conform principiului contradicției (ceea ce e cerut de natura oricărei certitudini apodictice), au ajuns la convingerea că și principiile ar fi cunoscute pe baza principiului contradicției" (CRP, p. 59) iar aceasta este clar greșită. După Kant, "nici una dintre axiomele geometriei pure nu este analitică" (Prolegomene, p. 66). Pentru a arăta asta, el ia drept exemplu axioma că "linia dreaptă este linia cea mai scurtă care unește două puncte." Pentru a fi analitică, ar trebui ca în această judecată conceptul unei
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
cu ajutorul logicii, deoarece "o judecată sintetică poate fi cunoscută fără îndoială potrivit principiului contradicției, dar numai cu condiția de a se presupune o altă judecată sintetică din care să poată fi dedusă" (CRP, p. 59). Chiar dacă raționamentele matematicienilor sunt analitice, geometria este sintetică deoarece axiomele sale sunt sintetice. Deși această interpretare a viziunii kantiene asupra inferenței matematice este atractivă 3, este foarte greu, dacă nu imposibil, de susținut 4. Ne dăm seama de asta imediat ce ne îndreptăm atenția asupra distincției trasate
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
noastră de a afla dacă putem ajunge la o teoremă matematică doar cu ajutorul analizei conceptuale. Am văzut că, în principiu, am avea două căi la dispoziție, în funcție de alegerea punctului de plecare: plecând de la conceptul unui triunghi sau plecând de la axiomele geometriei. Dacă plecăm de la conceptul unui triunghi, nu putem ajunge, cu ajutorul analizei conceptuale mai departe decât simpla definiție a conceptului. Dacă plecăm de la axiomele geometriei, situația se complică un pic. Am putea ajunge la o teoremă matematică folosindu-ne doar de
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
la dispoziție, în funcție de alegerea punctului de plecare: plecând de la conceptul unui triunghi sau plecând de la axiomele geometriei. Dacă plecăm de la conceptul unui triunghi, nu putem ajunge, cu ajutorul analizei conceptuale mai departe decât simpla definiție a conceptului. Dacă plecăm de la axiomele geometriei, situația se complică un pic. Am putea ajunge la o teoremă matematică folosindu-ne doar de analiza conceptuală, dacă plecăm de la un set de axiome. Pentru asta trebuie, desigur, să luăm inferența matematică drept analitică. Există exegeți care oferă chiar
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
desfacere a conceptelor în elementele lor. În cazul aritmeticii lucrurile sunt un pic mai simple și pot da un plus de forță celor spuse până acum. Asta deoarece aici nu mai avem de-a face cu axiome ca în cazul geometriei, ci doar cu formule numerice, deci, în cazul ei, nu se mai poate pune problema derivării pur logice sau analitice a teoremelor din axiome. Pentru ca o judecată să poată juca rolul de axiomă, trebuie să fie și sintetică și generală
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
sumei numărului șapte cu numărul cinci. Vedem imediat că nu vom reuși, pentru că în conceptul sumei celor două numere nu este gândit și acel număr care le cuprinde pe amândouă. Deși sintetice, astfel de judecăți nu sunt generale. Spre deosebire de cazul geometriei, unde nu am "decât simpla funcție a imaginației productive" care poate produce o figură în diferite feluri, în aritmetică nu avem decât "sinteza omogenului (a unităților) [care]... nu poate avea loc aici decât într-un singur mod, cu toate că folosirea acestor
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
fiind forme pure ale sensibilității și, astfel, ca singurele surse de judecăți sintetice a priori. Putem pune în acest punct întrebarea care ne interesează în aceasta secțiune: ce face ca matematica să fie aplicabilă la lumea empirică? Dacă luăm cazul geometriei, răspunsul este următorul: "spațiul, așa cum îl gândește geometrul, este tocmai forma intuiției sensibile pe care o găsim a priori în noi și care conține temeiul posibilității tuturor fenomenelor exterioare." (Prolegomene, p. 89). Cum spațiul, înțeles ca formă a sensibilității, este
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Se consideră de obicei ca matematica a "suferit, în secolul al nouăsprezecelea, o transformare atât de profundă încât nu este prea mult să o numim o a doua naștere a subiectului." (H. Stein 1988: 238) 1.2.1.1. Apariția geometriei neeuclidiene Probabil că cea mai importantă schimbare care a apărut în matematica secolului nouăsprezece a fost descoperirea, independent, de către Lobacevski și Bolyai a geometriei neeuclidiene. Pentru a înțelege mai bine ce a condus la această descoperire, trebuie să ne reamintim
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
numim o a doua naștere a subiectului." (H. Stein 1988: 238) 1.2.1.1. Apariția geometriei neeuclidiene Probabil că cea mai importantă schimbare care a apărut în matematica secolului nouăsprezece a fost descoperirea, independent, de către Lobacevski și Bolyai a geometriei neeuclidiene. Pentru a înțelege mai bine ce a condus la această descoperire, trebuie să ne reamintim câteva lucruri despre geometria lui Euclid. El a realizat prima mare dezvoltare în matematică prin descoperirea metodei axiomatice și aplicarea ei la geometrie. Această
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
cea mai importantă schimbare care a apărut în matematica secolului nouăsprezece a fost descoperirea, independent, de către Lobacevski și Bolyai a geometriei neeuclidiene. Pentru a înțelege mai bine ce a condus la această descoperire, trebuie să ne reamintim câteva lucruri despre geometria lui Euclid. El a realizat prima mare dezvoltare în matematică prin descoperirea metodei axiomatice și aplicarea ei la geometrie. Această metodă poate fi considerată una dintre cele mai mari realizări a matematicii antice. Foarte pe scurt, metoda axiomatică constă în
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
a geometriei neeuclidiene. Pentru a înțelege mai bine ce a condus la această descoperire, trebuie să ne reamintim câteva lucruri despre geometria lui Euclid. El a realizat prima mare dezvoltare în matematică prin descoperirea metodei axiomatice și aplicarea ei la geometrie. Această metodă poate fi considerată una dintre cele mai mari realizări a matematicii antice. Foarte pe scurt, metoda axiomatică constă în derivarea de adevăruri despre un anumit domeniu de studiu, cu ajutorul logicii, dintr-o mulțime relativ mică de axiome. În cadrul
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]