5,440 matches
-
Această metodă poate fi considerată una dintre cele mai mari realizări a matematicii antice. Foarte pe scurt, metoda axiomatică constă în derivarea de adevăruri despre un anumit domeniu de studiu, cu ajutorul logicii, dintr-o mulțime relativ mică de axiome. În cadrul geometriei sale, Euclid distinge între axiome adevăruri considerate ca nemijlocit certe (de exemplu: "întregul este mai mare decât partea" sau "mărimile care sunt egale cu aceeași mărime sunt egale între ele") și postulate "asumpții a căror validitate părea mai puțin certă
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
ca nemijlocit certe (de exemplu: "întregul este mai mare decât partea" sau "mărimile care sunt egale cu aceeași mărime sunt egale între ele") și postulate "asumpții a căror validitate părea mai puțin certă, dar care păreau a fi adevărate despre geometria lumii noastre" (Penrose 2005: 28). Cele cinci postulate ale lui Euclid sunt: 1. Există un segment unic de dreaptă care leagă oricare două puncte. 2. Un segment de dreaptă poate fi extins nelimitat. 3. Se poate trasa un cerc cu
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
dreaptă se vom întâlni în acea parte a planului dacă sunt extinse suficient 18. Motivul pentru care am reprodus aici aceste postulate este acela că două dintre cele trei etape (Shenitzer 1994: 465) care au condus la descoperirea și acceptarea geometriilor neeuclidiene sunt legate direct de acestea. Prima dintre aceste etape apare odată cu realizarea faptului că cel de-al cincilea postulat este diferit de celelalte, adevărul lui neputând fi considerat evident. Asta a făcut că foarte mulți matematicieni să încerce să
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
credibile, dar interesante. Totuși, oricât de ciudate au părut a fi aceste rezultate, nici una dintre ele nu a fost într-adevăr o contradicție." (Penrose 2005: 43). De altfel, nici nu ar fi putut să fie, după cum știm foarte bine astăzi geometria hiperbolică este consistentă. Primul care a renunțat să mai caute o demonstrație pentru postulatul cinci sau să arate că există o contradicție în adăugarea negației acestui postulat la restul geometriei euclidiene, descriind în schimb o nouă geometrie tot hiperbolică a
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
ar fi putut să fie, după cum știm foarte bine astăzi geometria hiperbolică este consistentă. Primul care a renunțat să mai caute o demonstrație pentru postulatul cinci sau să arate că există o contradicție în adăugarea negației acestui postulat la restul geometriei euclidiene, descriind în schimb o nouă geometrie tot hiperbolică a fost Karl Friedrich Gauss. Acesta însă nu a publicat nimic în legătură cu ideile sale privitoare la posibilitatea unei geometrii neeuclidiene. Am vorbit mai sus despre existența a trei etape în descoperirea
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
foarte bine astăzi geometria hiperbolică este consistentă. Primul care a renunțat să mai caute o demonstrație pentru postulatul cinci sau să arate că există o contradicție în adăugarea negației acestui postulat la restul geometriei euclidiene, descriind în schimb o nouă geometrie tot hiperbolică a fost Karl Friedrich Gauss. Acesta însă nu a publicat nimic în legătură cu ideile sale privitoare la posibilitatea unei geometrii neeuclidiene. Am vorbit mai sus despre existența a trei etape în descoperirea și acceptarea geometriilor neeuclidiene. A doua astfel
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
arate că există o contradicție în adăugarea negației acestui postulat la restul geometriei euclidiene, descriind în schimb o nouă geometrie tot hiperbolică a fost Karl Friedrich Gauss. Acesta însă nu a publicat nimic în legătură cu ideile sale privitoare la posibilitatea unei geometrii neeuclidiene. Am vorbit mai sus despre existența a trei etape în descoperirea și acceptarea geometriilor neeuclidiene. A doua astfel de etapă o reprezintă crearea primei geometrii neeuclidiene complete de către Lobacevski și Bolyai. Ca și predecesorii lor, aceștia au început prin
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
în schimb o nouă geometrie tot hiperbolică a fost Karl Friedrich Gauss. Acesta însă nu a publicat nimic în legătură cu ideile sale privitoare la posibilitatea unei geometrii neeuclidiene. Am vorbit mai sus despre existența a trei etape în descoperirea și acceptarea geometriilor neeuclidiene. A doua astfel de etapă o reprezintă crearea primei geometrii neeuclidiene complete de către Lobacevski și Bolyai. Ca și predecesorii lor, aceștia au început prin a studia problema paralelelor 19, spre deosebire de predecesorii lor, ei au luat în considerare posibilitatea unei
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Gauss. Acesta însă nu a publicat nimic în legătură cu ideile sale privitoare la posibilitatea unei geometrii neeuclidiene. Am vorbit mai sus despre existența a trei etape în descoperirea și acceptarea geometriilor neeuclidiene. A doua astfel de etapă o reprezintă crearea primei geometrii neeuclidiene complete de către Lobacevski și Bolyai. Ca și predecesorii lor, aceștia au început prin a studia problema paralelelor 19, spre deosebire de predecesorii lor, ei au luat în considerare posibilitatea unei geometrii diferite de cea euclidiană. Primul a fost Nicolai Ivanovich Lobacevski
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
neeuclidiene. A doua astfel de etapă o reprezintă crearea primei geometrii neeuclidiene complete de către Lobacevski și Bolyai. Ca și predecesorii lor, aceștia au început prin a studia problema paralelelor 19, spre deosebire de predecesorii lor, ei au luat în considerare posibilitatea unei geometrii diferite de cea euclidiană. Primul a fost Nicolai Ivanovich Lobacevski care ține o prelegere la Universitatea din Kazan în 1826 și apoi publică o lucrare în 1829, în care ia în considerare posibilitatea unei geometrii în care se acceptă că
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
luat în considerare posibilitatea unei geometrii diferite de cea euclidiană. Primul a fost Nicolai Ivanovich Lobacevski care ține o prelegere la Universitatea din Kazan în 1826 și apoi publică o lucrare în 1829, în care ia în considerare posibilitatea unei geometrii în care se acceptă că se pot trasa două paralele printr-un punct exterior unei drepte la acea dreaptă. În locul postulatului 5, în construcția geometriei sale, Lobacevski s-a folosit de următorul postulat: cu privire la o linie dreaptă dată, toate celelalte
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
1826 și apoi publică o lucrare în 1829, în care ia în considerare posibilitatea unei geometrii în care se acceptă că se pot trasa două paralele printr-un punct exterior unei drepte la acea dreaptă. În locul postulatului 5, în construcția geometriei sale, Lobacevski s-a folosit de următorul postulat: cu privire la o linie dreaptă dată, toate celelalte linii drepte aflate în același plan pot fi împărțite în două clase: cele care intersectează linia dată și cele care nu o intersectează; o linie
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
este egală cu 180o, cel neeuclidian celei în care este mai mică de 180o. La trei ani după Lobacevski, fără însă a ști despre acesta, publică și Janos Bolyai rezultatele sale într-o anexă la o carte a tatălui său. Geometria lui Bolyai este similară celei a lui Lobacevski, singura diferență fiind aceea că Bolyai asumă că printr-un punct exterior unei drepte pot fi trasate mai multe paralele la acea dreaptă. Timp de aproape patruzeci de ani, lucrările celor doi
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
deloc atenția, unii matematicieni neștiind de existența lor, iar unii dintre "matematicienii care aflaseră de noul sistem geometric erau înclinați să-l privească mai degrabă ca pe o aberație decât ca pe, într-un anumit sens, o alternativă validă la geometria euclidiană" (Mykytiuk și Shenitzer 1995: 63). Lucrurile au început să se schimbe odată cu publicarea în 1868 de către Eugenio Beltrami a unei interpretări a lucrării lui Lobacevski. Ajungem astfel la ultima dintre cele trei etape amintite mai sus. Contribuția majoră a
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
început să se schimbe odată cu publicarea în 1868 de către Eugenio Beltrami a unei interpretări a lucrării lui Lobacevski. Ajungem astfel la ultima dintre cele trei etape amintite mai sus. Contribuția majoră a lui Beltrami constă în construirea unui model al geometriei hiperbolice. Acesta reușește să găsească o suprafață a cărei geometrii intrinseci să fie hiperbolică: aceasta este pseudosfera 20. O pseudosferă se obține rotind un tractrix în jurul asimptotei sale. Ce este interesant de remarcat în legătură cu aceasta este că pe ea sunt
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
obține rotind un tractrix în jurul asimptotei sale. Ce este interesant de remarcat în legătură cu aceasta este că pe ea sunt valabile rezultatele obținute de Lobacevski și Bolyai și astfel poate fi considerată ca "o lume" în care este valabilă o altă geometrie decât cea euclidiană. Cu ajutorul acestui model, Beltrami a reușit să facă trei lucruri: în primul rând să arate că geometria hiperbolică este consistentă, în al doilea rând să-i determine pe matematicienii vremurilor sale să ia în serios această geometrie
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
rezultatele obținute de Lobacevski și Bolyai și astfel poate fi considerată ca "o lume" în care este valabilă o altă geometrie decât cea euclidiană. Cu ajutorul acestui model, Beltrami a reușit să facă trei lucruri: în primul rând să arate că geometria hiperbolică este consistentă, în al doilea rând să-i determine pe matematicienii vremurilor sale să ia în serios această geometrie 21, iar în ultimul rând să facă intuitive rezultatele ei. Geometria hiperbolică nu este singura geometrie neeuclidiană care a apărut
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
geometrie decât cea euclidiană. Cu ajutorul acestui model, Beltrami a reușit să facă trei lucruri: în primul rând să arate că geometria hiperbolică este consistentă, în al doilea rând să-i determine pe matematicienii vremurilor sale să ia în serios această geometrie 21, iar în ultimul rând să facă intuitive rezultatele ei. Geometria hiperbolică nu este singura geometrie neeuclidiană care a apărut în secolul nouăsprezece. Tot atunci a apărut și geometria eliptica, descoperită de Bernhardt Riemann. Acesta a ajuns la geometria sa
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
facă trei lucruri: în primul rând să arate că geometria hiperbolică este consistentă, în al doilea rând să-i determine pe matematicienii vremurilor sale să ia în serios această geometrie 21, iar în ultimul rând să facă intuitive rezultatele ei. Geometria hiperbolică nu este singura geometrie neeuclidiană care a apărut în secolul nouăsprezece. Tot atunci a apărut și geometria eliptica, descoperită de Bernhardt Riemann. Acesta a ajuns la geometria sa pe o cale diferită de cea urmată de Lobacevski și Bolyai
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
rând să arate că geometria hiperbolică este consistentă, în al doilea rând să-i determine pe matematicienii vremurilor sale să ia în serios această geometrie 21, iar în ultimul rând să facă intuitive rezultatele ei. Geometria hiperbolică nu este singura geometrie neeuclidiană care a apărut în secolul nouăsprezece. Tot atunci a apărut și geometria eliptica, descoperită de Bernhardt Riemann. Acesta a ajuns la geometria sa pe o cale diferită de cea urmată de Lobacevski și Bolyai, și anume luând în considerare
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
-i determine pe matematicienii vremurilor sale să ia în serios această geometrie 21, iar în ultimul rând să facă intuitive rezultatele ei. Geometria hiperbolică nu este singura geometrie neeuclidiană care a apărut în secolul nouăsprezece. Tot atunci a apărut și geometria eliptica, descoperită de Bernhardt Riemann. Acesta a ajuns la geometria sa pe o cale diferită de cea urmată de Lobacevski și Bolyai, și anume luând în considerare două postulate diferite de cele ale geometriei euclidiene: postulatele doi și cinci. Postulatul
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
această geometrie 21, iar în ultimul rând să facă intuitive rezultatele ei. Geometria hiperbolică nu este singura geometrie neeuclidiană care a apărut în secolul nouăsprezece. Tot atunci a apărut și geometria eliptica, descoperită de Bernhardt Riemann. Acesta a ajuns la geometria sa pe o cale diferită de cea urmată de Lobacevski și Bolyai, și anume luând în considerare două postulate diferite de cele ale geometriei euclidiene: postulatele doi și cinci. Postulatul doi este înlocuit cu unul care spune că o linie
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
nouăsprezece. Tot atunci a apărut și geometria eliptica, descoperită de Bernhardt Riemann. Acesta a ajuns la geometria sa pe o cale diferită de cea urmată de Lobacevski și Bolyai, și anume luând în considerare două postulate diferite de cele ale geometriei euclidiene: postulatele doi și cinci. Postulatul doi este înlocuit cu unul care spune că o linie poate fi finită în lungime, iar de postulatul cinci nu mai e nevoie pentru că în geometria eliptică nu sunt acceptate paralelele. În ce fel
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
în considerare două postulate diferite de cele ale geometriei euclidiene: postulatele doi și cinci. Postulatul doi este înlocuit cu unul care spune că o linie poate fi finită în lungime, iar de postulatul cinci nu mai e nevoie pentru că în geometria eliptică nu sunt acceptate paralelele. În ce fel poate fi considerată apariția geometriilor neeuclidiene ca un prim pas în "dezintegrarea" viziunii kantiene asupra matematicii? Totul depinde de felul cum sunt privite aceste geometrii. Putem distinge între două feluri de a
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
cinci. Postulatul doi este înlocuit cu unul care spune că o linie poate fi finită în lungime, iar de postulatul cinci nu mai e nevoie pentru că în geometria eliptică nu sunt acceptate paralelele. În ce fel poate fi considerată apariția geometriilor neeuclidiene ca un prim pas în "dezintegrarea" viziunii kantiene asupra matematicii? Totul depinde de felul cum sunt privite aceste geometrii. Putem distinge între două feluri de a ne raporta la ele: ca fiind simple posibilități logice sau ca fiind alternative
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]