5,440 matches
-
cinci nu mai e nevoie pentru că în geometria eliptică nu sunt acceptate paralelele. În ce fel poate fi considerată apariția geometriilor neeuclidiene ca un prim pas în "dezintegrarea" viziunii kantiene asupra matematicii? Totul depinde de felul cum sunt privite aceste geometrii. Putem distinge între două feluri de a ne raporta la ele: ca fiind simple posibilități logice sau ca fiind alternative reale la geometria euclidiană. Să luăm prima variantă. Este ea consistentă cu viziunea kantiană asupra matematicii? Cineva ar putea spune
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
un prim pas în "dezintegrarea" viziunii kantiene asupra matematicii? Totul depinde de felul cum sunt privite aceste geometrii. Putem distinge între două feluri de a ne raporta la ele: ca fiind simple posibilități logice sau ca fiind alternative reale la geometria euclidiană. Să luăm prima variantă. Este ea consistentă cu viziunea kantiană asupra matematicii? Cineva ar putea spune că da. Acesta s-ar putea sprijini în interpretarea sa pe următorul text din Critica rațiunii pure: "nu este nici o contradicție în conceptul
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
conceptul unei figuri care este închisă între două linii drepte, căci conceptele de două linii drepte și de întâlnire a lor nu conțin negarea unei figuri." (CRP, p. 224). Am văzut în secțiunea precedentă că, în viziunea lui Kant, axiomele geometriei sunt sintetice și nu analitice. Dacă ar fi fost analitice, ar fi fost într-adevăr imposibil de găsit alte sisteme geometrice consistente bazate pe negarea unora dintre axiomele geometriei euclidiene. Cum, însă, aceste axiome sunt sintetice, trebuie să acceptăm posibilitatea
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Am văzut în secțiunea precedentă că, în viziunea lui Kant, axiomele geometriei sunt sintetice și nu analitice. Dacă ar fi fost analitice, ar fi fost într-adevăr imposibil de găsit alte sisteme geometrice consistente bazate pe negarea unora dintre axiomele geometriei euclidiene. Cum, însă, aceste axiome sunt sintetice, trebuie să acceptăm posibilitatea geometriilor neeuclidiene. Astfel, apariția acestor sisteme nu intră nicidecum în conflict cu filosofia kantiană a matematicii, ci reprezintă chiar o dovadă în favoarea acesteia. Problema cu o astfel de interpretare
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
sunt sintetice și nu analitice. Dacă ar fi fost analitice, ar fi fost într-adevăr imposibil de găsit alte sisteme geometrice consistente bazate pe negarea unora dintre axiomele geometriei euclidiene. Cum, însă, aceste axiome sunt sintetice, trebuie să acceptăm posibilitatea geometriilor neeuclidiene. Astfel, apariția acestor sisteme nu intră nicidecum în conflict cu filosofia kantiană a matematicii, ci reprezintă chiar o dovadă în favoarea acesteia. Problema cu o astfel de interpretare 22 este aceea că îi atribuie lui Kant o viziune asupra posibilității
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
de a fi suficientă pentru a constitui realitatea obiectivă a conceptului, adică posibilitatea unui obiect așa cum e gândit cu ajutorul conceptului." (ibidem, p. 224). Dar noțiunea de posibilitate logică folosită în interpretarea de mai sus, care ar lăsa loc liber acceptării geometriilor neeuclidiene, este una în care se ia principiul noncontradicției drept condiție și necesară și suficientă. Viziunea lui Kant este categorică din acest punct de vedere: nu se pune problema acceptării (nici măcar a posibilității logice 24 a) geometriilor neeuclidiene. Pentru a
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
loc liber acceptării geometriilor neeuclidiene, este una în care se ia principiul noncontradicției drept condiție și necesară și suficientă. Viziunea lui Kant este categorică din acest punct de vedere: nu se pune problema acceptării (nici măcar a posibilității logice 24 a) geometriilor neeuclidiene. Pentru a accepta că o figură geometrică este posibilă ne trebuie ceva mai mult decât simplu fapt că în conceptul acelei figuri nu este nici o contradicție, și anume trebuie "ca o astfel de figură să fie gândită numai sub
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
întrebarea de la care am plecat pentru că s-ar înțelege greșit că simpla discuție despre aceste sisteme geometrice în cadrul matematicii ar submina viziunea kantiană, ceea ce nu e așa. Ce face ca această viziune să se clatine este acceptarea faptului că figurile geometriilor neeuclidiene sunt obiecte posibile ale intuiției. Dar rezultatele obținute de Beltrami în legătură cu pseudosfera fac ca astfel de figuri să fie intuitive. Un alt pas important în punerea pe picior de egalitate a geometriilor neeuclidiene cu geometria euclidiană îl face Helmholtz
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
se clatine este acceptarea faptului că figurile geometriilor neeuclidiene sunt obiecte posibile ale intuiției. Dar rezultatele obținute de Beltrami în legătură cu pseudosfera fac ca astfel de figuri să fie intuitive. Un alt pas important în punerea pe picior de egalitate a geometriilor neeuclidiene cu geometria euclidiană îl face Helmholtz, care argumentează că aceleași proceduri constructive intuitive care ne fac să acceptăm adevărul postulatelor geometriei euclidiene pot să ne convingă, în alte circumstanțe, că lumea este neeuclidiană 26. Poincaré contribuie de asemenea la
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
acceptarea faptului că figurile geometriilor neeuclidiene sunt obiecte posibile ale intuiției. Dar rezultatele obținute de Beltrami în legătură cu pseudosfera fac ca astfel de figuri să fie intuitive. Un alt pas important în punerea pe picior de egalitate a geometriilor neeuclidiene cu geometria euclidiană îl face Helmholtz, care argumentează că aceleași proceduri constructive intuitive care ne fac să acceptăm adevărul postulatelor geometriei euclidiene pot să ne convingă, în alte circumstanțe, că lumea este neeuclidiană 26. Poincaré contribuie de asemenea la schimbarea atitudinii față de
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
ca astfel de figuri să fie intuitive. Un alt pas important în punerea pe picior de egalitate a geometriilor neeuclidiene cu geometria euclidiană îl face Helmholtz, care argumentează că aceleași proceduri constructive intuitive care ne fac să acceptăm adevărul postulatelor geometriei euclidiene pot să ne convingă, în alte circumstanțe, că lumea este neeuclidiană 26. Poincaré contribuie de asemenea la schimbarea atitudinii față de geometriile neeuclidiene prin teza sa a intertraductibilității geometriei euclidiene și celei lobacevskiene. 1.2.1.2. O nouă fundamentare
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
euclidiană îl face Helmholtz, care argumentează că aceleași proceduri constructive intuitive care ne fac să acceptăm adevărul postulatelor geometriei euclidiene pot să ne convingă, în alte circumstanțe, că lumea este neeuclidiană 26. Poincaré contribuie de asemenea la schimbarea atitudinii față de geometriile neeuclidiene prin teza sa a intertraductibilității geometriei euclidiene și celei lobacevskiene. 1.2.1.2. O nouă fundamentare a geometriei Una dintre cele mai importante consecințe (atât pentru filosofia matematicii, cât și pentru matematica secolului nouăsprezece) ale apariției geometriilor neeuclidiene
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
aceleași proceduri constructive intuitive care ne fac să acceptăm adevărul postulatelor geometriei euclidiene pot să ne convingă, în alte circumstanțe, că lumea este neeuclidiană 26. Poincaré contribuie de asemenea la schimbarea atitudinii față de geometriile neeuclidiene prin teza sa a intertraductibilității geometriei euclidiene și celei lobacevskiene. 1.2.1.2. O nouă fundamentare a geometriei Una dintre cele mai importante consecințe (atât pentru filosofia matematicii, cât și pentru matematica secolului nouăsprezece) ale apariției geometriilor neeuclidiene a fost reexaminarea fundamentelor geometriei euclidiene 27
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
pot să ne convingă, în alte circumstanțe, că lumea este neeuclidiană 26. Poincaré contribuie de asemenea la schimbarea atitudinii față de geometriile neeuclidiene prin teza sa a intertraductibilității geometriei euclidiene și celei lobacevskiene. 1.2.1.2. O nouă fundamentare a geometriei Una dintre cele mai importante consecințe (atât pentru filosofia matematicii, cât și pentru matematica secolului nouăsprezece) ale apariției geometriilor neeuclidiene a fost reexaminarea fundamentelor geometriei euclidiene 27. Această reexaminare a avut două rezultate, ambele asociate cu numele marelui matematician David
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
față de geometriile neeuclidiene prin teza sa a intertraductibilității geometriei euclidiene și celei lobacevskiene. 1.2.1.2. O nouă fundamentare a geometriei Una dintre cele mai importante consecințe (atât pentru filosofia matematicii, cât și pentru matematica secolului nouăsprezece) ale apariției geometriilor neeuclidiene a fost reexaminarea fundamentelor geometriei euclidiene 27. Această reexaminare a avut două rezultate, ambele asociate cu numele marelui matematician David Hilbert: o nouă axiomatizare a geometriei euclidiene și o nouă viziune a supra axiomelor. În secolul nouăsprezece a apărut
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
a intertraductibilității geometriei euclidiene și celei lobacevskiene. 1.2.1.2. O nouă fundamentare a geometriei Una dintre cele mai importante consecințe (atât pentru filosofia matematicii, cât și pentru matematica secolului nouăsprezece) ale apariției geometriilor neeuclidiene a fost reexaminarea fundamentelor geometriei euclidiene 27. Această reexaminare a avut două rezultate, ambele asociate cu numele marelui matematician David Hilbert: o nouă axiomatizare a geometriei euclidiene și o nouă viziune a supra axiomelor. În secolul nouăsprezece a apărut o cu totul altă atitudine față de
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
consecințe (atât pentru filosofia matematicii, cât și pentru matematica secolului nouăsprezece) ale apariției geometriilor neeuclidiene a fost reexaminarea fundamentelor geometriei euclidiene 27. Această reexaminare a avut două rezultate, ambele asociate cu numele marelui matematician David Hilbert: o nouă axiomatizare a geometriei euclidiene și o nouă viziune a supra axiomelor. În secolul nouăsprezece a apărut o cu totul altă atitudine față de axiomele unui sistem matematic. Dacă axiomele lui Euclid puteau fi privite ca fiind adevăruri evidente, în viziunea modernă acestea nu sunt
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
categoric 30. Un sistem geometric privit prin prisma acestei noi viziuni asupra axiomelor nu trebuie să stea în nici un fel de relație cu vreo intuiție de-a noastră și nu trebuie să fie despre structura lumii. Felul cum trebuie privită geometria din această perspectivă este cel mai bine exprimat prin afirmația lui Hilbert că "trebuie să putem spune în orice moment în loc de puncte, linii drepte și planuri mese, scaune și halbe de bere"31. Termenii primitivi care apar în aceste axiome
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
bine exprimat prin afirmația lui Hilbert că "trebuie să putem spune în orice moment în loc de puncte, linii drepte și planuri mese, scaune și halbe de bere"31. Termenii primitivi care apar în aceste axiome nu sunt definiți cum erau în geometria euclidiană, unde găseam definiții precum "un punct este acel ceva care nu are părți". După Hilbert, acești termeni sunt definiți de întregul sistem de axiome, fiecare axiomă contribuind la definiția termenilor care apar în ea. Specificul acestui tip de definiție
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
multe sisteme de concepte fiecare dintre acestea satisfăcând axiomele sub o relație bijectivă potrivită între termenii primitivi și conceptele sistemului în chestiune." (Resnik 1974: 392). O consecință imediată a acestei viziuni este aceea că ridică orice semne de întrebare cu privire la geometriile neeuclidiene: singurul criteriu de acceptabilitate a unui sistem geometric este consistența acestuia. Conflictul viziunii moderne asupra axiomelor cu filosofia kantiană a matematicii este atât de evident încât aproape că nici nu mai trebuie menționat. Cred că este suficient să remarcăm
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
sistem geometric este consistența acestuia. Conflictul viziunii moderne asupra axiomelor cu filosofia kantiană a matematicii este atât de evident încât aproape că nici nu mai trebuie menționat. Cred că este suficient să remarcăm în acest punct că, dacă la Kant geometria era indisolubil legată de intuiția pură, axiomele acesteia fiind privite ca "principii sintetice a priori, care sunt nemijlocit certe" (CRP, p. 533), neputându-se pune, deci, problema existenței unui sistem matematic neinterpretat; la Hilbert structura geometriei este separată cu totul
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
că, dacă la Kant geometria era indisolubil legată de intuiția pură, axiomele acesteia fiind privite ca "principii sintetice a priori, care sunt nemijlocit certe" (CRP, p. 533), neputându-se pune, deci, problema existenței unui sistem matematic neinterpretat; la Hilbert structura geometriei este separată cu totul de orice conținut. Am vorbit la începutul acestei secțiuni despre două rezultate pe care l-ea produs reexaminarea fundamentelor geometriei euclidiene. Cel de-al doilea astfel de rezultat constă în găsirea unor fundamente axiomatice riguroase pentru
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
CRP, p. 533), neputându-se pune, deci, problema existenței unui sistem matematic neinterpretat; la Hilbert structura geometriei este separată cu totul de orice conținut. Am vorbit la începutul acestei secțiuni despre două rezultate pe care l-ea produs reexaminarea fundamentelor geometriei euclidiene. Cel de-al doilea astfel de rezultat constă în găsirea unor fundamente axiomatice riguroase pentru geometria euclidiană și pleacă de la observarea faptului că postulatele lui Euclid sunt insuficiente pentru derivarea pur logică a unora dintre teoremele geometriei sale. Putem
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
este separată cu totul de orice conținut. Am vorbit la începutul acestei secțiuni despre două rezultate pe care l-ea produs reexaminarea fundamentelor geometriei euclidiene. Cel de-al doilea astfel de rezultat constă în găsirea unor fundamente axiomatice riguroase pentru geometria euclidiană și pleacă de la observarea faptului că postulatele lui Euclid sunt insuficiente pentru derivarea pur logică a unora dintre teoremele geometriei sale. Putem lua drept exemplu demonstrația oricărei teoreme în care se presupune că între două linii sau între două
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
reexaminarea fundamentelor geometriei euclidiene. Cel de-al doilea astfel de rezultat constă în găsirea unor fundamente axiomatice riguroase pentru geometria euclidiană și pleacă de la observarea faptului că postulatele lui Euclid sunt insuficiente pentru derivarea pur logică a unora dintre teoremele geometriei sale. Putem lua drept exemplu demonstrația oricărei teoreme în care se presupune că între două linii sau între două figuri care se întâlnesc avem un punct 32. Sistemul lui Euclid lasă deschisă posibilitatea ca două astfel de figuri sau linii
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]