5,440 matches
-
inexistent. Astfel, când se demonstrează acest tip de teoreme în sistemul euclidian, se asumă existența unui astfel de punct, iar "această asumpție este bazată pe intuiția geometrică" (Hempel 1945a: 8). Pentru a se evita această problemă, în formularea modernă a geometriei euclidiene, au fost introduse axiome ale continuității 33 și axiome ale ordinii. Cum în acest sistem nu mai apare problema demonstrării existenței punctului de intersecție, nu mai e nevoie să apelăm la intuiție pentru a demonstra teoremele noastre, la acestea
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
inferențele matematice sunt analitice și nu sintetice 34. Problema e că, așa cum am spus ceva mai sus, în viziunea modernă, axiomele sunt funcții propoziționale și nu judecăți sintetice a priori ca la Kant. 1.2.1.3. Schimbarea viziunii asupra geometriei O altă schimbare majoră care apare în matematica secolului nouăsprezece privește felul cum este înțeleasă geometria. Două contribuții sunt importante din această perspectivă: Erlanger Programm al lui Felix Klein și viziunea lui Riemann. Felix Klein scrie lucrarea pentru numirea sa
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
sus, în viziunea modernă, axiomele sunt funcții propoziționale și nu judecăți sintetice a priori ca la Kant. 1.2.1.3. Schimbarea viziunii asupra geometriei O altă schimbare majoră care apare în matematica secolului nouăsprezece privește felul cum este înțeleasă geometria. Două contribuții sunt importante din această perspectivă: Erlanger Programm al lui Felix Klein și viziunea lui Riemann. Felix Klein scrie lucrarea pentru numirea sa ca profesor la Erlangen când avea numai 23 de ani. Această lucrare este "o prezentare semi-tehnică
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
al lui Felix Klein și viziunea lui Riemann. Felix Klein scrie lucrarea pentru numirea sa ca profesor la Erlangen când avea numai 23 de ani. Această lucrare este "o prezentare semi-tehnică, pentru facultatea de filosofie din Erlanger, a ideilor despre geometrie discutate de Klein cu Lie" (Birkhoff și Bennett 1982: 150). Principala sa preocupare era oferirea unei viziuni unificate asupra geometriei 35, care era în acea perioadă împărțită în mai multe sisteme: geometria euclidiană, geometria lui Lobacevski și Bolyai, geometria carteziană
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
avea numai 23 de ani. Această lucrare este "o prezentare semi-tehnică, pentru facultatea de filosofie din Erlanger, a ideilor despre geometrie discutate de Klein cu Lie" (Birkhoff și Bennett 1982: 150). Principala sa preocupare era oferirea unei viziuni unificate asupra geometriei 35, care era în acea perioadă împărțită în mai multe sisteme: geometria euclidiană, geometria lui Lobacevski și Bolyai, geometria carteziană, geometria proiectivă etc. Pentru a se ajunge la o astfel de unificare, trebuia să se găsească ceva care să stea
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
facultatea de filosofie din Erlanger, a ideilor despre geometrie discutate de Klein cu Lie" (Birkhoff și Bennett 1982: 150). Principala sa preocupare era oferirea unei viziuni unificate asupra geometriei 35, care era în acea perioadă împărțită în mai multe sisteme: geometria euclidiană, geometria lui Lobacevski și Bolyai, geometria carteziană, geometria proiectivă etc. Pentru a se ajunge la o astfel de unificare, trebuia să se găsească ceva care să stea la baza ei. Klein identifică acest ceva ca fiind grupurile. Plecând de la
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
filosofie din Erlanger, a ideilor despre geometrie discutate de Klein cu Lie" (Birkhoff și Bennett 1982: 150). Principala sa preocupare era oferirea unei viziuni unificate asupra geometriei 35, care era în acea perioadă împărțită în mai multe sisteme: geometria euclidiană, geometria lui Lobacevski și Bolyai, geometria carteziană, geometria proiectivă etc. Pentru a se ajunge la o astfel de unificare, trebuia să se găsească ceva care să stea la baza ei. Klein identifică acest ceva ca fiind grupurile. Plecând de la această noțiune
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
despre geometrie discutate de Klein cu Lie" (Birkhoff și Bennett 1982: 150). Principala sa preocupare era oferirea unei viziuni unificate asupra geometriei 35, care era în acea perioadă împărțită în mai multe sisteme: geometria euclidiană, geometria lui Lobacevski și Bolyai, geometria carteziană, geometria proiectivă etc. Pentru a se ajunge la o astfel de unificare, trebuia să se găsească ceva care să stea la baza ei. Klein identifică acest ceva ca fiind grupurile. Plecând de la această noțiune el reușește să ofere o
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
discutate de Klein cu Lie" (Birkhoff și Bennett 1982: 150). Principala sa preocupare era oferirea unei viziuni unificate asupra geometriei 35, care era în acea perioadă împărțită în mai multe sisteme: geometria euclidiană, geometria lui Lobacevski și Bolyai, geometria carteziană, geometria proiectivă etc. Pentru a se ajunge la o astfel de unificare, trebuia să se găsească ceva care să stea la baza ei. Klein identifică acest ceva ca fiind grupurile. Plecând de la această noțiune el reușește să ofere o definiție a
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
proiectivă etc. Pentru a se ajunge la o astfel de unificare, trebuia să se găsească ceva care să stea la baza ei. Klein identifică acest ceva ca fiind grupurile. Plecând de la această noțiune el reușește să ofere o definiție a geometriei ca studiu al proprietăților geometrice ale unui spațiu care rămân invariante sub un grup de transformări. Totul pornește de la observația sa că "există transformări ale spațiului prin care proprietățile geometrice ale configurațiilor din spațiu rămân în întregime neschimbate. Pentru că proprietățile
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
acestor transformări o desemnăm ca fiind grupul principal al transformărilor spațiului: proprietățile geometrice nu sunt schimbate de transformările grupului principal. Și, conversa, proprietățile geometrice sunt caracterizate de faptul că rămân invariante sub transformările grupului principal."36 Din această perspectivă, în geometrie, noțiunea fundamentală devine cea de grup37, iar noțiunea de spațiu suferă o extindere. O altă încercare (anterioară celei a lui Klein) de "a clarifica situația confuză" din geometria secolului nouăsprezece a fost făcută de Riemann. Acesta își prezintă poziția în
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
că rămân invariante sub transformările grupului principal."36 Din această perspectivă, în geometrie, noțiunea fundamentală devine cea de grup37, iar noțiunea de spațiu suferă o extindere. O altă încercare (anterioară celei a lui Klein) de "a clarifica situația confuză" din geometria secolului nouăsprezece a fost făcută de Riemann. Acesta își prezintă poziția în 1854 în Habilitationschrift-ul său. Detaliile poziției sale sunt mult prea dificil de urmărit și depășesc cu mult scopurile acestei secțiuni, așa că nu vom intra în amănunte. Pentru prezenta
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
în cazul lui Riemann ceva este un spațiu dacă este o varietate diferențială. Kant, însă, așa cum am văzut, argumentează că spațiul este o intuiție pură și nu un concept. 1.2.1.4. Fundamente noi pentru calcul Nu numai în geometrie au avut loc schimbări revoluționare în secolul nouăsprezece. O altă disciplină care a suferit schimbări remarcabile a fost analiza. După M. Kline, "calculul a fost în primul rând creat pentru a trata principalele probleme științifice ale secolului șaptesprezece." (Kline 1972
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
o problemă care apăruse în legătură cu studiul mișcării era aceea de a ști ce valori au viteza și accelerația unui corp în orice moment, dată fiind formula pentru distanța parcursă de acesta în funcție de timp; (b) o altă problemă care ține de geometria pură, dar care își găsește aplicarea în optică și în studiul mișcării, era aceea de a găsi tangenta la o curbă; (c) problema găsirii valorii maxime sau minime a unei funcții, care apare în legătură cu studiul mișcării planetelor, dar și în
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
al XIX-lea a asistat la o transformare gradual a matematicii de fapt, o revoluție gradual (dacă asta nu este o contradicție în termeni)" (Kleiner 1991: 304). Am văzut mai sus ce fel de transformări "revoluționare" s-au produs în geometrie, analiză și axiomatică. Un alt domeniu matematic în care au avut loc transformări a fost aritmetica. Spre sfârșitul secolului nouăsprezece, matematicienii au reușit să axiomatizeze și aritmetica. Primul care a produs un astfel de sistem a fost Dedekind în 1888
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
că, deși sintetică, nu este generală. Asta deoarece, în cazul acestor judecăți, pentru că "se consideră numai sinteza omogenului (a unității), sinteza nu poate avea loc decât într-un singur mod, cu toate că folosirea acestor numere este apoi generală." (idem). În cazul geometriei, lucrurile stăteau altfel pentru că, dacă luăm de exemplu cazul unei figuri închise între trei linii, observăm că aceasta este posibilă într-o multitudine de feluri, pe când, în cazul unui număr, lucrurile se schimbă, acesta nefiind posibil decât într-un singur
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
posibil decât într-un singur mod. 1.2.1.6. Logica poliadică Am vorbit în secțiunea 1.2.1.2. de mai sus despre faptul că postulatele lui Euclid erau insuficiente pentru o derivare pur logică a unora dintre teoremele geometriei sale și am spus că, pentru a se evita această problemă, în formularea dată de Hilbert geometriei euclidiene, au fost introduse axiome ale continuității și axiome ale ordinii. Ce am omis să spunem în acea secțiune este că, pentru ca o
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
2.1.2. de mai sus despre faptul că postulatele lui Euclid erau insuficiente pentru o derivare pur logică a unora dintre teoremele geometriei sale și am spus că, pentru a se evita această problemă, în formularea dată de Hilbert geometriei euclidiene, au fost introduse axiome ale continuității și axiome ale ordinii. Ce am omis să spunem în acea secțiune este că, pentru ca o astfel de deducție pur logică să fie posibilă, este nevoie de ceva mai mult decât de introducerea
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
limbajul tehnic al matematicii. Putem lua drept exemplu definiția dată de Weierstrass noțiunii de limită, în care se spune că "...pentru orice ε > 0, există un δ > 0 astfel încât...". Apariția unei astfel de logici "mai puternice" este deosebit de importantă pentru geometrie, deoarece face posibilă o exprimare formală a ideii intuitive a unui proces iterativ idee care joacă un rol esențial într-o teorie a ordinii, deoarece permite deducerea explicită, doar cu ajutorul logicii, a unei infinități de obiecte 43. O astfel de
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
intuitive a unui proces iterativ idee care joacă un rol esențial într-o teorie a ordinii, deoarece permite deducerea explicită, doar cu ajutorul logicii, a unei infinități de obiecte 43. O astfel de teorie a ordinii, introdusă în formularea modernă a geometriei euclidiene cu ajutorul a patru axiome 44, împreuna cu axiomele continuității, fac posibilă deducerea pur logică a teoremelor din axiome și postulate. 1.2.2. Teoria relativității generale Am vorbit până acum despre schimbările care au avut loc în matematica secolului
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
relativitate corespunzător teoriei lui Maxwell acest principiu a ajuns să fie cunoscut ca relativitatea restrânsă prețul menținerii unui astfel de principiu era, însă, cel al modificării legilor teoriei lui Newton. Pentru a înțelege relativitatea restrânsă, trebuie să știm câte ceva despre geometria minkowskiană. Spre deosebire de geometria euclidiană, în această nouă geometrie spațiul și timpul sunt luate împreună și avem astfel o geometrie patrudimensională a spațiu-timpului. Noutatea cu care vine această geometrie poate fi înțeleasă mai bine dacă comparăm felul cum este reprezentată mărimea
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
lui Maxwell acest principiu a ajuns să fie cunoscut ca relativitatea restrânsă prețul menținerii unui astfel de principiu era, însă, cel al modificării legilor teoriei lui Newton. Pentru a înțelege relativitatea restrânsă, trebuie să știm câte ceva despre geometria minkowskiană. Spre deosebire de geometria euclidiană, în această nouă geometrie spațiul și timpul sunt luate împreună și avem astfel o geometrie patrudimensională a spațiu-timpului. Noutatea cu care vine această geometrie poate fi înțeleasă mai bine dacă comparăm felul cum este reprezentată mărimea "distanței" în geometria
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
ajuns să fie cunoscut ca relativitatea restrânsă prețul menținerii unui astfel de principiu era, însă, cel al modificării legilor teoriei lui Newton. Pentru a înțelege relativitatea restrânsă, trebuie să știm câte ceva despre geometria minkowskiană. Spre deosebire de geometria euclidiană, în această nouă geometrie spațiul și timpul sunt luate împreună și avem astfel o geometrie patrudimensională a spațiu-timpului. Noutatea cu care vine această geometrie poate fi înțeleasă mai bine dacă comparăm felul cum este reprezentată mărimea "distanței" în geometria euclidiană și în cea minkowskiană
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
de principiu era, însă, cel al modificării legilor teoriei lui Newton. Pentru a înțelege relativitatea restrânsă, trebuie să știm câte ceva despre geometria minkowskiană. Spre deosebire de geometria euclidiană, în această nouă geometrie spațiul și timpul sunt luate împreună și avem astfel o geometrie patrudimensională a spațiu-timpului. Noutatea cu care vine această geometrie poate fi înțeleasă mai bine dacă comparăm felul cum este reprezentată mărimea "distanței" în geometria euclidiană și în cea minkowskiană. În geometria euclidiană, distanța este dată de formula OP2 = x2 + y2
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
lui Newton. Pentru a înțelege relativitatea restrânsă, trebuie să știm câte ceva despre geometria minkowskiană. Spre deosebire de geometria euclidiană, în această nouă geometrie spațiul și timpul sunt luate împreună și avem astfel o geometrie patrudimensională a spațiu-timpului. Noutatea cu care vine această geometrie poate fi înțeleasă mai bine dacă comparăm felul cum este reprezentată mărimea "distanței" în geometria euclidiană și în cea minkowskiană. În geometria euclidiană, distanța este dată de formula OP2 = x2 + y2 + z2. În geometria minkowskiană, avem formula OP2 = t2 (x
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]