5,440 matches
-
geometria euclidiană, în această nouă geometrie spațiul și timpul sunt luate împreună și avem astfel o geometrie patrudimensională a spațiu-timpului. Noutatea cu care vine această geometrie poate fi înțeleasă mai bine dacă comparăm felul cum este reprezentată mărimea "distanței" în geometria euclidiană și în cea minkowskiană. În geometria euclidiană, distanța este dată de formula OP2 = x2 + y2 + z2. În geometria minkowskiană, avem formula OP2 = t2 (x/ c)2 (z/c)2 48 care reprezintă, nu distanța punctului P față de origine (ca
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
și timpul sunt luate împreună și avem astfel o geometrie patrudimensională a spațiu-timpului. Noutatea cu care vine această geometrie poate fi înțeleasă mai bine dacă comparăm felul cum este reprezentată mărimea "distanței" în geometria euclidiană și în cea minkowskiană. În geometria euclidiană, distanța este dată de formula OP2 = x2 + y2 + z2. În geometria minkowskiană, avem formula OP2 = t2 (x/ c)2 (z/c)2 48 care reprezintă, nu distanța punctului P față de origine (ca în geometria euclidiană), ci timpul scurs pentru
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
spațiu-timpului. Noutatea cu care vine această geometrie poate fi înțeleasă mai bine dacă comparăm felul cum este reprezentată mărimea "distanței" în geometria euclidiană și în cea minkowskiană. În geometria euclidiană, distanța este dată de formula OP2 = x2 + y2 + z2. În geometria minkowskiană, avem formula OP2 = t2 (x/ c)2 (z/c)2 48 care reprezintă, nu distanța punctului P față de origine (ca în geometria euclidiană), ci timpul scurs pentru o particulă între evenimentele O și P49. După Penrose, structura acestei geometrii
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
și în cea minkowskiană. În geometria euclidiană, distanța este dată de formula OP2 = x2 + y2 + z2. În geometria minkowskiană, avem formula OP2 = t2 (x/ c)2 (z/c)2 48 care reprezintă, nu distanța punctului P față de origine (ca în geometria euclidiană), ci timpul scurs pentru o particulă între evenimentele O și P49. După Penrose, structura acestei geometrii patrudimensionale "cu această curioasă mărime a "lungimii" liniilor de univers interpretată ca interval de timp măsurat (sau "scurs") de un ceas fizic exprimă
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
geometria minkowskiană, avem formula OP2 = t2 (x/ c)2 (z/c)2 48 care reprezintă, nu distanța punctului P față de origine (ca în geometria euclidiană), ci timpul scurs pentru o particulă între evenimentele O și P49. După Penrose, structura acestei geometrii patrudimensionale "cu această curioasă mărime a "lungimii" liniilor de univers interpretată ca interval de timp măsurat (sau "scurs") de un ceas fizic exprimă esența relativității restrânse." (Penrose 2001: 215). Plecând de aici, ajungem la teoria relativității generale, combinând această geometrie
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
geometrii patrudimensionale "cu această curioasă mărime a "lungimii" liniilor de univers interpretată ca interval de timp măsurat (sau "scurs") de un ceas fizic exprimă esența relativității restrânse." (Penrose 2001: 215). Plecând de aici, ajungem la teoria relativității generale, combinând această geometrie minkowskiană a spațiu-timpului cu o altă idee revoluționară a lui Einstein, și anume că gravitația nu este o forță (cum era ea reprezentată în teoria lui Newton) ci un fel de curbură a spațiu-timpului. Pentru ca această combinație să funcționeze, trebuie
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
o altă idee revoluționară a lui Einstein, și anume că gravitația nu este o forță (cum era ea reprezentată în teoria lui Newton) ci un fel de curbură a spațiu-timpului. Pentru ca această combinație să funcționeze, trebuie să fie modificată puțin geometria minkowskiană, aceasta neputând fi decât aproximativă în prezența gravitației. Dacă în spațiul Minkowski, liniile de univers ale particulelor erau linii drepte, în prezența gravitației ele sunt geodezice 50. Astfel, structura spatio-temporală a lumii nu mai este una fixă (cum era
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
spatio-temporală a lumii nu mai este una fixă (cum era înțeleasă în teoria lui Newton și în teoria relativității restrânse), ci variază în funcție de distribuția masei și energiei. Este destul de evident că o astfel de structură a spațiu-timpului este departe de geometria euclidiană și de înțelegerea oferită de teoria lui Newton în legătură cu structura lumii. Foarte mulți leagă prăbușirea poziției kantiene de apariția teoriei relativității generalizate 51, conform căreia structura spațială a lumii nu este corect descrisă de geometria euclidiană lucru care pare
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
spațiu-timpului este departe de geometria euclidiană și de înțelegerea oferită de teoria lui Newton în legătură cu structura lumii. Foarte mulți leagă prăbușirea poziției kantiene de apariția teoriei relativității generalizate 51, conform căreia structura spațială a lumii nu este corect descrisă de geometria euclidiană lucru care pare imposibil de compatibilizat cu ceea ce spune Kant despre spațiu. Dacă privim această teorie doar din această perspectivă cred că o lipsim totuși de un mare merit: dacă transformările care au avut loc în matematica secolului al
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
revoluții" din știința și matematica secolelor nouăsprezece și douăzeci pentru practica filosofică. Aceasta a fost în primul rând o filozofie a științei și de aceea "perspectiva pozitiviștilor asupra naturii și caracterului cunoașterii a priori... pornește de la probleme din științele empirice (geometria fizică și fizica matematică) și numai după aceea se orientează către problemele din fundamentele logicii și matematicii..." (Friedman 2007: 93). Pentru pozitiviști, problema centrală a filosofiei era cea de a oferi o justificare filosofică pentru ideile noi din fizica lui
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
cunoașterea matematică ca fundamentată pe interacțiunile noastre cu lumea. Putem prezenta poziția lui Mill, cel mai bine, dacă luăm în considerarea răspunsurile date de el la următoarele trei întrebări: "(1) Ce sunt entitățile cu care sunt preocupate enunțurile aritmeticii și geometriei? (2) Cum ne dau interacțiunile cu obiectele fizice o cunoaștere a proprietăților acestor entități care apar în adevărurile standard ale aritmeticii și geometriei? (3) Cum ajunge să fie cunoașterea elementară obținută prin interacțiunile fizice simple extinsă în cunoașterea complexă a
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
de el la următoarele trei întrebări: "(1) Ce sunt entitățile cu care sunt preocupate enunțurile aritmeticii și geometriei? (2) Cum ne dau interacțiunile cu obiectele fizice o cunoaștere a proprietăților acestor entități care apar în adevărurile standard ale aritmeticii și geometriei? (3) Cum ajunge să fie cunoașterea elementară obținută prin interacțiunile fizice simple extinsă în cunoașterea complexă a matematicii contemporane sofisticate?" (ibidem, 63) Să le luăm pe rând. În cazul aritmeticii, aceste entități sunt "agregatele"54, care nu sunt însă același
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
să obținem obiecte care ne apar astfel oo. Plecând de la aceste egalități aritmetice, putem ajunge la o cunoaștere matematică complexă, deoarece adevărurile elementare furnizează reguli care pot fi apoi aplicate astfel încât să se ajungă la adevăruri mai complicate. În cazul geometriei, avem de-a face cu idealizări ale proprietăților obiectelor fizice obișnuite. Punctele, liniile, planurile, nu sunt, în viziunea lui Mill, decât limite ideale ale obiectelor. "Geometria, astfel, este o știință empirică, a cărei justificare ultimă se sprijină pe regularitățile aproximate
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
pot fi apoi aplicate astfel încât să se ajungă la adevăruri mai complicate. În cazul geometriei, avem de-a face cu idealizări ale proprietăților obiectelor fizice obișnuite. Punctele, liniile, planurile, nu sunt, în viziunea lui Mill, decât limite ideale ale obiectelor. "Geometria, astfel, este o știință empirică, a cărei justificare ultimă se sprijină pe regularitățile aproximate de obiectele fizice pe care le încorporăm noi în definițiile noastre idealizatoare." (Kitcher 1998: 85). Ce este în neregulă cu această viziune asupra matematicii de a
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
că, privite în această lumină, (i.e. ca principii constitutive), nu sunt necesare. Ele pot fi revizuite odată cu progresul științei empirice. Lucru care s-a întâmplat, de altfel, și în trecerea de la teoria lui Newton la cea a lui Einstein, cu geometria euclidiană. 1.2.3.2. Frege Am văzut mai sus că pozitiviștii logici considerau că dispun, când vine vorba de statutul judecăților matematice, de două alternative: fie adoptă un tip radical de empirism, fie neagă că acestea ar fi informative
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
adevărată, logica poate răspunde doar reducând-o la o alta lege a logicii. Unde așa ceva nu mai este posibil, logica nu mai poate da nici un răspuns."63 Lucrurile devin și mai clare, dacă ne orientăm atenția către viziunea fregeană asupra geometriei. Acesta susține că adevărurile geometriei sunt sintetice a priori 64, teză care, chiar dacă nu este luată în sensul kantian, nu putea fi acceptată de pozitiviștii logici. Oricum am lua-o, pozitiviștii logici nu au adoptat o viziune fregeană asupra statutului
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
reducând-o la o alta lege a logicii. Unde așa ceva nu mai este posibil, logica nu mai poate da nici un răspuns."63 Lucrurile devin și mai clare, dacă ne orientăm atenția către viziunea fregeană asupra geometriei. Acesta susține că adevărurile geometriei sunt sintetice a priori 64, teză care, chiar dacă nu este luată în sensul kantian, nu putea fi acceptată de pozitiviștii logici. Oricum am lua-o, pozitiviștii logici nu au adoptat o viziune fregeană asupra statutului adevărurilor matematice. Ei au propus
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
noțiunea de definiție implicită. 1.2.4. Distincția pur aplicat Una dintre cele mai interesante idei preluate de către pozitiviștii logici din transformările care au avut loc în matematica secolului al nouăsprezecelea privește viziunea supra matematicii care decurge din reexaminarea fundamentelor geometriei 65. Această reexaminare a avut ca rezultat o nouă viziune asupra axiomelor, care, la rândul ei, a condus la o nouă viziunea asupra geometriei, și anume că un sistem axiomatic în întregime formal care nu trebuie să stea în nici un
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
avut loc în matematica secolului al nouăsprezecelea privește viziunea supra matematicii care decurge din reexaminarea fundamentelor geometriei 65. Această reexaminare a avut ca rezultat o nouă viziune asupra axiomelor, care, la rândul ei, a condus la o nouă viziunea asupra geometriei, și anume că un sistem axiomatic în întregime formal care nu trebuie să stea în nici un fel de relație cu vreo intuiție de a noastră și nici nu trebuie să fie despre structura lumii. Pozitiviștii logici s-au folosit de
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
a noastră și nici nu trebuie să fie despre structura lumii. Pozitiviștii logici s-au folosit de această viziune pentru a promova o distincție între două tipuri de matematică: matematică pură și matematica aplicată. Iată cum înțelegeau ei această distincție: "geometria, în măsura în care are de-a face cu proprietățile spațiului, este o știință fizică ale cărei judecăți sunt empirice, și nu a priori; și în măsura în care geometria este a priori, ea nu este decât un sistem ipotetico-deductiv constând doar din funcții propoziționale și
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
între două tipuri de matematică: matematică pură și matematica aplicată. Iată cum înțelegeau ei această distincție: "geometria, în măsura în care are de-a face cu proprietățile spațiului, este o știință fizică ale cărei judecăți sunt empirice, și nu a priori; și în măsura în care geometria este a priori, ea nu este decât un sistem ipotetico-deductiv constând doar din funcții propoziționale și, în consecință, neasertând nimic despre nici un fel de fapte."66 (Schlick 2003: 169). În primul caz, geometria este parte a fizicii, în al doilea
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
empirice, și nu a priori; și în măsura în care geometria este a priori, ea nu este decât un sistem ipotetico-deductiv constând doar din funcții propoziționale și, în consecință, neasertând nimic despre nici un fel de fapte."66 (Schlick 2003: 169). În primul caz, geometria este parte a fizicii, în al doilea este o ramură a matematicii pure. Ca ramură a matematicii pure, geometria este doar o structură fără conținut care nu are nimic de-a face cu structura lumii, chiar dacă în ea se vorbește
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
doar din funcții propoziționale și, în consecință, neasertând nimic despre nici un fel de fapte."66 (Schlick 2003: 169). În primul caz, geometria este parte a fizicii, în al doilea este o ramură a matematicii pure. Ca ramură a matematicii pure, geometria este doar o structură fără conținut care nu are nimic de-a face cu structura lumii, chiar dacă în ea se vorbește despre "spațiu". În cadrul acesteia, nu se intenționează o descriere a proprietăților spațiale ale corpurilor fizice "orice asemănare între conceptele
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
se vorbește despre "spațiu". În cadrul acesteia, nu se intenționează o descriere a proprietăților spațiale ale corpurilor fizice "orice asemănare între conceptele primitive și conotațiile lor geometrice obișnuite este pură coincidență." (Hempel 1945a: 12) Dacă, însă, ce avem în vedere prin geometrie este o știință prin care se urmărește să se descrie anumite proprietăți ale spațiului fizic, atunci noi ieșim din sfera matematicii pentru a face fizică. Am spus ceva mai sus că o consecință a adoptări principiului verificabilității este aceea că
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
matematica pură. Această identificare lasă loc următoarei situații: "Dacă nu există nici un interes pentru aplicarea structurii, mulțimea particulară de axiome a sistemului își pierde importanța, iar matematicianul se poate distra introducând în el schimbări arbitrare. Asta a condus la inventarea geometriilor "neeuclidiene", care, la început, au fost privite drept creații goale ale minții omenești, până s-a întâmplat că au fost găsite aplicații fizice pentru unele dintre ele, de exemplu, în relație cu teoria relativității." (Schlick 2003: 151). Exact situația prezentată
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]