3,973 matches
-
În 1823 a dat o demonstrație pentru marea teoremă a lui Fermat, dar numai pentru valori particulare ale lui "n", formula 2 și anumite condiții restrictive pentru "X", "Y", "Z" și "n". A studiat încovoierea plăcilor subțiri și a stabilit ecuațiile diferențiale care o descriu. Cea mai importantă lucrare a sa este: "Recherches sur la théorie des surfaces élastiques", apărută în 1816. A mai scris lucrări și în domeniile: teoria numerelor, fizică matematică și filozofie. Din nefericire, a murit înainte ca Universitatea
Sophie Germain () [Corola-website/Science/318027_a_319356]
-
(n. 20 octombrie 1863, la Londra - d. 7 iulie 1942, la Lausanne) a fost un matematician englez. Printre domeniile în care și-a adus contribuții, putem enumera: teoria măsurii, seriile Fourier, calculul diferențial și funcțiile cu mai multe variabile complexe. În analiza matematică, două tipuri de inegalități îi poartă numele: inegalitatea lui Young și inegalitatea Hausdorff-Young. A colaborat cu soția sa, matematiciana Grace Chisholm Young. Fiica acestora, Laurence Chisholm Young, urmează drumul părinților
William Henry Young () [Corola-website/Science/318039_a_319368]
-
în două funcții, una care depinde numai de formula 55 și alta care depinde numai de coordonatele generalizate rămase: Substituția acestor formule în ecuația Hamiton-Jacobi arată că funcția formula 62 trebuie să fie o constantă, aici notată cu formula 63, obținând o ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi pentru formula 64: În anumite cazuri, funcția formula 3 poate fi separată complet în formula 25 funcții formula 68, obținând: În astfel de cazuri, problema se rezolvă prin formula 25 ecuații diferențiale ordinare. Separabilitatea funcției formula 3 depinde de Hamiltonian și de
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
o constantă, aici notată cu formula 63, obținând o ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi pentru formula 64: În anumite cazuri, funcția formula 3 poate fi separată complet în formula 25 funcții formula 68, obținând: În astfel de cazuri, problema se rezolvă prin formula 25 ecuații diferențiale ordinare. Separabilitatea funcției formula 3 depinde de Hamiltonian și de modul în care sunt alese coordonatele generalizate. Pentru coordonate ortogonale și Hamiltonian care nu depinde de timp și este pătratic pentru impulsurile generalizate, formula 3 este complet separabilă dacă energia potențială este
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
separabilă în aceste coordonate, demonstrându-se că formula 74 are forma analoagă cu: în care formula 76, formula 77 și formula 78 sunt funcții arbitrare. Substituind soluția complet separată formula 79 în ecuația Hamilton-Jacobi, obținem: Acestă ecuație poate fi rezolvată prin integrări succesive de ecuații diferențiale ordinare, începând cu ecuația formula 81: unde formula 83 este o constantă de mișcare care elimină dependența de formula 81 din ecuația Hamilton-Jacobi: Următoarea ecuație diferențială ordinară implică coordonata generalizată formula 86: în care formula 88 este o altă constantă de mișcare care elimină dependența
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
complet separată formula 79 în ecuația Hamilton-Jacobi, obținem: Acestă ecuație poate fi rezolvată prin integrări succesive de ecuații diferențiale ordinare, începând cu ecuația formula 81: unde formula 83 este o constantă de mișcare care elimină dependența de formula 81 din ecuația Hamilton-Jacobi: Următoarea ecuație diferențială ordinară implică coordonata generalizată formula 86: în care formula 88 este o altă constantă de mișcare care elimină dependența de formula 86 și reduce ecuația Hamilton-Jacobi la ecuația finală diferențială: a cărei integrare completează soluția pentru formula 3. Hamiltonianul în coordonate cilindrice eliptice poate
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
constantă de mișcare care elimină dependența de formula 81 din ecuația Hamilton-Jacobi: Următoarea ecuație diferențială ordinară implică coordonata generalizată formula 86: în care formula 88 este o altă constantă de mișcare care elimină dependența de formula 86 și reduce ecuația Hamilton-Jacobi la ecuația finală diferențială: a cărei integrare completează soluția pentru formula 3. Hamiltonianul în coordonate cilindrice eliptice poate fi scris astfel: unde focarul elipsei este localizat în formula 93, pe axa formula 94. Ecuația Hamilton-Jacobi este complet separabilă în aceste coordonate, demonstrându-se că formula 74 are o
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
axa formula 94. Ecuația Hamilton-Jacobi este complet separabilă în aceste coordonate, demonstrându-se că formula 74 are o forma analoagă cu: în care formula 97, formula 98 și formula 99 sunt funcții arbitrare. Substituind soluția complet separabilă formula 100 în ecuația Hamilton-Jacobi, obținem: Separând prima ecuație diferențială ordinară (funcție numai de z): obținem ecuația Hamilton-Jacobi redusă (după ce multiplicăm cu "2m" și rearanjăm ecuația): care poate fi separată în două ecuații diferențiale ordinare: care rezolvate, conduc la o soluționare completă a lui formula 3. Hamiltonianul în coordonate cilindrice parabolice
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
sub forma: Ecuația Hamilton-Jacobi este complet separabilă în aceste coordonate, demonstrându-se că formula 74 are o forma analoagă cu: în care formula 110, formula 111 și formula 99 sunt funcții arbitrare. Substituind soluția complet separabilă formula 113 în ecuația Hamilton-Jacobi, obținem: Separând prima ecuație diferențială ordinară (funcție numai de z): obținem ecuația Hamilton-Jacobi redusă (după ce multiplicăm cu "2m" și rearanjăm ecuația): care poate fi separată în două ecuații diferențiale ordinare: care rezolvate, conduc la o soluționare completă a lui formula 3. Izosuprafața funcției formula 120 poate fi
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
Teorema lui Frobenius stabilește condiții necesare și suficiente de integrabilitate pentru sisteme de forme diferențiale. Este o teoremă importantă a geometriei diferențiale, cu interpretare geometrică ușor de înțeles, legată de analiza vectorială obișnuită. Ea apare în fizică în legătură cu formularea lui Carathéodory a principiului al doilea al termodinamicii. O 1-formă diferențială (sau formă Pfaff) Ω este
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
Teorema lui Frobenius stabilește condiții necesare și suficiente de integrabilitate pentru sisteme de forme diferențiale. Este o teoremă importantă a geometriei diferențiale, cu interpretare geometrică ușor de înțeles, legată de analiza vectorială obișnuită. Ea apare în fizică în legătură cu formularea lui Carathéodory a principiului al doilea al termodinamicii. O 1-formă diferențială (sau formă Pfaff) Ω este o expresie:formula 1 unde "a,a..,a
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
integrabilitate pentru sisteme de forme diferențiale. Este o teoremă importantă a geometriei diferențiale, cu interpretare geometrică ușor de înțeles, legată de analiza vectorială obișnuită. Ea apare în fizică în legătură cu formularea lui Carathéodory a principiului al doilea al termodinamicii. O 1-formă diferențială (sau formă Pfaff) Ω este o expresie:formula 1 unde "a,a..,a" sunt funcții netede (cu cel puțin o derivată continuă) de x="(x,x..x)" iar "dx" sunt "diferențiale" (deplasări infinitezimale în direcțiile "x"). Dacă funcțiile "x(t)...x
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
o diferențială totală a unei funcții F(x), acest plan coincide cu planul tangent la suprafața F = constant. Putem zice că planele definite de Ω=0 "infășoară" suprafața F=const. Ecuația Ω=0 poate fi privită și ca o ecuatie diferențială pentru una din coordonate, de exemplu x: Lăsând punctul descris de celelalte n-1 coordonate să descrie in R o curbă C: x(t)...x(t), ecuația Ω=0 devine o ecuație pentru variația cu parametrul t a coordonatei x
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
înmulțit cu o funcție oarecare Ψ(F) și atunci:formula 19 În general (când factorul μ are o dependență reala de x), integrala formei Ω este dependentă de drumul de integrare. Totuși, așa cum se întâmplă pentru diferențialele totale, toate soluțiile ecuației diferențiale reprezentate de ecuația Ω=0 se găsesc pe aceeași suprafață F(x)=constant. De asemenea, (hiper)planele Ω=0 „infășoară” această suprafață (coincid în fiecare punct cu planul tangent la ea). Pentru o 1-formă arbitrara Ω aceste proprietăți nu sunt
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
hiper)planele Ω=0 „infășoară” această suprafață (coincid în fiecare punct cu planul tangent la ea). Pentru o 1-formă arbitrara Ω aceste proprietăți nu sunt adevărate. Un exemplu pentru care neintegrabilitatea poate fi verificată foarte ușor direct este:formula 20integrând ecuația diferențială pentru z(x)obținută din Ω=0 de-a lungul liniei y=x pornind din origine cu condiția inițială z(0,0)=0 obținem z(1,1)=0; integrând de-a lungul parabolelor "y=ax+(1-a)x" obținem z
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
xn) și punând x' = x, x'=x...x'=x , x'=x. În noile coordonate, ecuația suprafețelor devine simplu x = const. (Vezi Fig.3) În formularea termodinamicii după Carathéodory principiul al doilea este în mare măsură exprimat prin afirmația că forma diferențială DQ care reprezintă cantitatea de caldură schimbată de un sistem ("simplu")cu exteriorul în cursul unui proces reversibil este integrabilă, în sensul paragrafului precedent. Forma DQ este :formula 21 unde x,x...x sunt parametri geometrici ai sistemului, Y sunt „forțele
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
suprafețele de entropie constantă. După Carathéodory, acesta este modul natural de a introduce conceptul de entropie. Teorema lui Frobenius implică anumite constrângeri asupra parametrilor de forță Y(U,x,x..x) prin care se asigură integrabilitatea formei DQ. O formă diferențială care conține numai doi termeni:formula 23 este totdeauna integrabilă împrejurul unui punct (x,y), dacă cel puțin unul din coeficienți nu se anulează. Într-adevar, daca b(x,y) ≠ 0, ecuația:formula 24 are o soluție unică y(x,y) definită
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
tinde către x , putem rezolva ecuația y=y(x,y) față de y pentru x și y într-o vecinătate suficient de mică a lui (x,y):formula 25 Când înlocuim în membrul drept pe y cu y(x,y), soluția ecuației diferențiale, obținem o identitate: spunem că y(x,y) este o integrală primă a ecuației diferențiale: o funcție constantă de-a lungul soluțiilor ecuației. Scriind diferențiala totală a funcției y(x,y):formula 26 deducem : formula 27 și identificăm factorul integrand cu (∂y
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
y într-o vecinătate suficient de mică a lui (x,y):formula 25 Când înlocuim în membrul drept pe y cu y(x,y), soluția ecuației diferențiale, obținem o identitate: spunem că y(x,y) este o integrală primă a ecuației diferențiale: o funcție constantă de-a lungul soluțiilor ecuației. Scriind diferențiala totală a funcției y(x,y):formula 26 deducem : formula 27 și identificăm factorul integrand cu (∂y/∂y)(x,y))b(x,y). În concluzie, schimbarea de variabile (2.3) (și x
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
inversului) temperaturii absolute ca factor integrand al cantității de căldură este datorită lui Helmholtz. Faptul că pentru n=2 găsirea factorului integrand este simplă și totdeauna posibilă face ca termodinamica să poată fi prezentată fără dificultățile matematice legate de forme diferențiale generale: într-adevăr, mărimile legate de obiectele standard de studiu (gazele) sunt forme diferențiale cu n=2 :formula 28 Dacă ne restrângem la astfel de sisteme, cazul n=3 - care se dovedește a fi esențial pentru analiza echilibrului termic - poate fi
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
Faptul că pentru n=2 găsirea factorului integrand este simplă și totdeauna posibilă face ca termodinamica să poată fi prezentată fără dificultățile matematice legate de forme diferențiale generale: într-adevăr, mărimile legate de obiectele standard de studiu (gazele) sunt forme diferențiale cu n=2 :formula 28 Dacă ne restrângem la astfel de sisteme, cazul n=3 - care se dovedește a fi esențial pentru analiza echilibrului termic - poate fi tratat fără a face recurs la "teoria generală" urmând pe Max Planck. O prezentare
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
n=3 - care se dovedește a fi esențial pentru analiza echilibrului termic - poate fi tratat fără a face recurs la "teoria generală" urmând pe Max Planck. O prezentare detaliată a procedurii sale se găsește într-un . Pentru n≥3 1-formele diferențiale nu sunt integrabile, decât dacă anumite condiții asupra coeficienților lor sunt îndeplinite. Deducția acestor condiții pentru n=3 o prezentăm aici; cazul general (n oarecare) păstrează același spirit și este tratat sumar în paragraful următor. Presupunem că ne aflăm într-
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
z)", astfel incât (impărțind cu c(x,y,z) și renotând a/c cu a, b/c cu b)) este suficient să considerăm formele:formula 30 Prin analogie cu n=2, considerăm intâi ecuația:formula 31care poate fi privită ca o ecuație diferențială pentru z(x) pentru orice fel de alegere a unei functii y(x,y) cu y(x) = y. Soluțiile tuturor acestor ecuații se află pe aceeași suprafață z=z(x,y,z) dacă, pentru orice alegere a lui y(x
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
de y dispare după ce Ω a fost împărțită cu acest coeficient. Folosind această "remarcă", arătăm acum suficiența condiției (2.13) și cum se poate construi explicit funcția z(x,y). Considerăm pentru aceasta la fiecare x fixat (dx=0) ecuația diferențială pentru z(x,y):formula 37 care are, într-o vecinătate U a punctului considerat (x,y,z) o soluție z(x,y,z), unde variabila z este definită de condiția inițială : z(x,y,z) = z. La fiecare x fixat
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
Ω = 0. Formularea (3.1) & (3.2) (ca și (2.13) când n=3) este invariantă la schimbări de coordonate: aceasta se vede din formula (1.2.2) și ținând seama că u,v se transformă la fel ca și diferențialele dx:formula 47astfel incât expresiile (3.1) și (3.2) păstrează aceeași formă. Cu aceasta, teorema lui Frobenius(1877) pentru n oarecare este: Pentru n variabile, hiperplanul Ω=0 conține (n-1) vectori liniar independenți și deci ecuația (3.4) înseamnă
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]