3,973 matches
-
consecință a teoremei lui Frobenius (3.4) și permite construcția explicită a suprafeței integrale, iterând procedura de la sfârșitul paragrafului (începând de la ecuația (2.14)) Condițiile de integrabilitate ale lui Frobenius pot fi exprimate foarte elegant în limbajul modern al formelor diferențiale. Amintim aici numai strictul necesar: Produsul exterior a două 1-forme Ω si Ω este o formă biliniară antisimetrică asociată fiecărui punct x din U(o 2-formă); spațiul liniar al formelor biliniare antisimetrice are la fiecare x dimensiunea n(n-1
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
ei trebuie sa fie e: dar atunci, când dΩ(e,e) ≠ 0, Ω (e)=0; când Ω(e) ≠ 0, atunci dΩ(e,e)=0.Aceasta justifică formularea (4.8). Teorema lui Frobenius poate fi generalizată la sisteme de p forme diferențiale cu n variabile (p≤n-1):formula 57 Spunem că un astfel de sistem este integrabil daca există p funcții f(x),f(x)...astfel incâtformula 58 cu b funcții netede de x. Observăm că aceasta nu inseamnă că fiecare formă diferențială
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
diferențiale cu n variabile (p≤n-1):formula 57 Spunem că un astfel de sistem este integrabil daca există p funcții f(x),f(x)...astfel incâtformula 58 cu b funcții netede de x. Observăm că aceasta nu inseamnă că fiecare formă diferențială a sistemului este integrabilă: un sistem de 2 1-forme de trei variabile este totdeauna integrabil, deși fiecare formă separat nu este integrabilă. De exemplu, sistemul format din:formula 59 poate fi scris:formula 60 după schimbarea de variabile: "x=x/y, z
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
este nenul (1-formele sunt "independente"). Motivul este că putem alege una din variabile - o numim x - ca variabilă independentă și exprima diferențialele dx, i≤n-1 ca functie de dx, ceea ce este echivalent cu un sistem de n-1 ecuații diferențiale. Acesta admite local n-1 integrale prime, care pot fi folosite drept funcțiile f din (5.2). Se vede de aici că problema integrabilității pentru un sistem de 2 forme diferențiale se pune numai de la 4 variabile in sus. (În
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
este echivalent cu un sistem de n-1 ecuații diferențiale. Acesta admite local n-1 integrale prime, care pot fi folosite drept funcțiile f din (5.2). Se vede de aici că problema integrabilității pentru un sistem de 2 forme diferențiale se pune numai de la 4 variabile in sus. (În general pentru un sistem de p forme, de la p+2 în sus). Geometric, integrabilitatea înseamnă că soluțiile tuturor ecuațiilor diferențiale reprezentate de sistemul:formula 61se găsesc pe o varietate n-p dimensională
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
de aici că problema integrabilității pentru un sistem de 2 forme diferențiale se pune numai de la 4 variabile in sus. (În general pentru un sistem de p forme, de la p+2 în sus). Geometric, integrabilitatea înseamnă că soluțiile tuturor ecuațiilor diferențiale reprezentate de sistemul:formula 61se găsesc pe o varietate n-p dimensională a lui R. Schițăm pentru p=2 și n=4 modul în care se obțin condițiile de integrabilitate; se vede ușor cum procedura este generalizabilă la p și n
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
9) are avantajul că este invariantă atât la shimbări de coordonate cât și la combinații liniare între elemenetele sistemului (5.1). Urmându-l pe Feodor Deahna, Frobenius demonstrează că, în general, "condiția necesară și suficientă pentru ca sistemul (II) de forme diferențiale să fie integrabil, este ca cele p forme antisimetrice (5.9) să se anuleze pe orice pereche de vectori aparținând varietății liniare (5.10) determinate de Ω=0, q=1..p." Din (5.7) se vede că, dacă a(x
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
y dispare și ea. Dar acum avem de a face cu un sistem de 2 forme cu trei variabile independente, care este totdeauna integrabil. Procedura e ușor de generalizat pentru orice p, cu mai mulți pași intermdiari. În limbajul formelor diferențiale, teorema lui Frobenius se exprimă pentru un sistem de p 1-forme prin p condiții, care, din cauza restricțiilor asupra vectorilor u,v se scriu acum:formula 69 pentru q=1..p. Un alt mod de a aborda problema integrabilității, complementar celui de
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
p vectori liniar independenți ale căror componente, netede față de x, le numim A(x), q=1...,n-p, i=1...n, soluții ale sistemului de ecuații (k=1...p):formula 70 Dacă sistemul (5.1) este integrabil, soluțiile sistemului de ecuații diferențiale:formula 71 se găsesc pe o varietate n-p dimensională dată de ecuațiile f(x)=C...,f(x)=C (vezi (5.2)), cu C..,C constante. Deci, pentru orice k =1...p: formula 72 Reciproc, să presupunem că sistemul (5.15) admite
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
ale lor; mai mult, putem să înlocuim coeficienții a și cu combinații liniare ale lor (față de r) cu coeficienți depinzând de x, fără să alterăm egalitatea. Acesta este însă exact criteriul lui Frobenius (5.19) pentru integrabilitatea sistemelor de 1-forme diferențiale. Concludem că integrarea unui astfel de sistem duce direct la soluția sistemului complet de ecuații (5.15). Ecuația Ω = 0 reprezintă pentru 2 variabile independente o ecuație diferențială obișnuită, care are, în afară de cazuri speciale , o soluție, reprezentată printr-o curbă
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
însă exact criteriul lui Frobenius (5.19) pentru integrabilitatea sistemelor de 1-forme diferențiale. Concludem că integrarea unui astfel de sistem duce direct la soluția sistemului complet de ecuații (5.15). Ecuația Ω = 0 reprezintă pentru 2 variabile independente o ecuație diferențială obișnuită, care are, în afară de cazuri speciale , o soluție, reprezentată printr-o curbă, determinată complet de condițiile inițiale; pentru n ≥ 3 variabile, soluția ar trebui să fie o (hiper)suprafață, dar aceasta nu este posibil decât dacă anumite condiții de integrabilitate
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
Necesitatea (vezi §2)acestor condiții a fost recunoscută de la început, desigur de J.F.Pfaff (1765-1825) (după care 1-formele sunt adesea numite) dar suficiența lor a fost demonstrată pentru prima oară de F.Deahna în 1840, și pentru sisteme de forme diferențiale (vezi §4). Metoda lui de construcție a suprafețelor integrale e cea descrisă în text. Chiar dacă Ω nu este integrabilă, numărul ei de termeni poate totuși, la schimbări de coordonate judicioase, să scadă: de exemplu, astfel incât Ω să poata fi
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
pentru o formă Ω dată, a numărului minim de diferențiale totale a căror sumă o poate reprezenta (cu coeficienți dependenți de x), și în determinarea transformărilor de coordonate care duc la această prezentare. Evident, stabilirea condițiilor de integrabilitate a formelor diferențiale este inclusă în această chestiune. Problema a fost lamurită prin lucrările lui C.G.Jacobi, L.Natani, A.Clebsch, G.F.Frobenius și G.Darboux. Lucrarea lui A.Clebsch din 1866 stabilește condiția de închidere (5.17) drept necesară și suficientă pentru ca
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
specială a teoremei lui Darboux din lucrarea joacă un rol central(vezi de exemplu manualele , . În 1909, Carathéodory a prezentat o formulare "geometrică" a termodinamicii, în care conținutul principiului al doilea este în bună măsură redus la afirmația că forma diferențială reprezentând cantitatea de căldură schimbată de un sistem fizic cu exteriorul are proprietatea remarcabilă de a fi "integrabilă" (§2.3). Analiza echilibrului termic între sisteme fizice duce la identificarea factorului integrand cu temperatura absolută. Modul acesta de privire a fost
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
numai treptat de fizicieni (Max Born a fost un promotor important al lui, iar mai târziu trebuie citat H.A.Buchdahl).Faptul că factorul integrand al cantității de căldură are o interpretare atât de simplă face ca problemele legate de forme diferențiale să poată fi evitate în aplicațiile practice ale termodinamicii, pentru care condițiile (1.6) pentru diferențiale totale se dovedesc a fi suficiente. Prezentările moderne ale teoremei lui Frobenius utilizează metodele formelor diferențiale, introduse în geometrie în jurul lui 1900 de Élie
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
de simplă face ca problemele legate de forme diferențiale să poată fi evitate în aplicațiile practice ale termodinamicii, pentru care condițiile (1.6) pentru diferențiale totale se dovedesc a fi suficiente. Prezentările moderne ale teoremei lui Frobenius utilizează metodele formelor diferențiale, introduse în geometrie în jurul lui 1900 de Élie Cartan. Referințe standard, folosite în acest articol sunt cărțile lui Henri Cartan și Vladimir Arnold.
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
se folosesc pentru presiuni (suprapresiuni) de până la 1 atmosferă, cele cu un braț închis pentru măsurarea de presiuni absolute în spații cu aer rarefiat. Tot cu un U-manometru, ce are legături (conducte, tuburi) la ambele brațe, se poate măsura presiunea diferențială dintre două locuri (diferite ca poziție) ale unui spațiu închis, instalații chimice etc. Manometrele „normale”, cu ac indicator pot fi construite (intern) în mai multe variante. Pentru domeniul de presiuni foarte înalte (10.000÷20.000 atm), sunt folosite manometre
Manometru () [Corola-website/Science/319679_a_321008]
-
și pentru sistemele de puncte materiale sau corpul rigid, având aplicații directe în ramura mecanicii fizice și în mecanica analitică. Există în mecanică situații în care se pot obține informații cu privire la evoluția dinamică a sistemului fără integrarea completă a ecuațiilor diferențiale ale mișcării. Pentru aceasta, trebuie în mod necesar, să existe cel puțin o relație între timp, coordonatele de poziție și coordonatele vitezei. O asemenea relație se numește "integrală primă" a mișcării. Din forma expresiei de definiție, rezultă că integrala primă
Teoreme generale ale mecanicii () [Corola-website/Science/319681_a_321010]
-
energiei cinetice. Dacă punctul material este plasat într-un câmp de forțe potențial, atunci există o funcție scalară formula 72, astfel încât câmpul de forțe ce acționează asupra punctului material se poate scrie sub forma formula 73, unde prin formula 74 este notat operatorul diferențial gradient. Funcția scalară formula 72 poartă numele de potențialul câmpului. În cazul în care formula 76, cu alte cuvinte dacă potențialul nu depinde explicit de timp, atunci câmpul de forțe se numește conservativ, iar funcția formula 77 se numește "energie potențială". Pentru punctul
Teoreme generale ale mecanicii () [Corola-website/Science/319681_a_321010]
-
având masele formula 119 , folosind expresia rezultantei forțelor externe respectiv interne ce acționează asupra punctului formula 109 de masă formula 121, ecuația fundamentală a mișcării se scrie:formula 122. Prin proiectarea acestor ecuații pe axele de coordonate se găsește un sistem de formula 123 ecuații diferențiale de ordinul doi scalare:formula 124. De regulă, forțele externe formula 125 sunt dependente de vectorii de poziție și viteze respectiv timp formula 126, iar forțele interne formula 104 variază în funcție de poziția mutuală a particulelor formula 128 Integrând succesiv de două ori ecuațiile scalare fundamentale
Teoreme generale ale mecanicii () [Corola-website/Science/319681_a_321010]
-
pozițiile și vitezele inițiale ale celor formula 115 puncte, se pot scrie formula 132 ecuații scalare:formula 133. rezolvarea acestui sistem de formula 132 ecuații algebrice conduce la determinarea constantelor formula 135. Prin cunoașterea unor integrale prime pentru sistemul punctelor materiale simplifică problema integrării ecuațiilor diferențiale ale mișcării. Forțele interne și externe, acționând asupra punctelor materiale individuale ce compun sistemul, își produc efectul prin schimbarea impulsului punctelor. Suma impulsurilor punctelor materiale se numește "impulsul total al sistemului de puncte materiale" și este dat de formula: formula 136
Teoreme generale ale mecanicii () [Corola-website/Science/319681_a_321010]
-
cinetică totală. Pentru energia cinetică totală se poate formula teorema energie cinetice totale, numită și teorema variației energiei cinetice totale: Pentru un interval de timp finit formula 184, lucrul mecanic efectuat de sistemul de puncte materiale se găsește prin integrarea relației diferențiale a lucrului mecanic total:formula 185. Cu alte cuvinte, lucrul mecanic efectuat de forțele exterioare și interioare ale unui sistem de puncte materiale este egală cu variația energiei cinetice totale a sistemului: formula 186, relație care este similară cu expresia matematică a
Teoreme generale ale mecanicii () [Corola-website/Science/319681_a_321010]
-
fără interpretare fizică.Aceștia sunt(:<br>formula 13 până la ordinul ε. Numai acele soluții ale ecuației (A-L) pot fi folosite care nu conțin nici o contribuție de la soluția exponențial crescătoare. Mulțimea acestor soluții poate fi prezentată ca mulțimea solutiilor unei ecuații diferențiale de ordinul doi, cu termenul liber modificat corespunzător. Aceasta este (in esență) procedura lui Max Planck . Pentru aceasta scriem soluția generală mărginită a ecuației (A-L) :<br>formula 14 cu f(t) o soluție particulară a ecuației (A-L), și x
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
lumen. În alveole există și celule gigante, multinucleate. 3) "RMS pleomorfic:" este o tumoare cu celule foarte variate: celule globuloase, fuziforme, celule gigante și în rachetă. Se bazează pe recunoașterea rabdomioblastelor: celule mici, rotund-ovalare, nediferențiate sau slab diferențiate, hipercromice. Diagnosticul diferențial este dificil și trebuie făcut cu alte tumori cu celule mici și rotunde: 1) sarcomul Ewing 2) neuroblastomul: în cazul neuroblastomului lipsește colagenul 3) neuroepiteliomul 4) limfomul malign: și în cazul limfomului lipsește glicogenul 5) melanomul malign 6) carcinoamele cu
Rabdomiosarcom () [Corola-website/Science/316175_a_317504]
-
în secolul al XIX-lea în cadrul studiului probabilităților, ele sunt exemple clasice de polinoame Appell așa cum sunt seriile de polinoame ale lui Bernoulli și Euler. Expresia explicită a termenilor seriei polinoamelor lui Hermite se deduce pe cale analitică prin rezolvarea ecuației diferențiale al lui Hermite. Aplicțiile directe ale polinoamelor lui Hermite se întâlnesc în domenii precum teoria probabilităților, teoria perturbaților, statistică matematică, fizica. Una din cele mai importante domenii în care utilizarea lor a condus cu succes la rezolvarea unei probleme fundamentale
Polinoame Hermite () [Corola-website/Science/316296_a_317625]