6,649 matches
-
preocupați de logică; citindu-le lucrările, ești tentat să crezi că au avansat doar pas cu pas, cu metoda unui Vauban care își pregătește atacul asupra unei fortărețe fără să lase nimic la voia întâmplării. Ceilalți se lasă ghidați de intuiție și fac (din prima) cuceriri rapide, deși precare uneori, asemenea cavalerilor îndrăzneți din avangardă. În fapt, nu subiectul tratat le impune una sau alta dintre metode. Dacă despre primii se spune adesea că sunt analiști, iar despre ceilalți că sunt
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
doi matematicieni în viață. Dl. Méray dorește să demonstreze faptul că o ecuație binomială are întotdeauna o rădăcină, sau, pe înțelesul tuturor, că un unghi poate fi divizat întotdeauna. Dacă există un adevăr pe care credem că-l cunoaștem prin intuiție directă, atunci acesta este. Cine s-ar putea îndoi că un unghi se poate împărți întotdeauna într-un număr de părți egale? Dl Méray nu judecă astfel; în ochii săi, această propoziție nu este deloc evidentă și, pentru a o
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
recunoaște că mulți dintre acești geometri de demult erau analiști prin înclinație. De exemplu, Euclid a ridicat un eșafodaj savant căruia contemporanii săi nu-i puteau găsi vreun defect. În această vastă construcție, în care fiecare piesă se datorează totuși intuiției, putem recunoaște și astăzi, fără prea mare efort, opera unui logician. Nu mințile s-au schimbat, ci ideile; mințile intuitive au rămas aceleași; dar cititorii lor le-au cerut mai multe concesii. Care este rațiunea acestei evoluții? Nu este greu
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
fără prea mare efort, opera unui logician. Nu mințile s-au schimbat, ci ideile; mințile intuitive au rămas aceleași; dar cititorii lor le-au cerut mai multe concesii. Care este rațiunea acestei evoluții? Nu este greu s-o descoperim. Că intuiția nu ne poate da nici rigoare, nici certitudine, ne-am dat seama de asta din ce în ce mai mult. Să luăm câteva exemple. Știm că există funcții continue fără derivate. Nimic mai șocant pentru intuiție decât această propoziție pe care logica ne-o
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
evoluții? Nu este greu s-o descoperim. Că intuiția nu ne poate da nici rigoare, nici certitudine, ne-am dat seama de asta din ce în ce mai mult. Să luăm câteva exemple. Știm că există funcții continue fără derivate. Nimic mai șocant pentru intuiție decât această propoziție pe care logica ne-o impune. Predecesorii noștri nu ar fi scăpat ocazia să afirme: Este evident că orice funcție continuă are o derivată, deoarece orice curbă are o tangentă". Cum poate intuiția să ne înșele atât
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
Nimic mai șocant pentru intuiție decât această propoziție pe care logica ne-o impune. Predecesorii noștri nu ar fi scăpat ocazia să afirme: Este evident că orice funcție continuă are o derivată, deoarece orice curbă are o tangentă". Cum poate intuiția să ne înșele atât de mult? Asta se întâmplă deoarece atunci când căutăm să ne imaginăm o curbă, nu putem să ne-o reprezentăm fără grosime; la fel, când ne reprezentăm o dreaptă, o vedem sub forma unei benzi rectilinii de
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
fi avut grijă să traducem raționamentul în limbajul geometriei, intermediar între cel de analiză și cel de fizică, cu siguranță aceste îndoieli nu s-ar fi produs, și poate astfel și astăzi i-am mai înșela pe cititorii neavizați. Așadar, intuiția nu ne dă certitudini. Iată de ce evoluția trebuia să se facă; să vedem acum, însă, în ce manieră s-a făcut. Nu a durat mult până să se observe că rigoarea nu putea fi introdusă în raționamente dacă nu era
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
aveam doar imaginea lor neșlefuită, și nu o idee precisă pe care să se fi putut baza raționamentul. Aici și-au unit mai întâi logicienii eforturile. La fel și pentru numărul incomensurabil. Ideea vagă a continuității, pe care o datorăm intuiției, s-a rezolvat printr-un sistem complicat de inegalități privind numerele întregi. Pe această cale, dificultățile provenind din trecerile la limită sau din considerarea infiniților mici au fost clarificate definitiv. Astăzi, nu au mai rămas în analiză decât numerele întregi
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
în sfârșit rigoarea absolută? La fiecare stadiu de evoluție, și predecesorii noștri credeau, de asemenea, că au atins-o. Dacă ei s-au înșelat, nu cumva ne înșelăm și noi? Credem că în raționamentele noastre nu mai facem apel la intuiție; filosofii ne-ar spune că este o iluzie. Logica cea mai pură ne-ar conduce întotdeauna doar la tautologii; ea nu ar putea crea ceva nou; numai din ea singură nu ar putea ieși vreo știință. Acești filosofi au dreptate
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
vreo știință. Acești filosofi au dreptate într-un anume sens; pentru a face aritmetică, sau geometrie, sau oricare altă știință, ne trebuie altceva decât logica pură. Acest altceva nu poate fi denumit cu un alt cuvânt decât cu cel de intuiție. Dar câte înțelesuri diferite ascund aceste cuvinte? Să comparăm aceste patru axiome: 1. Două cantități egale cu a treia sunt egale între ele. 2. Dacă o teoremă este adevărată pentru numărul 1 și dacă se demonstrează că este adevărată și
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
B, iar punctul D între A și C, atunci punctul D se va afla între A și B. 4. Printr-un punct nu putem duce decât o singură paralelă la o dreaptă. Toate cele patru axiome trebuie să fie atribuite intuiției, și, totuși, prima este enunțul unei reguli din logica formală, a doua este o adevărată judecată sintetică a priori, fundamentul inducției matematice riguroase, a treia este un apel la imaginație, iar a patra este o definiție mascată. Intuiția nu este
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
fie atribuite intuiției, și, totuși, prima este enunțul unei reguli din logica formală, a doua este o adevărată judecată sintetică a priori, fundamentul inducției matematice riguroase, a treia este un apel la imaginație, iar a patra este o definiție mascată. Intuiția nu este neapărat fondată pe mărturia simțurilor; simțurile ar deveni curând neputincioase; de exemplu, nu putem să ne reprezentăm xilogonul, și totuși ne gândim, prin intuiție, la poligoane în general, care conțin xilogonul ca un caz particular. Știți ce înțelegea
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
a treia este un apel la imaginație, iar a patra este o definiție mascată. Intuiția nu este neapărat fondată pe mărturia simțurilor; simțurile ar deveni curând neputincioase; de exemplu, nu putem să ne reprezentăm xilogonul, și totuși ne gândim, prin intuiție, la poligoane în general, care conțin xilogonul ca un caz particular. Știți ce înțelegea Poncelet prin principiul continuității. Ceea ce este adevărat pentru o cantitate reală, spunea Poncelet, trebuie să fie adevărat și pentru o cantitate imaginară; ceea ce este adevărat în
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
mărturia simțurilor; mai degrabă contraziceai această mărturie decât să asimilezi hiperbola cu elipsa. Era vorba aici doar de un soi de generalizare grăbită și instinctivă, căreia, de altfel, nu vreau să-i iau apărarea. Avem, așadar, mai multe feluri de intuiții; mai întâi, apelul la simțuri și la imaginație; apoi, generalizarea prin inducție, calchiată, dacă se poate spune așa, pe procedeele științei experimentale; în sfârșit, avem intuiția numărului pur, cea din care a ieșit a doua dintre axiomele pe care le-
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
de altfel, nu vreau să-i iau apărarea. Avem, așadar, mai multe feluri de intuiții; mai întâi, apelul la simțuri și la imaginație; apoi, generalizarea prin inducție, calchiată, dacă se poate spune așa, pe procedeele științei experimentale; în sfârșit, avem intuiția numărului pur, cea din care a ieșit a doua dintre axiomele pe care le-am enunțat puțin mai înainte și care poate genera adevăratul raționament matematic. Primele două nu pot să ne dea certitudinea, așa cum am arătat deja prin exemplele
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
sus; dar cine se mai îndoiește în mod serios de a treia, cine se mai îndoiește de Aritmetică? Ori, în Analiza de astăzi, când te străduiești să fii riguros, nu ai un alt ajutor decât silogismele sau apelul la această intuiție a numărului pur, singura care nu ne poate înșela. Se poate spune că astăzi am ajuns la rigoarea absolută. Filosofii mai aduc o obiecție. Ei spun: "Ceea ce câștigați în rigoare, pierdeți în obiectivitate. Nu puteți să vă ridicați la idealul
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
obiectului meu o definiție precisă, ceea ce-mi permite să stabilesc această proprietate într-o manieră ireproșabilă. "Și după asta? După spusele filosofilor, mai rămâne să arătăm că obiectul care răspunde acestei definiții este exact același cu cel pe care intuiția vi l-a făcut cunoscut; sau, mai mult, că un oarecare obiect real și concret, a cărui conformitate cu ideea voastră intuitivă credeați că o recunoașteți imediat, răspunde întru totul la noua voastră definiție. Abia atunci puteți afirma că se
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
zgudui lumea; ea își uită originile istorice; vedem cum se pot rezolva problemele, dar nu mai vedem cum și de ce sunt ele puse. Asta ne arată că logica nu este suficientă; că Știința demonstrației nu este toată Știința și că intuiția trebuie să-și conserve rolul de complement, era să spun de contragreutate sau de antidot al logicii. Am avut deja ocazia să insist asupra locului pe care trebuie să-l păstreze intuiția în învățământul științelor matematice. Fără ea, spiritele tinere
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
Știința demonstrației nu este toată Știința și că intuiția trebuie să-și conserve rolul de complement, era să spun de contragreutate sau de antidot al logicii. Am avut deja ocazia să insist asupra locului pe care trebuie să-l păstreze intuiția în învățământul științelor matematice. Fără ea, spiritele tinere nu ar ști să se inițieze în inteligența Matematicii; nu ar învăța s-o iubească și ar vedea în ea doar o polemică zadarnică în jurul unor termeni; fără intuiție, nu ar fi
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
să-l păstreze intuiția în învățământul științelor matematice. Fără ea, spiritele tinere nu ar ști să se inițieze în inteligența Matematicii; nu ar învăța s-o iubească și ar vedea în ea doar o polemică zadarnică în jurul unor termeni; fără intuiție, nu ar fi însă niciodată capabili să aplice matematica. Dar astăzi aș vrea să vă vorbesc, înainte de toate, despre rolul intuiției în știință. Dacă ea este utilă studentului, cu atât mai mult este utilă savantului creator. Căutăm realitatea, dar ce
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
nu ar învăța s-o iubească și ar vedea în ea doar o polemică zadarnică în jurul unor termeni; fără intuiție, nu ar fi însă niciodată capabili să aplice matematica. Dar astăzi aș vrea să vă vorbesc, înainte de toate, despre rolul intuiției în știință. Dacă ea este utilă studentului, cu atât mai mult este utilă savantului creator. Căutăm realitatea, dar ce este realitatea? Fiziologii ne învață că organismele sunt forme celulare; chimiștii adaugă că și celulele, la rândul lor, sunt formate din
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
aceste căi, care este cea care ne va duce cel mai repede la țintă? Cine ne va spune ce cale să alegem? Ne-ar trebui o însușire care să ne facă să vedem ținta de departe, și această însușire este intuiția. Ea îi este necesară exploratorului pentru a-și alege calea, și nu îi este mai puțin necesară celui care merge pe urmele sale și care vrea să știe de ce a ales această cale. Dacă asistați la o partidă de șah
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
au dat matematicienii ar fi de ajuns pentru a dovedi acest lucru. În matematică, logica se numește Analiză, iar analiza vrea să spună divizare, disecție. Așadar, nu poate avea alte unelte decât scalpelul și microscopul. Astfel, atât logica, cât și intuiția își au fiecare rolul său. Amândouă sunt indispensabile. Logica, singura care poate da certitudine, este instrumentul pentru demonstrație; intuiția este instrumentul pentru invenție. Dar în momentul formulării acestei concluzii, mă simt cuprins de scrupule. La începutul acestei prelegeri, am făcut
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
analiza vrea să spună divizare, disecție. Așadar, nu poate avea alte unelte decât scalpelul și microscopul. Astfel, atât logica, cât și intuiția își au fiecare rolul său. Amândouă sunt indispensabile. Logica, singura care poate da certitudine, este instrumentul pentru demonstrație; intuiția este instrumentul pentru invenție. Dar în momentul formulării acestei concluzii, mă simt cuprins de scrupule. La începutul acestei prelegeri, am făcut distincția între două feluri de minți matematice, unele logice și analiste, celelalte intuitive și geometrice. Ei bine, și analiștii
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
cele mai abstracte entități erau pentru el ca niște ființe vii. El nu le vedea, dar simțea că nu sunt un asamblaj artificial, că au un anumit principiu de unitate internă. Dar, s-ar putea spune, e vorba tot de intuiție. Tragem concluzia că distincția făcută la început nu era decât o aparență, că nu există decât un singur fel de gândire și că toți matematicienii sunt intuitivi, cel puțin cei care sunt capabili să inventeze? Nu, distincția noastră are corespondență
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]