6,649 matches
-
nu există decât un singur fel de gândire și că toți matematicienii sunt intuitivi, cel puțin cei care sunt capabili să inventeze? Nu, distincția noastră are corespondență în planul real. Am afirmat mai sus că există mai multe feluri de intuiție. Am spus cât de mult diferă intuiția numărului pur, cea din care poate ieși inducția matematică riguroasă, de intuiția sensibilă, a cărei imaginație propriu-zisă face toți banii. Este cumva abisul care le separă mai puțin profund decât părea la început
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
gândire și că toți matematicienii sunt intuitivi, cel puțin cei care sunt capabili să inventeze? Nu, distincția noastră are corespondență în planul real. Am afirmat mai sus că există mai multe feluri de intuiție. Am spus cât de mult diferă intuiția numărului pur, cea din care poate ieși inducția matematică riguroasă, de intuiția sensibilă, a cărei imaginație propriu-zisă face toți banii. Este cumva abisul care le separă mai puțin profund decât părea la început? Am putea recunoaște, cu puțină atenție, că
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
capabili să inventeze? Nu, distincția noastră are corespondență în planul real. Am afirmat mai sus că există mai multe feluri de intuiție. Am spus cât de mult diferă intuiția numărului pur, cea din care poate ieși inducția matematică riguroasă, de intuiția sensibilă, a cărei imaginație propriu-zisă face toți banii. Este cumva abisul care le separă mai puțin profund decât părea la început? Am putea recunoaște, cu puțină atenție, că această intuiție pură, în sine, nu s-ar putea lipsi de ajutorul
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
pur, cea din care poate ieși inducția matematică riguroasă, de intuiția sensibilă, a cărei imaginație propriu-zisă face toți banii. Este cumva abisul care le separă mai puțin profund decât părea la început? Am putea recunoaște, cu puțină atenție, că această intuiție pură, în sine, nu s-ar putea lipsi de ajutorul simțurilor? Aceasta, însă, e treaba psihologului și a metafizicianului, de aceea nu voi continua asupra acestui aspect. Dar e suficient ca chestiunea să fie îndoielnică pentru a mă simți îndreptățit
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
e treaba psihologului și a metafizicianului, de aceea nu voi continua asupra acestui aspect. Dar e suficient ca chestiunea să fie îndoielnică pentru a mă simți îndreptățit să recunosc și să afirm o deosebire esențială între cele două feluri de intuiție; nu au același obiect și par să pună la bătaie două însușiri diferite ale sufletului nostru; cam cum ar fi două proiectoare îndreptate spre două lumi diferite. Intuiția numărului pur, cea a formelor logice pure, este cea care îi luminează
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
recunosc și să afirm o deosebire esențială între cele două feluri de intuiție; nu au același obiect și par să pună la bătaie două însușiri diferite ale sufletului nostru; cam cum ar fi două proiectoare îndreptate spre două lumi diferite. Intuiția numărului pur, cea a formelor logice pure, este cea care îi luminează și dirijează pe cei pe care noi i-am numit analiști. Ea este cea care le permite nu numai să demonstreze, ci și să inventeze. Cu ajutorul ei își
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
să se lipsească de acest ajutor! Sunt de admirat, dar sunt atât de rari! Așadar, vor exista inventatori și printre analiști, dar aceștia vor fi puțini. Cei mai mulți dintre noi, dacă am vrea să avem o privire de ansamblu doar prin intuiția pură, ne-am simți cuprinși de amețeală. Această slăbiciune are nevoie de un baston mai solid, și în ciuda excepțiilor despre care tocmai am vorbit, nu e mai puțin adevărat că intuiția sensibilă este în matematică instrumentul cel mai obișnuit al
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
vrea să avem o privire de ansamblu doar prin intuiția pură, ne-am simți cuprinși de amețeală. Această slăbiciune are nevoie de un baston mai solid, și în ciuda excepțiilor despre care tocmai am vorbit, nu e mai puțin adevărat că intuiția sensibilă este în matematică instrumentul cel mai obișnuit al invenției. Cât despre ultimele considerații pe care le-am făcut, se impune o problemă pe care nu am timp nici s-o rezolv, nici măcar s-o enunț cu toate implicațiile pe
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
nu am timp nici s-o rezolv, nici măcar s-o enunț cu toate implicațiile pe care le presupune. Există posibilitatea de a face o nouă separare și de a face distincția între analiștii care se servesc mai ales de această intuiție pură și cei care se preocupă mai întâi de logica formală? De exemplu, dl Hermite, despre care am vorbit mai înainte, nu poate fi clasificat printre geometrii care se folosesc de intuiția sensibilă, dar nu este niciun logician propriu-zis. El
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
analiștii care se servesc mai ales de această intuiție pură și cei care se preocupă mai întâi de logica formală? De exemplu, dl Hermite, despre care am vorbit mai înainte, nu poate fi clasificat printre geometrii care se folosesc de intuiția sensibilă, dar nu este niciun logician propriu-zis. El nu-și ascunde repulsia pentru procedeele pur deductive care pornesc de la general pentru a merge la particular. Comentarii Henri Poincaré (1854-1912), unul dintre cei mai mari matematicieni din toate timpurile și, în
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
procedeele pur deductive care pornesc de la general pentru a merge la particular. Comentarii Henri Poincaré (1854-1912), unul dintre cei mai mari matematicieni din toate timpurile și, în egală măsură, filosof al științei și fizician teoretician, subliniază în acest text importanța intuiției în descoperirea și construcția adevărurilor matematicii. Deși nu este scrisă în registru polemic, analiza sa are totuși o țintă și un adversar ușor de ghicit: logicismul, care domina la începutul secolului al XX-lea în gândirea matematică și punea un
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
spre sfârșitul anilor '60, pierzând din influență odată cu teoriile lui Gödel și, mai ales, cu dezvoltarea matematicii în direcții care puneau în valoare noi tipuri de raționament și tehnici matematice cu impact în știința secolului al XX-lea. Evidențiind rolul intuiției în descoperirea matematică și echilibrul subtil dintre aceasta și rigoarea logică, autorul subliniază un adevăr fundamental, pe care, de altfel, îl va susține în numeroase alte eseuri consacrate acestui subiect: matematica nu se reduce la logică, iar gândirea matematică are
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
și Kant. Ele au arătat că nu există o judecată sintetică a priori (așa cum spunea Kant pentru a desemna judecățile care nu pot fi demonstrate în mod analitic), au demonstrat că matematica este în întregime reductibilă la logică și că intuiția nu joacă niciun rol în asta. Putem subscrie la această condamnare definitivă? Nu cred acest lucru și voi încerca să arăt de ce. Ce ne sare în ochi la noua matematică este caracterul său pur formal: "Să ne gândim, spune Hilbert
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
sale. Acolo trebuia să ajungă, dat fiind problema care se punea. Voia să reducă la minim numărul axiomelor fundamentale ale geometriei și să facă enumerarea lor completă; or, în raționamentele în care spiritul nostru rămâne activ, în acelea în care intuiția încă joacă un rol, în raționamentele vii, ca să spunem așa, este dificil să nu introduci o axiomă sau un postulat care să treacă neobservat. Așa încât, abia după ce toate raționamentele geometrice au fost aduse la o formă pur mecanică a putut
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
el pentru a studia știința odată creată. Ei bine, ce vreau să cercetez este dacă e adevărat că, odată ce am admis principiile logicii, putem, nu spun să descoperim, ci să demonstrăm toate adevărurile matematice fără a apela din nou la intuiție. La această întrebare răspunsesem altădată că nu (vezi Știință și ipoteză [t.n.], capitolul 1); ar trebui oare modificat răspunsul nostru în lumina lucrărilor recente? Dacă aș fi răspuns nu, ar fi fost din cauză că "principiul inducției complete" mi s-ar
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
geniu cum a fost Henri Poincaré cu mult înainte de demonstrarea riguroasă de către Gödel la începutul anilor '30 a principiului incompletitudinii care, de altfel, chiar asta afirma: inconsistența sau incompletitudinea oricărui sistem axiomatic al aritmeticii. Pledoaria sa antilogicistă și în favoarea rolului intuiției în matematică este deopotrivă de bun-simț și caustică la nivelul polemicii. Invenția matematică 9 Henri Poincaré Geneza invenției matematice este o problemă care ar trebui să inspire cel mai viu interes psihologului. Este actul în care mintea umană pare să
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
O demonstrație matematică nu este o simplă juxtapunere de silogisme, ci sunt silogisme așezate într-o ordine anumită, iar ordinea în care sunt așezate aceste elemente este mult mai importantă chiar și decât elementele în sine. Dacă am sentimentul, sau intuiția ca să spun așa acestei ordini, în așa fel încât să pot sesiza dintr-o privire ansamblul raționamentului, atunci nu trebuie să mă mai tem că am uitat vreunul din elemente; fiecare element se va plasa de la sine în locul care îi
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
aș fi putut să-l inventez; sau, mai degrabă, chiar dacă acest fapt este o iluzie, că dacă nu sunt destul de tare pentru a-l crea eu însumi, atunci îl reinventez, pe măsură ce îl repet. Suntem de acord că acest sentiment, această intuiție a ordinii matematice, care ne face să ghicim armonii și relații ascunse, nu este la îndemâna oricui. Unii nu vor avea nici acest sentiment delicat și dificil de definit, nicio forță de memorie și atenție peste medie, și atunci ei vor
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
atenție. Ei vor învăța pe de rost detaliile unele după altele; vor putea înțelege și, uneori, aplica matematica, dar nu vor fi în stare să creeze. În sfârșit, ceilalți vor avea un nivel mai înalt sau mai scăzut din acea intuiție specială despre care tocmai v-am vorbit, și atunci nu numai că vor putea înțelege matematica, deși memoria lor nu ar avea nimic extraordinar, dar vor putea deveni creatori și vor căuta să inventeze cu mai mult sau mai puțin
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
vor putea înțelege matematica, deși memoria lor nu ar avea nimic extraordinar, dar vor putea deveni creatori și vor căuta să inventeze cu mai mult sau mai puțin succes, în funcție de cât de mult sau puțin este dezvoltată la ei această intuiție. În fapt, ce este invenția matematică? Ea nu constă în a face noi combinații cu lucruri matematice deja cunoscute. Acest lucru îl poate face oricine, dar combinațiile pe care le-am putea face în acest fel ar fi în număr
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
în minte într-un soi de iluminare subită, după un efort inconștient oarecum prelungit, sunt, în general, combinații utile și fertile care par rezultatul unei prime trieri. De aici putem trage concluzia că eul subliminal, odată ce a ghicit, printr-o intuiție subtilă, că aceste combinații puteau fi utile, nu le-a format decât pe acestea, sau, și mai exact, a format mult mai multe care erau lipsite de interes și care au rămas în inconștient. În această a doua perspectivă, toate
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
descoperire a unui rezultat matematic fundamental în analiza modernă (funcțiile fuchsiene), procesul de creație al matematicianului se apropie de cel al artistului care stabilește conexiuni între fapte și adevăruri aparent îndepărtate. Matematica ca proces de gândire este o sinteză între intuiție și logică, dar niciun adevăr matematic profund nu poate fi obținut doar prin simpla manipulare a simbolurilor și regulilor logicii formale. Arta matematicianului este aceea de a realiza conexiuni viabile și profunde între obiecte matematice aparent distincte. De fapt, pornind
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
lui Bernoulli intră în teoria grupurilor de homotopii stabile, chiar dacă ascultătorul are doar o idee aproximativă despre ce sunt numerele lui Bernoulli și grupurile homotope. Ceva și mai bun decât o simplă demonstrație este ideea demonstrației, și în primul rând intuiția care o sugerează, motivul pentru care teorema este adevărată. Găsirea celor mai potrivite cuvinte pentru a descrie ideea centrală a demonstrației este un lucru dificil, dar merită tot efortul; atunci când le-ai găsit, ele îți vor oferi calea perfectă de
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
la faptul (și înclin să fiu de acord) că predarea lui cum se învecinează cu cea a lui de ce. În final, cum predăm de ce-ul? Cum predăm logica și matematica, cum predăm noțiunile abstracte și relațiile dintre ele, cum predăm intuiția, recunoașterea, înțelegerea? Cum predăm aceste lucruri astfel încât, atunci când am terminat, fostul nostru student nu numai să poată trece examenul numind noțiunile și enumerând relațiile, dar să și poată, în același timp, găsi plăcere din perspectiva acestora și, dacă este talentat
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
poate fi învățat fără cum, iar cum nu poate fi învățat fără de ce, întrebarea a străbătut întreg cercul și a revenit la punctul de pornire, transformându-se în faptul că de ce nu poate fi învățat fără ce. Fapte, metode și intuiții toate sunt esențiale tuturor, toate intră în toate subiectele noastre, iar principala noastră menire ca profesori este tocmai să selectăm ce-urile, cum-urile și de ce-urile, să-l dirijăm pe student în direcția cea bună și apoi, mai ales
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]