1,474 matches
-
și ale altora. În cursurile sale, Darboux a știut să unească logica pură cu intuiția geometrică, spiritul geometric cu cel al fineței. Lecțiile sale erau foarte ascultate, fiind un model de ordine și claritate. Este cel mai bine cunoscut pentru integrala Darboux, pe care a introdus-o într-o lucrare științifică, privind ecuațiile diferențiale de gradul doi, scrisă de el în 1870. În 1875 a publicat metoda sa de rezolvare a integralei Riemann. În 1873 Darboux a publicat o lucrare privind
Jean Gaston Darboux () [Corola-website/Science/309923_a_311252]
-
ordine și claritate. Este cel mai bine cunoscut pentru integrala Darboux, pe care a introdus-o într-o lucrare științifică, privind ecuațiile diferențiale de gradul doi, scrisă de el în 1870. În 1875 a publicat metoda sa de rezolvare a integralei Riemann. În 1873 Darboux a publicat o lucrare privind cicloidele, pe care le-a descris conform ecuației unde "Q" este o matrice 3x3, "P" un vector tridimensional iar "c" și "R" sunt constante. În jurul anului 1880, Darboux a descoperit că
Jean Gaston Darboux () [Corola-website/Science/309923_a_311252]
-
ar multiple înregistrări cu ansamblul "Camerata Lysy". A înregistrat toate cele trei concerte pentru vioară de Camille Saint-Saëns acompaniat de "Ensemble Orchestral de Paris" sub baghetă lui Lawrence Foster. În februarie 2005 a avut loc lansarea a patru CD cu integrală sonatelor pentru vioară de Ludwig van Beethoven în compania pianistei Dana Protopopescu (Editură Casă Radio din București). Liviu Prunaru este în prezent "Konzertmeister" în orchestră ""Concertgebouw"" din Amsterdam și, în același timp, profesor de vioară la "Academia Menuhin" din Gstaad
Liviu Prunaru () [Corola-website/Science/313548_a_314877]
-
soluției ecuației Schrödinger pentru atomul cu un electron. Fizicienii folosesc adesea o definiție a polinoamelor Laguerre mai mare cu un factor de formula 5, decât definiția folosită aici. Acestea sunt primele polinoame Laguerre: Aceste polinoame pot fi exprimate sub formă de integrală pe contur unde conturul este unul închis, ce ocolește originea în sens trigonometric. Polinoamele Laguerre se pot defini recursiv, exprimând primele două polinoame ca și apoi folosind relația de recurență pentru orice formula 9: Proprietatea de ortogonalitate enunțată mai sus este
Polinoamele lui Laguerre () [Corola-website/Science/309990_a_311319]
-
a determina aria unei figuri cunoscând centrul de greutate al altei figuri. Cel mai simplu exemplu în limbaj modern este aria parabolei. Arhimede folosește o metodă mult mai elegantă, dar în limbaj cartezian, metoda lui este aceea de a calcula integrala: care are ca rezultat valoarea 1/3. Pentru a găsi rezultatul integralei, considerăm un triunghi în echilibru cu parabola. Triunghiul este o regiune din planul "x"-"y" aflat între axa "x" și dreapta "y" = "x", cu "x" variind de la 0
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
Cel mai simplu exemplu în limbaj modern este aria parabolei. Arhimede folosește o metodă mult mai elegantă, dar în limbaj cartezian, metoda lui este aceea de a calcula integrala: care are ca rezultat valoarea 1/3. Pentru a găsi rezultatul integralei, considerăm un triunghi în echilibru cu parabola. Triunghiul este o regiune din planul "x"-"y" aflat între axa "x" și dreapta "y" = "x", cu "x" variind de la 0 la 1. Parabola este o regiune aflată în planul "x"-"y" între
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
egal cu 1/3. Rezultă că masa parabolei, precum și aria ei, trebuie să fie 1/3. Această metodă poate fi folosită pentru a a calcula aria oricărei secțiuni arbitrare a unei parabole. Similar argumentele pot fi folosite pentru a găsi integrala oricărei puteri a lui "x", deși pentru puterile de ordin superior calculul devine complicat fără algebră. Arhimede a mers în măsura posibilului până la integrala "x", pe care a folosit-o pentru a găsi centru de masă al unei emisfere. Curba
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
volumul sferei este egal cu volumul cilindrului. Volumul cilindrului este egal cu aria secțiunii transversale formula 9 înmulțită cu înălțimea care este egală cu 2, adică formula 11. Arhimede a putut să afle volumul conului folosind metoda mecanică, deoarece, în termeni moderni, integrala implicată este aceeași cu cea folosită pentru calculul ariei parabolei. Volumul conului este 1/3 din aria bazei înmulțită cu înățimea. Baza conului este cercul cu raza 2, având aria formula 11 și înălțimea 2, iar volumul conului este formula 13. Scăzând
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
nu există. Arhimede a considerat două forme, una este intersecția a doi cilindrii sub un unghi drept, aflată în regiunea ("x", "y", "z") care satisfac condițiile: și prisma circulară, care satisfac condițiile: Ambele probleme au o porțiune care produce o integrală simplă pentru metoda mecanică. Pentru prisma circulară, tăiem axa "x" în felii. Regiunea din planul "y"-"z" la orice x este interioară unui triunghi dreptunghic de lungime formula 20 a cărui arie este formula 21, astfel că volumul total este: Care poate
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
pentru cilindru ne arată că formula 24 în timp ce formula 25, definind o regiune care este un pătrat în planul "x"-"z" având lungimea laturii egală cu math>\scriptstyle 2\sqrt{1-y^2}</math>, astfel că volumul total este: Iar aceasta este aceeași integrală ca cea din exemplul precedent. O serie de propoziții de geometrie sunt demonstrate în manuscris cu argumente similare. O teoremă afirmă că locul centrului de greutate al unei emisfere este la 5/8 din distanța dintre pol și centru sferei
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
propoziții de geometrie sunt demonstrate în manuscris cu argumente similare. O teoremă afirmă că locul centrului de greutate al unei emisfere este la 5/8 din distanța dintre pol și centru sferei. Această problemă este remarcabilă, deoarece trebuie evaluată o integrală cubică.
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
de undă relevante ale radiației. Are sens să vorbim atunci despre variația în timp a câmpului electric la „poziția” oscilatorului. Pentru început câmpul electric este presupus polarizat paralel cu axa oscilatorului; variația sa în timp poate fi reprezentată printr-o integrală Fourier, pe care o scriem, după cum e convenabil:<br>formula 20Este comod de a folosi forma complexă a integralei Fourier:<br>formula 21unde, <br>formula 22 În apropiere de echilibru, ne așteptăm ca E(t) să aibă oscilații neregulate, dar astfel incât, pe
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
poziția” oscilatorului. Pentru început câmpul electric este presupus polarizat paralel cu axa oscilatorului; variația sa în timp poate fi reprezentată printr-o integrală Fourier, pe care o scriem, după cum e convenabil:<br>formula 20Este comod de a folosi forma complexă a integralei Fourier:<br>formula 21unde, <br>formula 22 În apropiere de echilibru, ne așteptăm ca E(t) să aibă oscilații neregulate, dar astfel incât, pe de o parte valoarea medie E într-un interval de timp suficient de lung să fie zero, dar
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
E(t) este finită: dacă E(ω) sunt componentele Fourier ale lui E(t) restrîns la (-T,T), rezultă din Teorema lui Parseval referitoare la transformatele Fourier că :<br>formula 23 Când T→∞, media lui E(t) rămâne finită numai dacă integrala asupra lui e divergentă. De aceea, vom face presupunerea că mărimile:<br>formula 24 sunt bine definite. Rescriem atunci pe E(t) ca:<br>formula 25și avem în vedere situația T foarte mare (T→∞).Remarcăm de asemenea că E=0 (anularea mediei
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
u (nu numai în |uΔt|≤1): acesta este un prim mod ("în medie", adică integrat după frecvențe) de a formula ipoteza „luminii naturale”. Folosind forma (1) a lui E(t) această ipoteză e ușor de interpretat:<br>formula 30pentru u≠0, integrala se anulează din cauza "totalei" neregularități a fazelor φ(ω); când u=0, rezultatul devine infinit când T→∞. Ipoteza de neregularitate privește fazele, dar nu și modulele H(ω). Ipoteza „luminii naturale” a lui Planck cere ca o egalitate ca (IC1
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
infinit când T→∞. Ipoteza de neregularitate privește fazele, dar nu și modulele H(ω). Ipoteza „luminii naturale” a lui Planck cere ca o egalitate ca (IC1) să fie satisfăcută nu numai în medie, ci de fiecare frecvență în parte. Inversând integralele în expresia de mai sus (2.3) pentru E(t), putem scrie:<br>formula 31Max Planck argumentează că funcția I(ω,t) poate fi determinată cu ajutorul unui oscilator „analizator” a cărui energie, grație unui coeficient de amortizare judicios ales, poate urmări
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
lui pe intervalul (-T,T) deducem că <br>formula 33De aici deducem:<br>formula 34 și deci <br>formula 35 Interpretarea este similară:înmulțind Ĩ(ω,u) cu o funcție netedă oarecare de u, dependența total neregulată a fazelor de frecvență face ca integrala să se anuleze, dacă intervalul de integrare nu conține u=0. La u=0, când T->∞,|E(ω)| ->∞ astfel incât efectul este acela al unei funcții δ. Pe de altă parte, |Ē(ω)| variază lent cu ω; aceasta permite ca
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
I(ω,t). În ecuația (IC2) prezența lui E*(ω) (care nu conține variabila de integrare u) face ca produsul E*E să crească proporțional cu T, când T->∞. Dacă lipsește, variația rapidă a fazei lui E(ω) face ca integrala lui E(ω) cu orice funcție f(ω),"lent" variabilă de ω, pentru orice interval Δω:<br>formula 36 Subliniem: relațiile (IC1)-(IC3) nu sunt în nici un fel „deduse”, ci sunt numai o expresie posibilă a ideii noastre de "incoerență". Oscilatorii
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
mai lung; trebuie să folosim expresia (E) a câmpului electric și condiția de incoerență (IC2). Deoarece γ este foarte mic față de ω, integrandul are maxime foarte pronunțate la ω și -ω și numai valorile numărătorului împrejurul acestor puncte contribuie la integrale. Este avantajoasă o integrare prin părți: E(t)dx(t)=d(x(t)E(t))-x(t)dE(t); un calcul condus cu acuratețe și folosind integralele date în Apendice arată că contribuțiile termenilor conținând pe sin ωt și cos
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
la ω și -ω și numai valorile numărătorului împrejurul acestor puncte contribuie la integrale. Este avantajoasă o integrare prin părți: E(t)dx(t)=d(x(t)E(t))-x(t)dE(t); un calcul condus cu acuratețe și folosind integralele date în Apendice arată că contribuțiile termenilor conținând pe sin ωt și cos ωt se anulează Ultimul termen duce la o integrală independentă de timp care (vezi Apendicele) se dovedește a fi: <br>formula 47 Urmărind cartea lui Max Planck, descriem
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
dx(t)=d(x(t)E(t))-x(t)dE(t); un calcul condus cu acuratețe și folosind integralele date în Apendice arată că contribuțiile termenilor conținând pe sin ωt și cos ωt se anulează Ultimul termen duce la o integrală independentă de timp care (vezi Apendicele) se dovedește a fi: <br>formula 47 Urmărind cartea lui Max Planck, descriem acum mișcarea oscilatorului în mod mai detaliat pentru intervale de timp mici; arătăm că energia absorbită oscilează considerabil împrejurul valorii ei medii
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
formula 60unde am folosit faptul ca U este energia de echilibru, și am presupus că radiația externa I(ν) este nepertubată. Pentru integrandul din dS scriem o dezvoltare în serie analogă, împrejurul lui U:<br>formula 61<br>formula 62 Evaluăm în dS integrala după dΩ și, folosind (7.2),(7.6) obținem pentru variația totală de entropie în timpul dt:<br>formula 63<br>formula 64 unde am folosit :<br>formula 65Această variație poate fi numai pozitivă; cum ΔU are un semn arbitrar, deducem că S(U
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
Implicit ea apare în discuția difuziei undelor electromagnetice la trecerea prin medii materiale . Un tratament cuprinzător, cu un interes însă diferit de acela al lucrărilor lui Planck, se gaseste in ultimul capitol al manualului „standard” al lui J.D.Jackson. Următoarele integrale sunt utile:<br>formula 72<br>formula 73 Dacă F(ω) este peste tot diferențiabilă, F(-ω)=F*(ω) și astfel ca integrala să fie convergentă:<br>formula 74
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
de acela al lucrărilor lui Planck, se gaseste in ultimul capitol al manualului „standard” al lui J.D.Jackson. Următoarele integrale sunt utile:<br>formula 72<br>formula 73 Dacă F(ω) este peste tot diferențiabilă, F(-ω)=F*(ω) și astfel ca integrala să fie convergentă:<br>formula 74
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
se poate aplica vectorilor, în analiză se poate aplica seriilor infinite sau integrării produselor, iar în teoria probabilităților se poate aplica varianțelor și covarianțelor. Inegalitatea pentru sume a fost publicată de Augustin Louis Cauchy în 1821 iar inegalitatea corespunzătoare pentru integrale a fost formulată inițial de Viktor Iakovlevici Buniakovski în 1859 și a fost redescoperită de Hermann Schwarz (de multe ori scris greșit "Schwartz") în anul (1888). Pentru toți vectorii "x" și "y" ai unui spațiu cu produs scalar real sau
Inegalitatea Cauchy-Schwarz () [Corola-website/Science/309753_a_311082]