481 matches
-
mai sus prin intermediul transformatei Fourier inverse discrete, rezultând: Polinomul formula 95 este un polinom simetric elementar, care în acest caz este egal cuformula 96 pentru ecuația(1) și zero pentru ecuația(2), deci avem nevoie doar să caut valorile pentru celelalte două. Polinoamele formula 97 și formula 98 nu sunt simetrice, de unde rezultă că formula 95 este invariant, în timp ce permutarea ciclică netrivială a rădăcinilor înlocuiește formula 97 cu formula 101 și formula 98 cu formula 103, sau formula 97 cu formula 105 și formula 98 cu formula 107 (după cum alegem permutarea), în timp ce transpoziția dintre
Funcție algebrică de gradul al treilea () [Corola-website/Science/322080_a_323409]
-
formula 118 sunt lăsate invariante de transpoziția dintre formula 108 și formula 109. La fel cum grupul permutărilor formula 121 al rădăcinilor este generat de aceste permutări, rezultă că formula 118 și formula 115 sunt funcții polinomiale simetrice ale rădăcinilor, și astfel pot fi scrise ca polinoame de the funcțiile simetrice elementare și, astfel, ca funcție rațională a coeficienților de ecuației. Fie formula 124 și formula 125 aceste expresii, care vor fi calculate în continuare. Știm deja că formula 113 și formula 114 sunt cele două rădăcini ale ecuației de gradul
Funcție algebrică de gradul al treilea () [Corola-website/Science/322080_a_323409]
-
formula 113 și formula 114 sunt cele două rădăcini ale ecuației de gradul 2 Astfel, rezolvarea ecuației poate fi continuată la fel ca în metoda lui Cardano, cu formula 97 și formula 98 în locul lui formula 59 și formula 60. Notând cu formula 133, formula 134 și formula 135, polinoamele elementare simetrice, avem, știind că formula 116: Expresia pentru formula 114 este aceeași cu formula 139 și formula 140 schimbate între ele. Astfel, utilizând faptul că formula 141 obținem: și printr-un calcul simplu obținem că Similar, avem: Atunci, rezolvând ecuația (1) avem: În ecuația
Funcție algebrică de gradul al treilea () [Corola-website/Science/322080_a_323409]
-
O mașină diferențială este un calculator automatic, mecanic, proiectat pentru tabelarea funcțiilor polinomiale. Atât funcțiile logaritmice cât și cele trigonometrice pot fi aproximate cu polinoame, deci o mașină diferențială poate calcula mai multe seturi de numere utile. J. H. Müller, un inginer din armata hessiană, a avut ideea într-o carte publicată în 1786, dar nu a găsit finanțare pentru proiect. În 1822, Charles Babbage
Mașină diferențială () [Corola-website/Science/322260_a_323589]
-
produce noua valoare a coloanei "n". Coloana "N" poate doar să stocheze o constantă, coloana 1 afișează (și eventual tipărește) valoarea calculului de la iterația curentă. Mașina se programează prin setarea valorilor inițiale ale coloanelor. Coloana 1 se setează la valoarea polinomului la începutul calculelor. Coloana 2 se setează la valoarea obținută din prima și a doua derivată a polinomului la aceeași valoare a lui "X". Fiecare dintre coloanele de la 3 la "N" se setează la o valoare calculată din primele formula 1
Mașină diferențială () [Corola-website/Science/322260_a_323589]
-
eventual tipărește) valoarea calculului de la iterația curentă. Mașina se programează prin setarea valorilor inițiale ale coloanelor. Coloana 1 se setează la valoarea polinomului la începutul calculelor. Coloana 2 se setează la valoarea obținută din prima și a doua derivată a polinomului la aceeași valoare a lui "X". Fiecare dintre coloanele de la 3 la "N" se setează la o valoare calculată din primele formula 1 derivate ale polinomului. În proiectul lui Babbage, o iterație, adică un set complet de operații de adunare și
Mașină diferențială () [Corola-website/Science/322260_a_323589]
-
calculelor. Coloana 2 se setează la valoarea obținută din prima și a doua derivată a polinomului la aceeași valoare a lui "X". Fiecare dintre coloanele de la 3 la "N" se setează la o valoare calculată din primele formula 1 derivate ale polinomului. În proiectul lui Babbage, o iterație, adică un set complet de operații de adunare și propagare a transportului are loc o dată la fiecare patru rotații de manivelă. Coloanele pare și impare efectuează alternativ câte o adunare într-un ciclu. Șirul
Mașină diferențială () [Corola-website/Science/322260_a_323589]
-
număr negativ reprezentat astfel. Aceasta funcționează exact la fel cu operațiile de scădere efectuate de calculatoarele moderne, care reprezintă numerele negative în complement față de doi. Principiul mașinii diferențiale este metoda diferențelor divizate a lui Newton. Dacă valoarea inițială a unui polinom (și a diferențelor sale finite) se calculează în vreun fel dintr-o valoare a lui "X", mașina diferențială poate calcula atunci oricâte valori apropiate, cu ajutorul acestei metode a diferențelor divizate. Se poate ilustra aceasta printr-un exemplu. Fie polinomul de
Mașină diferențială () [Corola-website/Science/322260_a_323589]
-
unui polinom (și a diferențelor sale finite) se calculează în vreun fel dintr-o valoare a lui "X", mașina diferențială poate calcula atunci oricâte valori apropiate, cu ajutorul acestei metode a diferențelor divizate. Se poate ilustra aceasta printr-un exemplu. Fie polinomul de gradul al doilea formula 5 pentru care se dorește tabelarea valorilor "p"(0), "p"(1), "p"(2), "p"(3), "p"(4) etc. Tabelul de mai jos se construiește după cum urmează: a doua coloană conține valorile polinomului, a treia coloană conține
Mașină diferențială () [Corola-website/Science/322260_a_323589]
-
printr-un exemplu. Fie polinomul de gradul al doilea formula 5 pentru care se dorește tabelarea valorilor "p"(0), "p"(1), "p"(2), "p"(3), "p"(4) etc. Tabelul de mai jos se construiește după cum urmează: a doua coloană conține valorile polinomului, a treia coloană conține diferențele dintre cei doi vecini din a doua coloană, iar a patra coloană conține diferențele dintre cei doi vecini ai săi din a treia coloană: Se observă că valorile de pe a patra coloană sunt constante. Aceasta
Mașină diferențială () [Corola-website/Science/322260_a_323589]
-
doi vecini ai săi din a treia coloană: Se observă că valorile de pe a patra coloană sunt constante. Aceasta nu este doar o coincidență, ci este o proprietate fundamentală ce stă la baza funcționării metodei. Dacă se începe cu orice polinom de grad "n", numărul de pe coloana "n" + 1 va fi întotdeauna constant, deoarece acea coloană reprezintă chiar derivata a "n"-a a funcției polinomiale de gradul "n", care este întotdeauna o constantă. Tabelul de mai sus s-a construit de la
Mașină diferențială () [Corola-website/Science/322260_a_323589]
-
a "n"-a a funcției polinomiale de gradul "n", care este întotdeauna o constantă. Tabelul de mai sus s-a construit de la stânga la dreapta, dar se poate continua de la dreapta la stânga pe diagonală pentru a calcula alte valori ale polinomului. Pentru a calcula "p"(5) se utilizează valorile de pe diagonala cea mai de jos. Se începe cu a valoarea constantă de pe a patra coloană, 4, și se copiază pe toată coloana. După aceea, se continuă pe a treia coloană adunând
Mașină diferențială () [Corola-website/Science/322260_a_323589]
-
de pe a patra coloană, se adaugă la valoarea 15 de pe coloana a treia și se obține 19, apoi se adună cu a doua coloană, 37, și se obține 56, which is "p"(6). Acest proces poate continua la nesfârșit. Valorile polinomului se produc fără a fi nevoie să se efectueze vreo înmulțire. O mașină diferențială are nevoie să știe doar cum să facă adunări. De la o buclă la alta, ea trebuie să stocheze 2 numere în cazul de față (ultimele elemente
Mașină diferențială () [Corola-website/Science/322260_a_323589]
-
O mașină diferențială are nevoie să știe doar cum să facă adunări. De la o buclă la alta, ea trebuie să stocheze 2 numere în cazul de față (ultimele elemente din prima și a doua coloană); dacă se dorește tabelarea unor polinoame de grad "n", este nevoie de suficient spațiu pentru stocarea a "n" numere. Mașina lui Babbage, construită în 1991, putea stoca 8 numere de de câte 31 de cifre zecimale și putea astfel tabela polinoame de gradul al 7-lea
Mașină diferențială () [Corola-website/Science/322260_a_323589]
-
dacă se dorește tabelarea unor polinoame de grad "n", este nevoie de suficient spațiu pentru stocarea a "n" numere. Mașina lui Babbage, construită în 1991, putea stoca 8 numere de de câte 31 de cifre zecimale și putea astfel tabela polinoame de gradul al 7-lea la această precizie. Valorile inițiale ale coloanelor se pot stabili calculând manual la început N valori consecutive ale funcției și apoi prin backtracking, calculând diferențele. Col formula 6 primește valoarea funcției la începutul calculelor, formula 7. Col
Mașină diferențială () [Corola-website/Science/322260_a_323589]
-
maxim constantă este ajustarea curbei. Se calculează un minim de N valori răspândite echilibrat de-a lungul intervalului pe care se efectuează calculele. Cu o tehnică de genul eliminării gaussiene, se găsește o interpolare polinomială de gradul N-1. Cu polinomul optimizat, valorile inițiale se pot calcula ca mai sus.
Mașină diferențială () [Corola-website/Science/322260_a_323589]
-
și în "De metodis fluxionum et serierum infinitarum" (scrisă în 1671, tradus și publicat ca" Metoda fluctuațiilor" în 1736 de către John Colson). Cu toate acestea, metoda lui diferă substanțial de metoda modernă de mai sus: Newton aplică metoda numai pentru polinoame. El nu calcula aproximări succesive formula 4, dar calculează o secvență de polinoame și numai la sfârșit el ajunge la o aproximare a rădăcinii" x". În cele din urmă, Newton consideră metoda ca pur algebrică și nu face nici o mențiune cu privire la
Metoda tangentei () [Corola-website/Science/329756_a_331085]
-
și publicat ca" Metoda fluctuațiilor" în 1736 de către John Colson). Cu toate acestea, metoda lui diferă substanțial de metoda modernă de mai sus: Newton aplică metoda numai pentru polinoame. El nu calcula aproximări succesive formula 4, dar calculează o secvență de polinoame și numai la sfârșit el ajunge la o aproximare a rădăcinii" x". În cele din urmă, Newton consideră metoda ca pur algebrică și nu face nici o mențiune cu privire la calculul numeric. Metoda lui Isaac Newton poate fi derivată de la o metodă
Metoda tangentei () [Corola-website/Science/329756_a_331085]
-
publicat o descriere simplificată în "Analysis aequationum universalis". Raphson prezenta metoda lui Newton ca o metodă pur algebrică și limita utilizarea sa la funcții polinomiale, dar el descrie metoda în termeni de aproximări succesive"x" în loc de mai complicata secvență de polinoame utilizate de Newton. În cele din urmă, în 1740, Thomas Simpson a descris metoda lui Newton ca o metodă iterativă pentru rezolvarea ecuațiilor generale neliniare utilizând calcul, oferind, în esență, descrierea de mai sus. În aceeași publicație, Simpson oferă, de
Metoda tangentei () [Corola-website/Science/329756_a_331085]
-
metoda lui Newton poate fi folosit pentru rezolvarea problemelor de optimizare prin setarea gradient de la zero. Arthur Cayley în 1879, în" Problema imaginar Newton-Fourier" a fost primul care a observat dificultăți în generalizarea metodei lui Newton la rădăcinile complexe de polinoame cu un grad mai mare de 2 și valorile inițiale complexe. Acest lucru a deschis calea pentru studiul teoriei iterațiilor funcțiilor raționale. Să presupunem că "ƒ" : ["a", "b"] → R este o funcție derivabilă definită pe intervalul ["a", "b"] cu valori
Metoda tangentei () [Corola-website/Science/329756_a_331085]
-
Fie un set de "k" + 1 puncte de date, diferite între ele: este combinația liniară de polinoame Lagrange de bază Deși numit după Joseph Louis Lagrange în 1795, a fost descoperit pentru prima data în 1779 de către Edward Waring și a fost publicat în 1783 de Leonhard Euler. Având în vedere ipoteza inițială că formula 4 sunt diferite
Polinomul de interpolare Lagrange () [Corola-website/Science/329830_a_331159]
-
a fost descoperit pentru prima data în 1779 de către Edward Waring și a fost publicat în 1783 de Leonhard Euler. Având în vedere ipoteza inițială că formula 4 sunt diferite între ele, această expresie este întotdeauna bine-definită. Se verifică imediat că polinomul interpolează corect funcția, adică: formula 5=formula 6, pentru orice i=1..n. Să găsim o formulă de interpolare pentru funcția "f"("x") = tan("x") dată de următoarele seturi de valori: Polinoamele de bază sunt: Deci polinomul de interpolare este: Să interpolăm
Polinomul de interpolare Lagrange () [Corola-website/Science/329830_a_331159]
-
ele, această expresie este întotdeauna bine-definită. Se verifică imediat că polinomul interpolează corect funcția, adică: formula 5=formula 6, pentru orice i=1..n. Să găsim o formulă de interpolare pentru funcția "f"("x") = tan("x") dată de următoarele seturi de valori: Polinoamele de bază sunt: Deci polinomul de interpolare este: Să interpolăm funcția "f"("x") = "x" pe domeniul 1 ? "x" ? 3, prin următoarele 3 puncte: Polinomul este: Să interpolăm funcția "f"("x") = "x" pe domeniul 1 < "x" < 3, prin punctele: Polinomul este
Polinomul de interpolare Lagrange () [Corola-website/Science/329830_a_331159]
-
bine-definită. Se verifică imediat că polinomul interpolează corect funcția, adică: formula 5=formula 6, pentru orice i=1..n. Să găsim o formulă de interpolare pentru funcția "f"("x") = tan("x") dată de următoarele seturi de valori: Polinoamele de bază sunt: Deci polinomul de interpolare este: Să interpolăm funcția "f"("x") = "x" pe domeniul 1 ? "x" ? 3, prin următoarele 3 puncte: Polinomul este: Să interpolăm funcția "f"("x") = "x" pe domeniul 1 < "x" < 3, prin punctele: Polinomul este: Forma Lagrange de interpolare polinomului
Polinomul de interpolare Lagrange () [Corola-website/Science/329830_a_331159]
-
o formulă de interpolare pentru funcția "f"("x") = tan("x") dată de următoarele seturi de valori: Polinoamele de bază sunt: Deci polinomul de interpolare este: Să interpolăm funcția "f"("x") = "x" pe domeniul 1 ? "x" ? 3, prin următoarele 3 puncte: Polinomul este: Să interpolăm funcția "f"("x") = "x" pe domeniul 1 < "x" < 3, prin punctele: Polinomul este: Forma Lagrange de interpolare polinomului arată caracterul liniar al polinomului de interpolare și unicitatea acestui polinom. De aceea, este de preferat în probe și
Polinomul de interpolare Lagrange () [Corola-website/Science/329830_a_331159]