6,831 matches
-
Dar aveți grijă! Grupați altfel termenii seriei: 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... este același lucru ca și 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ..., șir a cărui sumă este, în mod evident, 1. Aceeași sumă infinită de zerouri poate fi egală cu 0 sau cu 1, în același timp. Un preot italian, părintele Guido Grandi, a folosit această serie chiar și pentru a demonstra că Dumnezeu a putut crea universul (1) din nimic (0). De fapt
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
încât, prin adunarea termenilor, să se obțină orice alt număr. Pentru ca suma să fie egală cu 5, începeți cu 5 și -5 în loc de 1 și -1, și vă putem demonstra că 0 + 0 + 0 + 0 + ... face 5. Adunarea unui șir infinit de termeni ne poate conduce la rezultate ciudate și contradictorii. Uneori, când termenii tind spre zero, suma este finită - un număr drăguț și normal, precum 2 sau 53. În alte cazuri, suma este infinită. Iar o sumă infinită de zerouri
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
0 + ... face 5. Adunarea unui șir infinit de termeni ne poate conduce la rezultate ciudate și contradictorii. Uneori, când termenii tind spre zero, suma este finită - un număr drăguț și normal, precum 2 sau 53. În alte cazuri, suma este infinită. Iar o sumă infinită de zerouri poate fi egală cu orice - și cu totul, în același timp. Ceva foarte straniu avea loc; nimeni nu știa exact cum să se poarte cu infinitul. Din fericire, fizica avea mai multă logică decât
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
unui șir infinit de termeni ne poate conduce la rezultate ciudate și contradictorii. Uneori, când termenii tind spre zero, suma este finită - un număr drăguț și normal, precum 2 sau 53. În alte cazuri, suma este infinită. Iar o sumă infinită de zerouri poate fi egală cu orice - și cu totul, în același timp. Ceva foarte straniu avea loc; nimeni nu știa exact cum să se poarte cu infinitul. Din fericire, fizica avea mai multă logică decât matematica. Adunarea termenilor unui
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
zerouri poate fi egală cu orice - și cu totul, în același timp. Ceva foarte straniu avea loc; nimeni nu știa exact cum să se poarte cu infinitul. Din fericire, fizica avea mai multă logică decât matematica. Adunarea termenilor unui șir infinit pare să fie exprimabilă în cifre, atâta vreme cât vorbim de ceva din viața reală, cum ar fi aflarea volumului unui butoi de vin. Iar 1612 a fost un an extraordinar pentru vin. Johannes Kepler - omul care și-a dat seama că
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
privind în butoaie de vin, deoarece aflase că metodele folosite de podgoreni și dogari pentru a le estima mărimea erau extrem de primitive. Pentru a-i ajuta pe negustorii de vinuri, Kepler a spart butoaiele - în mintea lui - într-un număr infinit de bucăți infinit de mici și apoi le-a reasamblat pentru a le afla volumele. Aceasta poate părea o metodă exact inversă de a măsura butoaie, însă ideea a fost genială. Pentru a simplifica puțin problema, haideți să luăm un
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
în trei dimensiuni, tăind butoaiele în felii de grosime practic nulă și adunându-le apoi ariile. Cel puțin lui Kepler nu-i era teamă de o problemă evidentă: deoarece Dx tindea spre zero, suma devenea echivalentă cu adunarea unui număr infinit de zerouri - un rezultat care nu are nici o logică. Kepler nu a dat importanță acestei probleme; deși adunarea unui număr infinit de zerouri era absurdă din punctul de vedere al unui om cu minte rațională, rezultatul era cel corect. Kepler
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
-i era teamă de o problemă evidentă: deoarece Dx tindea spre zero, suma devenea echivalentă cu adunarea unui număr infinit de zerouri - un rezultat care nu are nici o logică. Kepler nu a dat importanță acestei probleme; deși adunarea unui număr infinit de zerouri era absurdă din punctul de vedere al unui om cu minte rațională, rezultatul era cel corect. Kepler nu a fost singurul om de știință important care a tăiat obiectele în felii infinit de mici. Și Galileo a meditat
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
infinit de mici. Și Galileo a meditat asupra infinității și a acestor arii infinit de mici. Aceste două idei depășesc înțelegerea noastră finită, scria el, „prima din motive de mărime, cealaltă din cauză de micime“. Însă în ciuda profundului mister al infinitelor zerouri, Galileo le-a intuit puterea. „Imaginați vă ce pot deveni când sunt combinate“, spunea el. Învățăcelul lui Galileo, Bonaventura Cavalieri, avea să ne dea o parte din răspuns. În loc de butoaie, Cavalieri a secționat obiecte geometrice. Pentru el, fiecare arie
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
pot deveni când sunt combinate“, spunea el. Învățăcelul lui Galileo, Bonaventura Cavalieri, avea să ne dea o parte din răspuns. În loc de butoaie, Cavalieri a secționat obiecte geometrice. Pentru el, fiecare arie, precum cea a triunghiului, era compusă dintr-un număr infinit de linii de lățime nulă, iar fiecare volum, dintr un număr infinit de planuri de înălțime nulă. Aceste linii și planuri indivizibile sunt ca atomii unei arii, respectiv unui volum; nu mai pot fi divizate. Așa cum Kepler măsura volumele butoaielor
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
avea să ne dea o parte din răspuns. În loc de butoaie, Cavalieri a secționat obiecte geometrice. Pentru el, fiecare arie, precum cea a triunghiului, era compusă dintr-un număr infinit de linii de lățime nulă, iar fiecare volum, dintr un număr infinit de planuri de înălțime nulă. Aceste linii și planuri indivizibile sunt ca atomii unei arii, respectiv unui volum; nu mai pot fi divizate. Așa cum Kepler măsura volumele butoaielor cu ajutorul feliilor minuscule, Cavalieri aduna un număr infinit de astfel de zerouri
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
volum, dintr un număr infinit de planuri de înălțime nulă. Aceste linii și planuri indivizibile sunt ca atomii unei arii, respectiv unui volum; nu mai pot fi divizate. Așa cum Kepler măsura volumele butoaielor cu ajutorul feliilor minuscule, Cavalieri aduna un număr infinit de astfel de zerouri indivizibile pentru a afla care este aria sau volumul unui obiect geometric. Pentru geometri, problema pusă de Cavalieri era într-adevăr dificilă; din adunarea unui număr infinit de linii cu aria zero nu poate rezulta un
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
volumele butoaielor cu ajutorul feliilor minuscule, Cavalieri aduna un număr infinit de astfel de zerouri indivizibile pentru a afla care este aria sau volumul unui obiect geometric. Pentru geometri, problema pusă de Cavalieri era într-adevăr dificilă; din adunarea unui număr infinit de linii cu aria zero nu poate rezulta un triunghi bidimensional, așa cum nici din alipirea unui număr infinit de planuri cu volumul zero nu poate rezulta o structură tridimensională. Era aceeași problemă: șirul infinit de zerouri nu are nici un sens
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
care este aria sau volumul unui obiect geometric. Pentru geometri, problema pusă de Cavalieri era într-adevăr dificilă; din adunarea unui număr infinit de linii cu aria zero nu poate rezulta un triunghi bidimensional, așa cum nici din alipirea unui număr infinit de planuri cu volumul zero nu poate rezulta o structură tridimensională. Era aceeași problemă: șirul infinit de zerouri nu are nici un sens logic. Cu toate acestea, metoda lui Cavalieri a condus întotdeauna la răspunsul corect. Matematicienii au ignorat dificultățile de
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
adevăr dificilă; din adunarea unui număr infinit de linii cu aria zero nu poate rezulta un triunghi bidimensional, așa cum nici din alipirea unui număr infinit de planuri cu volumul zero nu poate rezulta o structură tridimensională. Era aceeași problemă: șirul infinit de zerouri nu are nici un sens logic. Cu toate acestea, metoda lui Cavalieri a condus întotdeauna la răspunsul corect. Matematicienii au ignorat dificultățile de ordin logic și filozofic provocate de adunarea unui număr infinit de zerouri - mai ales datorită faptului
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
structură tridimensională. Era aceeași problemă: șirul infinit de zerouri nu are nici un sens logic. Cu toate acestea, metoda lui Cavalieri a condus întotdeauna la răspunsul corect. Matematicienii au ignorat dificultățile de ordin logic și filozofic provocate de adunarea unui număr infinit de zerouri - mai ales datorită faptului că liniile și planurile indivizibile sau infinitezimale, cum au fost numite, au soluționat în cele din urmă o veche enigmă: problema tangentei. Tangenta este o linie care doar atinge o curbă. Pentru orice punct
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
Are coeficientul unghiular al tangentei vreun sens? De fiecare dată când au încercat să lucreze cu infinitul sau cu zero, matematicienii au obținut rezultate ilogice. Pentru a calcula volumul unui butoi sau suprafața de sub o parabolă, ei au adunat șiruri infinite de zerouri; pentru a descoperi tangenta unei curbe, l-au împărțit pe zero la el însuși. Zero și infinitatea au comis efectiv gestul de a ne fura tangentele și de a ne determina să credem că ariile au calitatea de
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
fost cel care a dat viață ideii de limită și care a soluționat problemele pe care le întâmpina analiza matematică din pricina zerourilor. Haideți să revenim încă o dată la povestea lui Ahile și a broaștei țestoase, care presupune însumarea unui număr infinit de pași, ce se apropie tot mai mult de zero. Lucrul cu o sumă infinită - provenită fie din problema lui Ahile, fie din aflarea ariei de sub o curbă sau din găsirea unei forme alternative pentru o funcție matematică - i a
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
care le întâmpina analiza matematică din pricina zerourilor. Haideți să revenim încă o dată la povestea lui Ahile și a broaștei țestoase, care presupune însumarea unui număr infinit de pași, ce se apropie tot mai mult de zero. Lucrul cu o sumă infinită - provenită fie din problema lui Ahile, fie din aflarea ariei de sub o curbă sau din găsirea unei forme alternative pentru o funcție matematică - i a făcut pe matematicieni să ajungă la rezultate contradictorii. D’Alembert a înțeles că problema lui
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
mai aproape de marcaj decât vreți voi. Asta demonstrează că, într-adevăr, pe măsură ce avansează, Ahile ajunge la o distanță nedeterminat de mică de marcajul de la doi metri: cei doi metri reprezentând limita cursei. Acum, în loc să gândim cursa ca pe o sumă infinită de etape, haideți să o judecăm ca fiind limita unui număr finit de subcurse. De exemplu, în prima cursă Ahile aleargă către marcajul de la un metru. Ahile a alergat: 1 În total, 1 metru. În cursa a doua, el repetă
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
este finită și bine definită; nu ne întâlnim cu nici o infinitate. Ceea ce d’Alembert a făcut în mod neoficial - și ceea ce vor oficializa mai târziu francezul Augustin Cauchy, cehul Bernhard Bolzano și germanul Karl Weierstrass - a fost să rescrie suma infinită 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2n + ... sub forma expresiei: limită (deoarece n tinde la ∞) de 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2n Este o schimbare foarte subtilă a notației, dar ea face diferența. Când într-
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
într-o expresie apare infinitul, sau când împarți la zero, toate operațiile matematice - chiar și cele ușoare, precum adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea - o iau razna. Nimic nu mai are logică. Așa că, atunci când ai de-a face cu un număr infinit de termeni ai unei serii, chiar și semnul + pare înșelător. Acesta este motivul pentru care suma infinită de +1 și -1 de la începutul capitolului dă impresia că ar fi egală cu 0 și cu 1 în același timp. Dar, punând
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
precum adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea - o iau razna. Nimic nu mai are logică. Așa că, atunci când ai de-a face cu un număr infinit de termeni ai unei serii, chiar și semnul + pare înșelător. Acesta este motivul pentru care suma infinită de +1 și -1 de la începutul capitolului dă impresia că ar fi egală cu 0 și cu 1 în același timp. Dar, punând simbolul limitei în fața unei serii, faceți o distincție între procesul în sine și finalitatea lui. În acest
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
la pătrat; puteți face tot ce doriți. Regulile matematicii continuă să funcționeze, deoarece totul este finit. Apoi, după ce efectuați toate operațiile, luați în considerare limita: extrapolați și aflați unde se termină expresia. Uneori, nu există nici o limită. De exemplu, suma infinită a lui +1 și -1 nu are limită. Valoarea sumelor parțiale este egală, alternativ, ba cu 1, ba cu 0; nu se îndreaptă către nici o destinație previzibilă. Dar în cazul cursei lui Ahile, sumele parțiale variază de la 1, la 1
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
solidă - și așază analiza matematică pe o temelie la fel de solidă. Nu mai era nevoie de împărțirea la zero. Misticismul dispăruse de pe tărâmul matematicii, iar logica revenise la putere. Pacea a durat până în perioada Revoluției franceze. CAPITOLUL 6 Geamănul infinității [NATURA INFINITĂ A LUI ZERO] Dumnezeu a creat numerele întregi; toate celelalte sunt creații ale omului. LEOPOLD KRONECKER Zero și infinitatea au semănat dintotdeauna suspect de mult. Înmulțiți zero cu orice și rezultatul este zero. Înmulțiți infinitatea cu orice și rezultatul este
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]