5,902 matches
-
este una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria euclidiană, constituind o relație între cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic. afirmă că în orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei (latura opusă unghiului drept). Teorema poate fi scrisă sub forma unei relații între cele trei laturi "a", "b" și "c", câteodată denumită
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
constituind o relație între cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic. afirmă că în orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei (latura opusă unghiului drept). Teorema poate fi scrisă sub forma unei relații între cele trei laturi "a", "b" și "c", câteodată denumită "relația lui Pitagora": unde "c" reprezintă lungimea ipotenuzei, iar "a" și "b" lungimile celorlalte două laturi ale triunghiului. Deși este în discuție faptul că teorema putea fi cunoscută dinaintea lui, aceasta a fost totuși
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
cu pătratul ipotenuzei (latura opusă unghiului drept). Teorema poate fi scrisă sub forma unei relații între cele trei laturi "a", "b" și "c", câteodată denumită "relația lui Pitagora": unde "c" reprezintă lungimea ipotenuzei, iar "a" și "b" lungimile celorlalte două laturi ale triunghiului. Deși este în discuție faptul că teorema putea fi cunoscută dinaintea lui, aceasta a fost totuși denumită după matematicianul din Grecia Antică, Pitagora ( 570 - 495 î.Hr.) din moment ce el este cel care, în mod tradițional, a fost recunoscut pentru
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
că a fost cunoscută de mai multe civilizații de-a lungul timpului: indienii antici, asiro-babilonienii, egiptenii antici, chinezii antici și alții. Acest subiect poate fi împărțit în trei: cunoașterea tripletelor pitagoreice (seturi de câte trei numere întregi care reprezintă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic), cunoașterea teoremei propriu-zise și cunoașterea unor demonstrații. Tripletele pitagoreice sunt cunoscute de foarte mult timp, ele fiind folosite pentru construirea unui unghi drept în condiții practice: o sfoară este marcată cu noduri aflate la anumite distanțe; formând
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
cunoașterea unor demonstrații. Tripletele pitagoreice sunt cunoscute de foarte mult timp, ele fiind folosite pentru construirea unui unghi drept în condiții practice: o sfoară este marcată cu noduri aflate la anumite distanțe; formând din ea un triunghi (de exemplu de laturi 3, 4 și 5), acel triunghi va fi dreptunghic - metoda poate fi folosită de exemplu pentru a monta vertical catargul unui vas pe mare. Monumente megalitice de acum 6000 de ani (în Egipt) sau 4500 de ani (în Insulele Britanice
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
acel triunghi va fi dreptunghic - metoda poate fi folosită de exemplu pentru a monta vertical catargul unui vas pe mare. Monumente megalitice de acum 6000 de ani (în Egipt) sau 4500 de ani (în Insulele Britanice) conțin triunghiuri dreptunghice cu laturi de lungimi numere întregi, dar aceasta nu înseamnă neapărat că cei care le-au construit cunoșteau teorema. De asemenea, scrieri vechi din Regatul Mijlociu Egiptean și din Mesopotamia menționează triplete pitagoreice. "Sulba Sutra lui Baudhayana", scrisă în secolul VIII î.Hr.
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
lui Pitagora este dedus din scrierile filozofului și matematicianului grec Proclus. Este posibil ca aceasta să fie teorema cu cele mai multe demonstrații; cartea "The Pythagorean Proposition" (în traducere directă Propoziția Pitagorică) conține 370 de demonstrații. Această demonstrație are la bază proporționalitatea laturilor a două triunghiuri asemenea, adică are în vedere faptul că raportul dintre oricare două laturi corespondente ale triunghiurilor asemenea este aceeași, indiferent de mărimea triunghiurilor. Fie "ABC" un triunghi dreptunghic, cu unghiul drept aflat în punctul "C", după cum se observă
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
să fie teorema cu cele mai multe demonstrații; cartea "The Pythagorean Proposition" (în traducere directă Propoziția Pitagorică) conține 370 de demonstrații. Această demonstrație are la bază proporționalitatea laturilor a două triunghiuri asemenea, adică are în vedere faptul că raportul dintre oricare două laturi corespondente ale triunghiurilor asemenea este aceeași, indiferent de mărimea triunghiurilor. Fie "ABC" un triunghi dreptunghic, cu unghiul drept aflat în punctul "C", după cum se observă în figură. Se desenează înălțimea în triunghi din punctul "C", astfel ca "H" să fie
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
triunghiul "CBH" este și el asemenea cu triunghiul "ABC". Demonstrația asemănării triunghiurilor recurge la postulatul triunghiului: suma unghiurilor într-un triunghi este egală cu două unghiuri drepte, dar și la postulatul paralelismului. Asemănarea triunghiurilor ne conduce la egalarea rapoartelor dintre laturile corespondente după cum urmează: Primul rezultat este cosinusul unghiurilor "θ", iar al doilea este sinusul lor. Rapoartele pot fi scrise astfel: Însumarea acestor două egalități rezultă în care, prin simplificare, dă expresia teoremei lui Pitagora: Rolul acestei demonstrații de-a lungul
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
reprezintă numărul formula 9 la pătrat, făcându-se simultan o rearanjare a jumătăților celor două dreptunghiuri (fiecare fiind format inițial din câte două triunghiuri dreptunghice, congruente cu cel inițial), se obține figura din dreapta. Suprafețele celor două pătrate mari sunt identice, întrucât laturile acestora sunt congruente. Calculând în fiecare caz suprafețele celor două pătrate, se obține: Se ajunge așadar la formula 12, ceea ce duce direct la relația din teorema studiată. Demonstrația pitagoreică, care a fost deja discutată, a fost o demonstrație prin rearanjare. Aceeași
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
rearanjării, dar și după, așadar suprafețele pătratelor negre sunt egale. Astfel, ajungem la rezultatul O a doua demonstrație prin rearanjare este reprezentată de animația din mijloc. Un pătrat mare este format din suprafața "c",din patru triunghiuri dreptunghice identice de laturi "a", "b" și "c", amplasate în jurul unui pătrat central mic. Apoi, se formează două dreptunghiuri cu laturile "a" și "b" prin mutarea triunghiurilor. Combinând pătratul mai mic cu aceste dreptunghiuri se formează două pătrate de suprafețe "a" și "b", care
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
demonstrație prin rearanjare este reprezentată de animația din mijloc. Un pătrat mare este format din suprafața "c",din patru triunghiuri dreptunghice identice de laturi "a", "b" și "c", amplasate în jurul unui pătrat central mic. Apoi, se formează două dreptunghiuri cu laturile "a" și "b" prin mutarea triunghiurilor. Combinând pătratul mai mic cu aceste dreptunghiuri se formează două pătrate de suprafețe "a" și "b", care vor avea aceeași suprafață cu pătratul mare inițial. O a treia demonstrație este reprezentată în imaginea din dreapta
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
pătratul mare inferior. Analog, acest lucru se poate face și invers. Astfel, se poate observa faptul că suprafața pătratului mare este egală cu suprafețele pătratelor mici. Teorema poate fi demonstrată algebric cu ajutorul a patru triunghiuri identice cu triunghiul dreptunghic de laturi "a", "b" și "c", aranjate în interiorul unui pătrat de latură "c", după cum se poate observa în jumătatea superioară a diagramei. Triunghiurile sunt asemenea, având aria formula 13, în timp ce pătratul mic are latura și aria . Așadar, aria pătratului mare este: Dar acesta
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
cu ipotenuza de lungime "y", latura "AC" de lungime "x" și latura "AB" de lungime "a". Dacă "x" crește cu o valoare mică "dx" prin extinderea laturii "AC" către "D", atunci "y" de asemenea crește cu "dy". Acestea formează două laturi ale unui triunghi, "CDE", care (cu "E" ales astfel încât "CE" să fie perpendicular pe ipotenuză) este un triunghi dreptunghic aproximativ asemănător cu "ABC". De aceea, rapoartele dintre laturile lor trebuie să fie la fel, adică: Asta poate fi rescris după cum
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
către "D", atunci "y" de asemenea crește cu "dy". Acestea formează două laturi ale unui triunghi, "CDE", care (cu "E" ales astfel încât "CE" să fie perpendicular pe ipotenuză) este un triunghi dreptunghic aproximativ asemănător cu "ABC". De aceea, rapoartele dintre laturile lor trebuie să fie la fel, adică: Asta poate fi rescris după cum urmează: Aceasta este o ecuație diferențială care prin rezolvare dă Iar constanta poate fi dedusă de la "x" = 0, "y" = "a" pentru a obține ecuația Această demonstrație este mai
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
a" și "b" , atunci " c" poate fi calculat astfel: Dacă sunt cunoscute lungimea ipotenuzei "c" și a uneia dintre catete ("a" sau "b"), atunci lungimea celeilalte catete se poate calcula: sau Teorema lui Pitagora oferă o relație de legătură între laturile unui triunghi dreptunghic într-un mod simplu, astfel că dacă sunt cunoscute lungimile la două dintre laturi, se poate calcula lungimea celei de a treia. Un corolar al teoremei spune că în orice triunghi dreptunghic, ipotenuza este mai mare decât
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
uneia dintre catete ("a" sau "b"), atunci lungimea celeilalte catete se poate calcula: sau Teorema lui Pitagora oferă o relație de legătură între laturile unui triunghi dreptunghic într-un mod simplu, astfel că dacă sunt cunoscute lungimile la două dintre laturi, se poate calcula lungimea celei de a treia. Un corolar al teoremei spune că în orice triunghi dreptunghic, ipotenuza este mai mare decât oricare dintre catete, dar mai mică decât suma acestora. O generalizare a teoremei pitagorice este teorema cosinusului
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
este mai mare decât oricare dintre catete, dar mai mică decât suma acestora. O generalizare a teoremei pitagorice este teorema cosinusului, care oferă posibilitatea de a calcula lungimea oricărei laturi a unui triunghi, dacă se cunosc lungimile a două dintre laturi și unghiul dintre ele. Dacă unghiul dintre ele două este un unghi drept, atunci această teoremă se reduce la relația pitagorică. Reciproca teoremei este de asemenea adevărată: Oricare ar fi trei numere pozitive a, b, c astfel încât a + b = c
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
Dacă unghiul dintre ele două este un unghi drept, atunci această teoremă se reduce la relația pitagorică. Reciproca teoremei este de asemenea adevărată: Oricare ar fi trei numere pozitive a, b, c astfel încât a + b = c , există un triunghi cu laturi de lungimi a, b, c, iar unghiul dintre laturile de lungimi a și b va fi drept. O formulare alternativă a reciprocii este: Pentru orice triunghi cu laturile "a", "b", "c", dacă atunci unghiul dintre laturile "a" și "b" are
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
atunci această teoremă se reduce la relația pitagorică. Reciproca teoremei este de asemenea adevărată: Oricare ar fi trei numere pozitive a, b, c astfel încât a + b = c , există un triunghi cu laturi de lungimi a, b, c, iar unghiul dintre laturile de lungimi a și b va fi drept. O formulare alternativă a reciprocii este: Pentru orice triunghi cu laturile "a", "b", "c", dacă atunci unghiul dintre laturile "a" și "b" are 90°. Această reciprocă de asemenea apare în lucrarea "Elemente
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
pozitive a, b, c astfel încât a + b = c , există un triunghi cu laturi de lungimi a, b, c, iar unghiul dintre laturile de lungimi a și b va fi drept. O formulare alternativă a reciprocii este: Pentru orice triunghi cu laturile "a", "b", "c", dacă atunci unghiul dintre laturile "a" și "b" are 90°. Această reciprocă de asemenea apare în lucrarea "Elemente" a lui Euclid (Cartea I, Propoziția 48): Dacă într-un triunghi pătratul unei dintre laturi este egal cu suma
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
există un triunghi cu laturi de lungimi a, b, c, iar unghiul dintre laturile de lungimi a și b va fi drept. O formulare alternativă a reciprocii este: Pentru orice triunghi cu laturile "a", "b", "c", dacă atunci unghiul dintre laturile "a" și "b" are 90°. Această reciprocă de asemenea apare în lucrarea "Elemente" a lui Euclid (Cartea I, Propoziția 48): Dacă într-un triunghi pătratul unei dintre laturi este egal cu suma pătratelor laturilor rămas ale triunghiului, atunci unghiul dintre
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
Pentru orice triunghi cu laturile "a", "b", "c", dacă atunci unghiul dintre laturile "a" și "b" are 90°. Această reciprocă de asemenea apare în lucrarea "Elemente" a lui Euclid (Cartea I, Propoziția 48): Dacă într-un triunghi pătratul unei dintre laturi este egal cu suma pătratelor laturilor rămas ale triunghiului, atunci unghiul dintre celelalte două laturi ale triunghiului este drept." Poate fi demonstrată folosindu-se teorema cosinusului după cum urmează: Fie "ABC" un triunghi cu laturile "a", "b" și "c" cu proprietatea
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
b", "c", dacă atunci unghiul dintre laturile "a" și "b" are 90°. Această reciprocă de asemenea apare în lucrarea "Elemente" a lui Euclid (Cartea I, Propoziția 48): Dacă într-un triunghi pătratul unei dintre laturi este egal cu suma pătratelor laturilor rămas ale triunghiului, atunci unghiul dintre celelalte două laturi ale triunghiului este drept." Poate fi demonstrată folosindu-se teorema cosinusului după cum urmează: Fie "ABC" un triunghi cu laturile "a", "b" și "c" cu proprietatea că Fie un al doilea triunghi
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
b" are 90°. Această reciprocă de asemenea apare în lucrarea "Elemente" a lui Euclid (Cartea I, Propoziția 48): Dacă într-un triunghi pătratul unei dintre laturi este egal cu suma pătratelor laturilor rămas ale triunghiului, atunci unghiul dintre celelalte două laturi ale triunghiului este drept." Poate fi demonstrată folosindu-se teorema cosinusului după cum urmează: Fie "ABC" un triunghi cu laturile "a", "b" și "c" cu proprietatea că Fie un al doilea triunghi de lungime "a" și "b", ce conține un unghi
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]