5,902 matches
-
într-un triunghi pătratul unei dintre laturi este egal cu suma pătratelor laturilor rămas ale triunghiului, atunci unghiul dintre celelalte două laturi ale triunghiului este drept." Poate fi demonstrată folosindu-se teorema cosinusului după cum urmează: Fie "ABC" un triunghi cu laturile "a", "b" și "c" cu proprietatea că Fie un al doilea triunghi de lungime "a" și "b", ce conține un unghi drept. Conform teoremei lui Pitagora, rezultă că ipotenuza acestui triunghi are lungimea laturii "c" = , la fel cu ipotenuza primului
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
și "c" cu proprietatea că Fie un al doilea triunghi de lungime "a" și "b", ce conține un unghi drept. Conform teoremei lui Pitagora, rezultă că ipotenuza acestui triunghi are lungimea laturii "c" = , la fel cu ipotenuza primului triunghi. Din moment ce laturile ambelor triunghiuri au aceleași lungimi "a", "b" și "c", triunghiurile sunt congruente și trebuie să aibă aceleași unghiuri. Astfel, unghiul dintre laturile de lungime "a" și "b" din triunghiul original este un unghi drept. Demonstrația reciprocii de mai sus face
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
lui Pitagora, rezultă că ipotenuza acestui triunghi are lungimea laturii "c" = , la fel cu ipotenuza primului triunghi. Din moment ce laturile ambelor triunghiuri au aceleași lungimi "a", "b" și "c", triunghiurile sunt congruente și trebuie să aibă aceleași unghiuri. Astfel, unghiul dintre laturile de lungime "a" și "b" din triunghiul original este un unghi drept. Demonstrația reciprocii de mai sus face apel însuși la teorema lui Pitagora, dar reciproca poate fi demonstrată și fără să se utilizeze această teoremă. Un corolar ce derivă
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
demonstrată și fără să se utilizeze această teoremă. Un corolar ce derivă din reciproca teoremei lui Pitagora este o metodă simplă de a determina dacă un triunghi este dreptunghic, obtuzunghic sau ascuțitunghic. Fie "c" cea mai lungă dintre cele trei laturi și (altfel nu există acest triunghi conform inegalității triunghiului). Atunci, sunt adevărate următoarele relații: Edsger Dijkstra a enunțat această propoziție despre triunghiul ascuțitunghic, obtuzunghic și dreptunghic în următorul limbaj matematic: unde "α" este unghiul opus laturii "a", "β" este unghiul
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
este unghiul opus laturii "b", "γ" este unghiul opus laturii "c", iar sgn reprezintă funcția signum. Un triplet pitagoreic (sau numere pitagoreice) conține trei numere pozitive întregi "a", "b" și "c", astfel încât Cu alte cuvinte, un triplet pitagoreic reprezintă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic astfel încât lungimile tuturor laturilor au valori numere întregi. Observații asupra monumentelor megalitice din Europa Nordică arată evidențe ale faptului că aceste triplete erau cunoscute cu mult timp înainte de descoperirea scrisului. Un triplet scris în mod obișnuit este
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
unghiul opus laturii "c", iar sgn reprezintă funcția signum. Un triplet pitagoreic (sau numere pitagoreice) conține trei numere pozitive întregi "a", "b" și "c", astfel încât Cu alte cuvinte, un triplet pitagoreic reprezintă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic astfel încât lungimile tuturor laturilor au valori numere întregi. Observații asupra monumentelor megalitice din Europa Nordică arată evidențe ale faptului că aceste triplete erau cunoscute cu mult timp înainte de descoperirea scrisului. Un triplet scris în mod obișnuit este Alte exemple bine-cunoscute sunt și Un triplet
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
sinusul și cosinusul unghiului "θ" dintre latura "a" și ipotenuză astfel: De unde se deduce că: unde ultima ecuație aplică teorema lui Pitagora. Această relație dintre sinus și cosinus este câteodată denumită identitatea trigonometrică pitagoreică fundamentală. În triunghiuri asemenea, raportul dintre laturi este același indiferent de mărimile lor, și depinde de unghiuri. Astfel, în figură, triunghiul cu ipotenuza de mărime egală cu 1 are cateta opusă de mărimea sin "θ" și cateta alăturată de mărimea cos "θ". Teorema lui Pitagora are o
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
obține: Această relație poate fi considerată ca o condiție în produsul scalar și astfel parte din definiția sa. O generalizare a teoremei lui Pitagora are la bază pătratele plasate pe un triunghi dreptunghic. Proprietățile referitoare la figurile asemenea plasate pe laturile unui triunghi erau cunoscute deja de Hipocrate din Chios din secolul V î.Hr., și a fost inclusă de Euclid în lucrarea sa, "Elementele": Dacă cineva construiește figuri asemenea pe fiecare dintre laturile corespondente laturilor unui triunghi dreptunghi, atunci suma suprafețelor
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
dreptunghic. Proprietățile referitoare la figurile asemenea plasate pe laturile unui triunghi erau cunoscute deja de Hipocrate din Chios din secolul V î.Hr., și a fost inclusă de Euclid în lucrarea sa, "Elementele": Dacă cineva construiește figuri asemenea pe fiecare dintre laturile corespondente laturilor unui triunghi dreptunghi, atunci suma suprafețelor figurilor de pe laturile mici (catete) este egală cu suprafața figurii de pe latura mare (ipotenuză). Această extindere asumă faptul că laturile triunghiului original sunt laturile corespondente ale celor trei figuri congruente (așadar raportul
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
referitoare la figurile asemenea plasate pe laturile unui triunghi erau cunoscute deja de Hipocrate din Chios din secolul V î.Hr., și a fost inclusă de Euclid în lucrarea sa, "Elementele": Dacă cineva construiește figuri asemenea pe fiecare dintre laturile corespondente laturilor unui triunghi dreptunghi, atunci suma suprafețelor figurilor de pe laturile mici (catete) este egală cu suprafața figurii de pe latura mare (ipotenuză). Această extindere asumă faptul că laturile triunghiului original sunt laturile corespondente ale celor trei figuri congruente (așadar raportul dintre laturile
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
erau cunoscute deja de Hipocrate din Chios din secolul V î.Hr., și a fost inclusă de Euclid în lucrarea sa, "Elementele": Dacă cineva construiește figuri asemenea pe fiecare dintre laturile corespondente laturilor unui triunghi dreptunghi, atunci suma suprafețelor figurilor de pe laturile mici (catete) este egală cu suprafața figurii de pe latura mare (ipotenuză). Această extindere asumă faptul că laturile triunghiului original sunt laturile corespondente ale celor trei figuri congruente (așadar raportul dintre laturile figurilor asemenea de pe triunghi este "a:b:c"). Dacă
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
în lucrarea sa, "Elementele": Dacă cineva construiește figuri asemenea pe fiecare dintre laturile corespondente laturilor unui triunghi dreptunghi, atunci suma suprafețelor figurilor de pe laturile mici (catete) este egală cu suprafața figurii de pe latura mare (ipotenuză). Această extindere asumă faptul că laturile triunghiului original sunt laturile corespondente ale celor trei figuri congruente (așadar raportul dintre laturile figurilor asemenea de pe triunghi este "a:b:c"). Dacă demonstrația lui Euclid avea aplicabilitate numai pe poligoanele convexe, teorema se aplică de asemenea și poligoanelor concave
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
Dacă cineva construiește figuri asemenea pe fiecare dintre laturile corespondente laturilor unui triunghi dreptunghi, atunci suma suprafețelor figurilor de pe laturile mici (catete) este egală cu suprafața figurii de pe latura mare (ipotenuză). Această extindere asumă faptul că laturile triunghiului original sunt laturile corespondente ale celor trei figuri congruente (așadar raportul dintre laturile figurilor asemenea de pe triunghi este "a:b:c"). Dacă demonstrația lui Euclid avea aplicabilitate numai pe poligoanele convexe, teorema se aplică de asemenea și poligoanelor concave și chiar figurilor asemenea
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
laturilor unui triunghi dreptunghi, atunci suma suprafețelor figurilor de pe laturile mici (catete) este egală cu suprafața figurii de pe latura mare (ipotenuză). Această extindere asumă faptul că laturile triunghiului original sunt laturile corespondente ale celor trei figuri congruente (așadar raportul dintre laturile figurilor asemenea de pe triunghi este "a:b:c"). Dacă demonstrația lui Euclid avea aplicabilitate numai pe poligoanele convexe, teorema se aplică de asemenea și poligoanelor concave și chiar figurilor asemenea cu margini curbe (dar care au o parte din figură
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
este "a:b:c"). Dacă demonstrația lui Euclid avea aplicabilitate numai pe poligoanele convexe, teorema se aplică de asemenea și poligoanelor concave și chiar figurilor asemenea cu margini curbe (dar care au o parte din figură legată de una dintre laturile triunghiului). Ideea de bază a acestei generalizări este aceea că suprafața unei figuri plane este proporțională cu pătratul oricărei dimensiuni liniare, și în particular este proporțională cu pătratul lungimii oricărei laturi. Astfel, dacă figurile asemenea de laturi "A", "B" și
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
au o parte din figură legată de una dintre laturile triunghiului). Ideea de bază a acestei generalizări este aceea că suprafața unei figuri plane este proporțională cu pătratul oricărei dimensiuni liniare, și în particular este proporțională cu pătratul lungimii oricărei laturi. Astfel, dacă figurile asemenea de laturi "A", "B" și "C" sunt construite cu lungimile corespunzătoare "a", "b" și "c", atunci: Dar, conform teoremei lui Pitagora, "a" + "b" = "c", așadar "A" + "B" = "C". În schimb, dacă se poate demonstra faptul că
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
de una dintre laturile triunghiului). Ideea de bază a acestei generalizări este aceea că suprafața unei figuri plane este proporțională cu pătratul oricărei dimensiuni liniare, și în particular este proporțională cu pătratul lungimii oricărei laturi. Astfel, dacă figurile asemenea de laturi "A", "B" și "C" sunt construite cu lungimile corespunzătoare "a", "b" și "c", atunci: Dar, conform teoremei lui Pitagora, "a" + "b" = "c", așadar "A" + "B" = "C". În schimb, dacă se poate demonstra faptul că este adevărată exoresia "A" + "B" = " C
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
triunghiurilor mai mici este așadar egală cu suprafața celui de-al treilea triunghi, astfel "A" + "B" = "C" și inversând logica precedentă se ajunge la expresia teoremei lui Pitagora, a + b = c. Se selectează orice unghi al unui triunghi oarecare de laturi "a, b, c", și se înscrie acesta într-un triunghi isoscel astfel încât unghiurile egale de la baza sa, notate cu θ, sunt egale cu unghiul selectat anterior. Se presupune că unghiul selectat θ se opune laturii notate cu "c". Prin înscrierea
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
opus laturii "a" și cu latura "r" ce aparține de "c". Un al doilea triunghi se formează cu unghiul θ opus laturii "b" și cu latura "s" ce aparține de "c", conform figurii. Tâbit ibn Qorra a spus că între laturile celor trei triunghiuri există următoarea relație: Pe măsură ce unghiul θ se apropie de π/2, baza triunghiului isoscel se micșorează, iar lungimile "r" și "s" se confundă tot mai mult, devenind un singur segment. Când θ = π/2, "ADB" devine un
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
triunghiuri au un unghi comun în vârful B, ambele conțin unghiul θ, așadar au același al treilea unghi conform postulatului triunghiului). Prin urmare, ABC este asemenea cu reflexia lui "ABD", adică triunghiul "DBA" din partea de jos a figurii. Considerând raportul laturilor opuse și adiacente lui θ, atunci De asemenea, pentru reflexia celuilalt triunghi, Prin calcule algebrice se ajunge la egalitatea: rezultatul căutat. Teorema rămâne validă dacă unghiul formula 51 este obtuz iar lungimile "r" și "s" nu se suprapun. Teorema lui Pitagora
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
calcule algebrice se ajunge la egalitatea: rezultatul căutat. Teorema rămâne validă dacă unghiul formula 51 este obtuz iar lungimile "r" și "s" nu se suprapun. Teorema lui Pitagora este un caz particular pentru o teorema mai generalizată care exprimă legături dintre laturile oricărui triunghi, numită teorema cosinusului sau, sugestiv, teorema lui Pitagora generalizată, care este exprimată astfel: unde θ este unghiul dintre laturile formula 7 și formula 8. Când θ este de 90 de grade, atunci cos"θ" = 0, astfel formula se reduce la
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
nu se suprapun. Teorema lui Pitagora este un caz particular pentru o teorema mai generalizată care exprimă legături dintre laturile oricărui triunghi, numită teorema cosinusului sau, sugestiv, teorema lui Pitagora generalizată, care este exprimată astfel: unde θ este unghiul dintre laturile formula 7 și formula 8. Când θ este de 90 de grade, atunci cos"θ" = 0, astfel formula se reduce la simpla relație a lui Pitagora. În stereometrie, sau geometrie spațială, teorema lui Pitagora poate fi aplicată în trei dimensiuni după cum urmează
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
stereometrie, sau geometrie spațială, teorema lui Pitagora poate fi aplicată în trei dimensiuni după cum urmează. Se consideră un solid dreptunghiular după cum se poate observa și în figură. Lungimea diagonalei "BD" se regăsește în teorema lui Pitagora astfel: unde aceste trei laturi formează un triunghi dreptunghi. Folosind diagonala orizontală "BD" și latura verticală "AB", lungimea diagonalei "AD" se găsește printr-o a doua aplicare a teoremei lui Pitagora astfel: sau, dacă se face totul odată: Acest rezultat este expresia tridimensională pentru magnitudinea
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
AD" se găsește printr-o a doua aplicare a teoremei lui Pitagora astfel: sau, dacă se face totul odată: Acest rezultat este expresia tridimensională pentru magnitudinea unui vector v (diagonala AD) referindu-se la componentele lui ortogonale {v} (cele trei laturi perpendiculare): Această formulare scurtă poate fi privită ca o generalizare a teoremei lui Pitagora pentru dimensiuni mai mari. Totuși, acest rezultat este dat doar de aplicarea repetată a teoremei originale a lui Pitagora asupra unei succesiuni de triunghiuri dreptunghice într-
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
celorlalte trei fețe. Acest rezultat poate fi generalizat într-o așa-zisă "teoremă a lui Pitagora n-dimensională": Această propoziție este ilustrată în trei dimensiuni cu ajutorul tetraedrului din figură. „Ipotenuza” este baza tetraedrului din spatele figurii, iar „catetele” sunt cele trei laturi care se întâlnesc în vârful din fața figurii. Pe măsură ce se mărește distanța dintre bază și vârf, la fel crește și suprafața „catetelor”, în timp ce cea a bazei rămâne fixă. Teorema sugerează faptul că atunci când această distanță atinge o valoare ce permite unghiuri
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]