51,082 matches
-
sofisticată folosire a metodei epuizării din antichitate și a rămas neîntrecută până la dezvoltarea calculului integral în secolul al XVII-lea, fiind urmată de . Un segmentul parabolic este regiunea delimitată de parabolă și dreapta secantă care o taie. Pentru a afla aria unui segment parabolic, Arhimede a considerat un anumit triunghi înscris. Baza acestui triunghi este dată de coarda parabolei, iar cel de al treilea vârf al triunghiului este ales în așa fel încât cele trei drepte verticale care trec prin vârfuri
Cuadratura parabolei () [Corola-website/Science/322554_a_323883]
-
acestui triunghi este dată de coarda parabolei, iar cel de al treilea vârf al triunghiului este ales în așa fel încât cele trei drepte verticale care trec prin vârfuri sunt egal depărtate și paralele cu axa parabolei. Teorema afirmă că aria segmentului parabolic este 4/3 din aria triunghiului înscris. Arhimede a dat două demonstrații ale teoremei principale. Prima demonstrație folosește mecanica abstractă, cu care Arhimede argumentează că greutatea segmentului va echilibra greutatea triunghiului când sunt așezate pe o pârghie. Cea
Cuadratura parabolei () [Corola-website/Science/322554_a_323883]
-
iar cel de al treilea vârf al triunghiului este ales în așa fel încât cele trei drepte verticale care trec prin vârfuri sunt egal depărtate și paralele cu axa parabolei. Teorema afirmă că aria segmentului parabolic este 4/3 din aria triunghiului înscris. Arhimede a dat două demonstrații ale teoremei principale. Prima demonstrație folosește mecanica abstractă, cu care Arhimede argumentează că greutatea segmentului va echilibra greutatea triunghiului când sunt așezate pe o pârghie. Cea de-a doua, faimoasă datorită folosirii geometriei
Cuadratura parabolei () [Corola-website/Science/322554_a_323883]
-
după cum se arată în figura din dreapta. Fiecare dintre aceste triunghiuri sunt înscrise în propriile lor segmente parabolice, în același mod în care triunghiul albastru a fost înscris în segmentul cel mare. În propozițiile de la optsprezece la douăzeci și unu Arhimede demonstrează că aria fiecărui triunghi verde este 1/8 din aria triunghiului albastru. Din punct de vedere al calcului modern, acest lucru este adevărat deoarece triunghiul verde are prin construcție baza egală cu jumătate din lungimea triunghiului albastru, iar înălțimea egală cu 1
Cuadratura parabolei () [Corola-website/Science/322554_a_323883]
-
aceste triunghiuri sunt înscrise în propriile lor segmente parabolice, în același mod în care triunghiul albastru a fost înscris în segmentul cel mare. În propozițiile de la optsprezece la douăzeci și unu Arhimede demonstrează că aria fiecărui triunghi verde este 1/8 din aria triunghiului albastru. Din punct de vedere al calcului modern, acest lucru este adevărat deoarece triunghiul verde are prin construcție baza egală cu jumătate din lungimea triunghiului albastru, iar înălțimea egală cu 1/4. Afirmația despre înălțime se datorează proprietăților parabolei
Cuadratura parabolei () [Corola-website/Science/322554_a_323883]
-
prin construcție baza egală cu jumătate din lungimea triunghiului albastru, iar înălțimea egală cu 1/4. Afirmația despre înălțime se datorează proprietăților parabolei și poate fi ușor dovedită folosind calculul modern al geometriei analitice. Prin extensie, fiecare triunghi galben are aria egală cu 1/8 din aria triunghiului verde, cel roșu 1/8 din cel galben și tot așa. Folosind metoda epuizării, urmează că aria totală a segmentului parabolic este dată de: Aici "T" reprezintă aria triunghiului albastru, al doilea termen
Cuadratura parabolei () [Corola-website/Science/322554_a_323883]
-
din lungimea triunghiului albastru, iar înălțimea egală cu 1/4. Afirmația despre înălțime se datorează proprietăților parabolei și poate fi ușor dovedită folosind calculul modern al geometriei analitice. Prin extensie, fiecare triunghi galben are aria egală cu 1/8 din aria triunghiului verde, cel roșu 1/8 din cel galben și tot așa. Folosind metoda epuizării, urmează că aria totală a segmentului parabolic este dată de: Aici "T" reprezintă aria triunghiului albastru, al doilea termen aria totală a celor două triunghiuri
Cuadratura parabolei () [Corola-website/Science/322554_a_323883]
-
poate fi ușor dovedită folosind calculul modern al geometriei analitice. Prin extensie, fiecare triunghi galben are aria egală cu 1/8 din aria triunghiului verde, cel roșu 1/8 din cel galben și tot așa. Folosind metoda epuizării, urmează că aria totală a segmentului parabolic este dată de: Aici "T" reprezintă aria triunghiului albastru, al doilea termen aria totală a celor două triunghiuri verzi, al treilea aria totală a triunghiurilor galbene și tot așa. Simplificând, obținem: Pentru a completa demonstrația, Arhimede
Cuadratura parabolei () [Corola-website/Science/322554_a_323883]
-
extensie, fiecare triunghi galben are aria egală cu 1/8 din aria triunghiului verde, cel roșu 1/8 din cel galben și tot așa. Folosind metoda epuizării, urmează că aria totală a segmentului parabolic este dată de: Aici "T" reprezintă aria triunghiului albastru, al doilea termen aria totală a celor două triunghiuri verzi, al treilea aria totală a triunghiurilor galbene și tot așa. Simplificând, obținem: Pentru a completa demonstrația, Arhimede a arătat că Expresia din partea stângă este o progresie geometrică cu
Cuadratura parabolei () [Corola-website/Science/322554_a_323883]
-
egală cu 1/8 din aria triunghiului verde, cel roșu 1/8 din cel galben și tot așa. Folosind metoda epuizării, urmează că aria totală a segmentului parabolic este dată de: Aici "T" reprezintă aria triunghiului albastru, al doilea termen aria totală a celor două triunghiuri verzi, al treilea aria totală a triunghiurilor galbene și tot așa. Simplificând, obținem: Pentru a completa demonstrația, Arhimede a arătat că Expresia din partea stângă este o progresie geometrică cu rația 1/4. Arhimede a evaluat
Cuadratura parabolei () [Corola-website/Science/322554_a_323883]
-
roșu 1/8 din cel galben și tot așa. Folosind metoda epuizării, urmează că aria totală a segmentului parabolic este dată de: Aici "T" reprezintă aria triunghiului albastru, al doilea termen aria totală a celor două triunghiuri verzi, al treilea aria totală a triunghiurilor galbene și tot așa. Simplificând, obținem: Pentru a completa demonstrația, Arhimede a arătat că Expresia din partea stângă este o progresie geometrică cu rația 1/4. Arhimede a evaluat suma folosind metoda geometrică, ilustrată în figura din dreapta, care
Cuadratura parabolei () [Corola-website/Science/322554_a_323883]
-
stângă este o progresie geometrică cu rația 1/4. Arhimede a evaluat suma folosind metoda geometrică, ilustrată în figura din dreapta, care arată un pătrat unitate care a fost împărțit într-o infinitate de pătrate mai mici. Fiecare pătrat mov are aria 1/4 din aria pătratului anterior, iar aria tuturor pătratelor mov fiind egală cu suma: Pătratele mov sunt congruente cu cele galbene, astfel că acoperă 1/3 din aria pătratului unitate, arătând că seria este egală cu 1/3.
Cuadratura parabolei () [Corola-website/Science/322554_a_323883]
-
geometrică cu rația 1/4. Arhimede a evaluat suma folosind metoda geometrică, ilustrată în figura din dreapta, care arată un pătrat unitate care a fost împărțit într-o infinitate de pătrate mai mici. Fiecare pătrat mov are aria 1/4 din aria pătratului anterior, iar aria tuturor pătratelor mov fiind egală cu suma: Pătratele mov sunt congruente cu cele galbene, astfel că acoperă 1/3 din aria pătratului unitate, arătând că seria este egală cu 1/3.
Cuadratura parabolei () [Corola-website/Science/322554_a_323883]
-
4. Arhimede a evaluat suma folosind metoda geometrică, ilustrată în figura din dreapta, care arată un pătrat unitate care a fost împărțit într-o infinitate de pătrate mai mici. Fiecare pătrat mov are aria 1/4 din aria pătratului anterior, iar aria tuturor pătratelor mov fiind egală cu suma: Pătratele mov sunt congruente cu cele galbene, astfel că acoperă 1/3 din aria pătratului unitate, arătând că seria este egală cu 1/3.
Cuadratura parabolei () [Corola-website/Science/322554_a_323883]
-
într-o infinitate de pătrate mai mici. Fiecare pătrat mov are aria 1/4 din aria pătratului anterior, iar aria tuturor pătratelor mov fiind egală cu suma: Pătratele mov sunt congruente cu cele galbene, astfel că acoperă 1/3 din aria pătratului unitate, arătând că seria este egală cu 1/3.
Cuadratura parabolei () [Corola-website/Science/322554_a_323883]
-
Alexandru din Aphrodisias aspura "Categoriilor" lui Aristotel, precum și alte lucrări.. Cea mai remarcabilă lucrare din cele de mai sus este "Metoda Teoremelor Mecanicii", iar manuscrisul conține singura copie cunoscută. În operele sale, Arhimede demonstrează de multe ori egalitatea a două arii sau a două volume folosind metoda epuizării a lui Eudoxus, metodă folosită în Grecia antică, similară cu metoda modernă de trecere la limită. Deoarece grecii erau conștienți că unele numere erau iraționale, notația lor pentru numere reale era cantitatea Q
Manuscrisul lui Arhimede () [Corola-website/Science/322546_a_323875]
-
secvențe se apropiau mai mult decât orice valoarea specificată anterior, atunci Q se găsea, sau "epuiza", între S și I. Arhimede a folosit de multe ori metoda epuizării pentri a-și demonstra teoremele. Acest lucru implica aproximarea figurilor a căror arie trebuia calculată în secțiuni a căror arie era cunoscută, furnizând astfel limita superioară și inferioară a figurii. Astfel el dovedea că cele două limite deveneau egale când subdiviziunile deveneau arbitrar de mici. Aceste dovezi, considerate încă riguroase și corecte, rareori
Manuscrisul lui Arhimede () [Corola-website/Science/322546_a_323875]
-
valoarea specificată anterior, atunci Q se găsea, sau "epuiza", între S și I. Arhimede a folosit de multe ori metoda epuizării pentri a-și demonstra teoremele. Acest lucru implica aproximarea figurilor a căror arie trebuia calculată în secțiuni a căror arie era cunoscută, furnizând astfel limita superioară și inferioară a figurii. Astfel el dovedea că cele două limite deveneau egale când subdiviziunile deveneau arbitrar de mici. Aceste dovezi, considerate încă riguroase și corecte, rareori foloseau geometria cu rezultate precise. Mai târziu
Manuscrisul lui Arhimede () [Corola-website/Science/322546_a_323875]
-
pentru că nu a explicat cum a ajuns la aceste rezultate. Aceste explicații sunt conținute în lucrarea "Metoda Teoremelor Mecanicii". Metoda pe care o descrie Arhimede se baza pe investigațiile lui din fizică în ceea ce privește centrul maselor și legea pârghiilor. El compara aria sau volumul unei figuri, căreia îi cunoștea masa și centrul de greutate, cu aria sau volumul unei figuri despre care nu știa nimic. Împărțea cele două figuri în foarte multe părți mici, apoi cântărea pe o pârghie fiecare parte a
Manuscrisul lui Arhimede () [Corola-website/Science/322546_a_323875]
-
în lucrarea "Metoda Teoremelor Mecanicii". Metoda pe care o descrie Arhimede se baza pe investigațiile lui din fizică în ceea ce privește centrul maselor și legea pârghiilor. El compara aria sau volumul unei figuri, căreia îi cunoștea masa și centrul de greutate, cu aria sau volumul unei figuri despre care nu știa nimic. Împărțea cele două figuri în foarte multe părți mici, apoi cântărea pe o pârghie fiecare parte a unei figuri cu cea corespunzătoare celei de a doua. Punctul esențial este acela că
Manuscrisul lui Arhimede () [Corola-website/Science/322546_a_323875]
-
al 17-lea de Isaac Newton și Gottfried Leibniz. Printre problemele pe care Arhimede le-a rezolvat a fost cea a calculului centrului de greutate al unei emisfere solide, centrul de greutate al unui trunchi al unui paraboloid circular și aria unei zone a parabolei limitată de parabolă și o dreaptă secantă a ei (vezi tratatul Metoda Teoremelor Mecanicii). Când a demonstrat riguros teoremele Arhimede a folosit ceea ce azi numim suma lui Riemman. În tratatul Despre Sferă și Cilindru el a
Manuscrisul lui Arhimede () [Corola-website/Science/322546_a_323875]
-
a demonstrat riguros teoremele Arhimede a folosit ceea ce azi numim suma lui Riemman. În tratatul Despre Sferă și Cilindru el a dat limita superioară și inferioară pentru suprafața sferei prin tăierea sferei în secțiuni de lungimi egale. Asfel a limitat aria fiecărei secțiuni prin aria unui con înscris și unul circumscris, dovedind că au arie mai mică și respectiv mai mare. Apoi a făcut suma ariile conurilor, care sunt sume de tip Riemman pentru zona din sferă considerată ca suprafață de
Manuscrisul lui Arhimede () [Corola-website/Science/322546_a_323875]
-
Arhimede a folosit ceea ce azi numim suma lui Riemman. În tratatul Despre Sferă și Cilindru el a dat limita superioară și inferioară pentru suprafața sferei prin tăierea sferei în secțiuni de lungimi egale. Asfel a limitat aria fiecărei secțiuni prin aria unui con înscris și unul circumscris, dovedind că au arie mai mică și respectiv mai mare. Apoi a făcut suma ariile conurilor, care sunt sume de tip Riemman pentru zona din sferă considerată ca suprafață de revoluție. Există două diferențe
Manuscrisul lui Arhimede () [Corola-website/Science/322546_a_323875]
-
tratatul Despre Sferă și Cilindru el a dat limita superioară și inferioară pentru suprafața sferei prin tăierea sferei în secțiuni de lungimi egale. Asfel a limitat aria fiecărei secțiuni prin aria unui con înscris și unul circumscris, dovedind că au arie mai mică și respectiv mai mare. Apoi a făcut suma ariile conurilor, care sunt sume de tip Riemman pentru zona din sferă considerată ca suprafață de revoluție. Există două diferențe esențiale între metoda folosită de Arhimede și ce din secolul
Manuscrisul lui Arhimede () [Corola-website/Science/322546_a_323875]
-
inferioară pentru suprafața sferei prin tăierea sferei în secțiuni de lungimi egale. Asfel a limitat aria fiecărei secțiuni prin aria unui con înscris și unul circumscris, dovedind că au arie mai mică și respectiv mai mare. Apoi a făcut suma ariile conurilor, care sunt sume de tip Riemman pentru zona din sferă considerată ca suprafață de revoluție. Există două diferențe esențiale între metoda folosită de Arhimede și ce din secolul XIX: O problemă rezolvată exclusiv în lucrarea "Metoda Teoremelor Mecanicii" este
Manuscrisul lui Arhimede () [Corola-website/Science/322546_a_323875]