67 matches
-
este o serie de puteri în care raportul coeficienților succesivi indexați prin n, este o funcție rațională de n. Seriile, dacă sunt convergente, vor defini o funcție hipergeometrică, care poate fi extinsă în afara domeniului de definiție prin prelungire analitică. Funcțiile hipergeometrice au drept cazuri particulare foarte multe funcții speciale, incluzând funcții elementare, funcția Bessel, funcția gamma incompletă, funcția eroare, integrale eliptice, polinoame ortogonale clasice, etc. Acest fenomen se datorează faptului că funcțiile hipergeometrice sunt soluții ale ecuației diferențiale hipergeometrice, care este
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
în afara domeniului de definiție prin prelungire analitică. Funcțiile hipergeometrice au drept cazuri particulare foarte multe funcții speciale, incluzând funcții elementare, funcția Bessel, funcția gamma incompletă, funcția eroare, integrale eliptice, polinoame ortogonale clasice, etc. Acest fenomen se datorează faptului că funcțiile hipergeometrice sunt soluții ale ecuației diferențiale hipergeometrice, care este o ecuație diferențială ordinară de ordinul doi. Termenul serie hipergeometrică se referă la un tip specific de serie, cunoscută sub denumirea de seria lui Gauss, dupa numele lui Carl Friedrich Gauss, cel
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
analitică. Funcțiile hipergeometrice au drept cazuri particulare foarte multe funcții speciale, incluzând funcții elementare, funcția Bessel, funcția gamma incompletă, funcția eroare, integrale eliptice, polinoame ortogonale clasice, etc. Acest fenomen se datorează faptului că funcțiile hipergeometrice sunt soluții ale ecuației diferențiale hipergeometrice, care este o ecuație diferențială ordinară de ordinul doi. Termenul serie hipergeometrică se referă la un tip specific de serie, cunoscută sub denumirea de seria lui Gauss, dupa numele lui Carl Friedrich Gauss, cel care a studiat in secolul 19
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
funcții elementare, funcția Bessel, funcția gamma incompletă, funcția eroare, integrale eliptice, polinoame ortogonale clasice, etc. Acest fenomen se datorează faptului că funcțiile hipergeometrice sunt soluții ale ecuației diferențiale hipergeometrice, care este o ecuație diferențială ordinară de ordinul doi. Termenul serie hipergeometrică se referă la un tip specific de serie, cunoscută sub denumirea de seria lui Gauss, dupa numele lui Carl Friedrich Gauss, cel care a studiat in secolul 19 aceste tipuri de funcții. O altă aplicație a seriilor hipergeometrice este inversiunea
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
Termenul serie hipergeometrică se referă la un tip specific de serie, cunoscută sub denumirea de seria lui Gauss, dupa numele lui Carl Friedrich Gauss, cel care a studiat in secolul 19 aceste tipuri de funcții. O altă aplicație a seriilor hipergeometrice este inversiunea integralelor eliptice; acestea fiind construite luând raportul a doua soluții liniare independente ale ecuației diferențiale hipergeometrice, pentru a forma corespondența Schwartz-Christoffel a unui domeniu fundamental pe o linie proiectivă complexă sau sferă Riemann. O altă aplicație este fracția
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
dupa numele lui Carl Friedrich Gauss, cel care a studiat in secolul 19 aceste tipuri de funcții. O altă aplicație a seriilor hipergeometrice este inversiunea integralelor eliptice; acestea fiind construite luând raportul a doua soluții liniare independente ale ecuației diferențiale hipergeometrice, pentru a forma corespondența Schwartz-Christoffel a unui domeniu fundamental pe o linie proiectivă complexă sau sferă Riemann. O altă aplicație este fracția continuă a lui Gauss, care poate fi folosită la obținerea fracțiilor continue pentru multe funcții elementare și speciale
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
a forma corespondența Schwartz-Christoffel a unui domeniu fundamental pe o linie proiectivă complexă sau sferă Riemann. O altă aplicație este fracția continuă a lui Gauss, care poate fi folosită la obținerea fracțiilor continue pentru multe funcții elementare și speciale. Seriile hipergeometrice au fost studiate pentru prima dată de Euler, dar tratarea lor sistematică și completă se regăsește în notele de curs ale lui Gauss, din 1812, "Disquisitiones Generales Circa Seriem Infinitam" formula 1. Termenul de "serie hipergeometrică" este folosit datorită lui Pfaff
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
funcții elementare și speciale. Seriile hipergeometrice au fost studiate pentru prima dată de Euler, dar tratarea lor sistematică și completă se regăsește în notele de curs ale lui Gauss, din 1812, "Disquisitiones Generales Circa Seriem Infinitam" formula 1. Termenul de "serie hipergeometrică" este folosit datorită lui Pfaff. Cercetările efectuate în secolul XIX includ studiile datorate lui Ernest Kummer și caracterizarea fundamentală a lui Bernhard Riemann a funcției F cu ajutorul ecuației diferențiale pe care o satisface. Riemann a arătat ca ecuația diferențială de
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
pentru funcția F, examinată în planul complex, poate fi caracterizată pe sfera Riemann prin cele trei singulatităti regulate ale ei, z = 0, 1 și formula 2. Cazurile în care soluțiile sunt funcții algebrice au fost găsite de Herman Schwarz. O serie hipergeometrică este definită ca o serie de puteri de forma: în care raportul coeficienților succesivi este o funcție rațională de "n", adică: unde A(n) și B(n) sunt polimoame în n. De exemplu, în cazul funcției exponențiale avem: astfel că
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
raportul coeficienților consecutivi devine Deoarece (n+1) nu este un factor al numitorului, înmulțim și numărătorul și numitorul cu acest factor pentru a obține: Acest raport conduce la expresia: Similar, multe funcții elementare se pot exprima sub formă de serii hipergeometrice, precum: Multe alte cazuri sunt listate în . Când toți termenii seriei sunt definiți iar raza de convergență nu este zero, atunci seria definește o funcție analitică. O astfel de funcție și prelungirea ei analitică este numită funcție hipergeometrică. Se pot
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
de serii hipergeometrice, precum: Multe alte cazuri sunt listate în . Când toți termenii seriei sunt definiți iar raza de convergență nu este zero, atunci seria definește o funcție analitică. O astfel de funcție și prelungirea ei analitică este numită funcție hipergeometrică. Se pot obține serii matematice interesante în cazul în care raza de convergență este 0, de exemplu dezvoltarea asimptotică a funcției gamma incomplete: care poate fi scrisă sub forma: formula 26. Totuși, folosirea termenului de "serie hipergeometrică" se restrânge în mod
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
analitică este numită funcție hipergeometrică. Se pot obține serii matematice interesante în cazul în care raza de convergență este 0, de exemplu dezvoltarea asimptotică a funcției gamma incomplete: care poate fi scrisă sub forma: formula 26. Totuși, folosirea termenului de "serie hipergeometrică" se restrânge în mod uzual la cazul în care seria definește o funcție analitică veritabilă. Seria hipergeometrică ordinară nu trebuie confundată cu seria hipergeometrică fundamentală, care în ciuda numelui, este o serie mai complicată si mai profundă. Seria "fundamentală" este o
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
convergență este 0, de exemplu dezvoltarea asimptotică a funcției gamma incomplete: care poate fi scrisă sub forma: formula 26. Totuși, folosirea termenului de "serie hipergeometrică" se restrânge în mod uzual la cazul în care seria definește o funcție analitică veritabilă. Seria hipergeometrică ordinară nu trebuie confundată cu seria hipergeometrică fundamentală, care în ciuda numelui, este o serie mai complicată si mai profundă. Seria "fundamentală" este o expresie q analoagă a seriei hipergeometrice ordinare. Există mai multe generalizări similare ale seriei hipergeometrice ordinare, inclusiv cele
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
a funcției gamma incomplete: care poate fi scrisă sub forma: formula 26. Totuși, folosirea termenului de "serie hipergeometrică" se restrânge în mod uzual la cazul în care seria definește o funcție analitică veritabilă. Seria hipergeometrică ordinară nu trebuie confundată cu seria hipergeometrică fundamentală, care în ciuda numelui, este o serie mai complicată si mai profundă. Seria "fundamentală" este o expresie q analoagă a seriei hipergeometrice ordinare. Există mai multe generalizări similare ale seriei hipergeometrice ordinare, inclusiv cele care provin din funcția sferică zonală pe
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
uzual la cazul în care seria definește o funcție analitică veritabilă. Seria hipergeometrică ordinară nu trebuie confundată cu seria hipergeometrică fundamentală, care în ciuda numelui, este o serie mai complicată si mai profundă. Seria "fundamentală" este o expresie q analoagă a seriei hipergeometrice ordinare. Există mai multe generalizări similare ale seriei hipergeometrice ordinare, inclusiv cele care provin din funcția sferică zonală pe spațiul Riemann simetric. Seriile care nu conțin factorul n! la numitor se numesc serii hipergeometrice bilaterale, dacă sumarea se face pentru
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
analitică veritabilă. Seria hipergeometrică ordinară nu trebuie confundată cu seria hipergeometrică fundamentală, care în ciuda numelui, este o serie mai complicată si mai profundă. Seria "fundamentală" este o expresie q analoagă a seriei hipergeometrice ordinare. Există mai multe generalizări similare ale seriei hipergeometrice ordinare, inclusiv cele care provin din funcția sferică zonală pe spațiul Riemann simetric. Seriile care nu conțin factorul n! la numitor se numesc serii hipergeometrice bilaterale, dacă sumarea se face pentru toți întregii n, inclusiv cei negativi. Există anumite valori
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
este o expresie q analoagă a seriei hipergeometrice ordinare. Există mai multe generalizări similare ale seriei hipergeometrice ordinare, inclusiv cele care provin din funcția sferică zonală pe spațiul Riemann simetric. Seriile care nu conțin factorul n! la numitor se numesc serii hipergeometrice bilaterale, dacă sumarea se face pentru toți întregii n, inclusiv cei negativi. Există anumite valori ale lui formula 27 și formula 28 pentru care numărătorul sau numitorul coeficienților este 0. Excluzând cazurile de mai sus, determinarea razei de convergență a seriei poate
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
funcția: defintă de seria: Inversând formulele de diferențiere, obtinem următoarele formule de integrare: 1° pentru formula 50 2° pentru formula 52 Folosind la integrare metoda substituției, pentru formula 54, obținem: De exemplu Raportul coeficienților unei serii obținute prin luarea tuturor termenilor unei serii hipergeometrice este de asemenea rațional. Extinzând acestea în conformitate cu procesul de mai sus, obținem pentru termenii impari: iar pentru termenii pari: De exemplu: Fie formula 68 operatorul formula 69. Din formula de diferențiere de mai sus, spațiul liniar generat de formula 70 și formula 71, vor
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
lui formula 96 este: unde formula 98 este funcția Beta. Se poate arăta că: deci Cazuri speciale: sau sau cu condiția formula 105 sau formula 106 atunci ambele parți ale egalității converg. Această condiție a fost dată deEuler în 1748 și reprezintă baza transformărilor hipergeometrice ale lui Euler. Punând z = 1 în ultima ecuație obținem: unde formula 108 este Funcția Gamma. Pentru calculul integralei de contur următoare se poate folosi teorema reziduurilor din analiza complexă: obținându-se: unde conturul este luat în așa fel încât să
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
0, 1, 2... de polurile −"a", −"a"-1, ..., −"b", −"b"−1, ... . Există mai multe modificări pe această idee și ele pot fi folosite pentru a dovedi oricare identitate. În secolele XIX și XX au fost decoperite multe identități ale funcțiilor hipergeometrice. După cum a fost notat anterior, formula 111. Ecuația diferențială a acesteia este formula 112, care are soluția formula 113, unde k este o constantă oarecare. Acestea sunt notate formula 114. Ecuația diferențială a acestei funcții este formula 115, sau formula 116, care are soluția formula 117 unde
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
care are soluția formula 113, unde k este o constantă oarecare. Acestea sunt notate formula 114. Ecuația diferențială a acestei funcții este formula 115, sau formula 116, care are soluția formula 117 unde "k" este o constantă. Funcțiile de forma formula 91 sunt numite Limita Funcțiilor Hipergeometrice Confluente, fiind strâns legate de funcțiile Bessel. Ecuația diferențială a acestei funcții este: Când "a" nu este un întreg pozitiv, substituția formula 121 ne dă soluția liniar independentă formula 122, astfel încât soluția generală este unde k, l sunt constante. Funcțiile de forma
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
de funcțiile Bessel. Ecuația diferențială a acestei funcții este: Când "a" nu este un întreg pozitiv, substituția formula 121 ne dă soluția liniar independentă formula 122, astfel încât soluția generală este unde k, l sunt constante. Funcțiile de forma formula 92 se numesc Funcții Hipergeometrice Confluente de speța I-a, scrise și sub forma formula 125. Funcția incompletă gamma formula 126 este un caz special, care are următoarea ecuație diferențială: sau Când b nu este un întreg pozitiv, substituția formula 129, ne dă soluția liniar independentă: unde "k
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
polinom. Acestea sunt de fapt Polinoame Laguerre, făcând abstracție de o constantă. Acest lucru arată că și Polinoamele Hermite pot fi exprimate în termenii funcției formula 133. Istoric vorbind, cele mai importante funcții au forma formula 93. Ele sunt numite câteodata funcțiile hipergeometrice ale lui Gauss, termen de altfel folosit pentru funcțiile formula 135 dacă există risc de confuzie. Ele au fost studiate în detaliu de Carl Friedrich Gauss, în special pentru condițiile lor de convegență. Ecuația diferențială a acestei funcții este: sau Ea
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
altfel folosit pentru funcțiile formula 135 dacă există risc de confuzie. Ele au fost studiate în detaliu de Carl Friedrich Gauss, în special pentru condițiile lor de convegență. Ecuația diferențială a acestei funcții este: sau Ea este cunoscută ca ecuația diferențială hipergeometrică. Când c nu este un întreg pozitiv, substituția formula 138, ne dă soluția liniar independentă formula 139, astfel încât soluția generală pentru formula 105 este: unde k, l sunt constante. Din acestea pot deriva diferite soluții pentru alte valori ale lui z. De fapt
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
făcând abstracție de o constantă, sunt cazuri speciale de polinoame Jacobi, putând fi exprimate sub forma formula 143. Acest lucru include și polinoamele Legendre și polinoamele Chebyshev. De asemenea, o mulțime de integrale ale funcțiilor elementare se pot exprima în funcție de seria hipergeometrică, de exemplu: Seriile hipergeometrice au fost generalizate la funcții de mai multe variabile, de exemplu de Paul Emile Appell; dar o teorie generală comparabilă cu cea de o variabilă nu a fost dată încă. Au fost găsite multe identităti, unele
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]