42 matches
-
antisimetrice de 3 vectori :formula 55= volumul prismei determinate de "proiecțiile" vectorilor ξ, m=1,2,3, in subspațiul 3-dimensional generat de e, e, e. Cu aceasta, teorema lui Frobenius din paragraful precedent afirmă că "o condiție necesară și suficientă pentru integrabilitatea 1-formei Ω este ca 2-forma dΩ să se anuleze pe orice pereche de vectori pe care Ω se anulează. Evident, mulțimea vectorilor pe care Ω se anulează formează un subspațiu (n-1)-dimensional al lui R; să alegem o baza
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
n-1 ca functie de dx, ceea ce este echivalent cu un sistem de n-1 ecuații diferențiale. Acesta admite local n-1 integrale prime, care pot fi folosite drept funcțiile f din (5.2). Se vede de aici că problema integrabilității pentru un sistem de 2 forme diferențiale se pune numai de la 4 variabile in sus. (În general pentru un sistem de p forme, de la p+2 în sus). Geometric, integrabilitatea înseamnă că soluțiile tuturor ecuațiilor diferențiale reprezentate de sistemul:formula 61se
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
f din (5.2). Se vede de aici că problema integrabilității pentru un sistem de 2 forme diferențiale se pune numai de la 4 variabile in sus. (În general pentru un sistem de p forme, de la p+2 în sus). Geometric, integrabilitatea înseamnă că soluțiile tuturor ecuațiilor diferențiale reprezentate de sistemul:formula 61se găsesc pe o varietate n-p dimensională a lui R. Schițăm pentru p=2 și n=4 modul în care se obțin condițiile de integrabilitate; se vede ușor cum procedura
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
p+2 în sus). Geometric, integrabilitatea înseamnă că soluțiile tuturor ecuațiilor diferențiale reprezentate de sistemul:formula 61se găsesc pe o varietate n-p dimensională a lui R. Schițăm pentru p=2 și n=4 modul în care se obțin condițiile de integrabilitate; se vede ușor cum procedura este generalizabilă la p și n oarecare. Presupunem că cele două forme sunt independente, adică există un determinant de ordinul doi format din coeficienții a,a care nu se anulează. Putem atunci „rezolva“ sistemul față de
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
În limbajul formelor diferențiale, teorema lui Frobenius se exprimă pentru un sistem de p 1-forme prin p condiții, care, din cauza restricțiilor asupra vectorilor u,v se scriu acum:formula 69 pentru q=1..p. Un alt mod de a aborda problema integrabilității, complementar celui de mai sus, se bazează pe studiul unor sisteme de ecuații liniare cu derivate parțiale, legate în mod simplu de 1-forma (1.1), sau de sistemele (5.1) de 1-forme: în vecinătatea oricărui punct x, în care cel
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
Deoarece la x fixat nu pot fi mai mult de p soluții independente, deducem că aceștia sunt combinații liniare ale vectorilor ∂f/∂x;formula 74 cu coeficienți α depinzând de x. Deci sistemul de p 1-forme este integrabil. Deducem că problema integrabilității este aceeași cu a "completitudinii" (în sensul de mai sus) a sistemului liniar și omogen (5.15) de ecuații cu derivate parțiale. Discutând chestiunea din acest unghi, Alfred Clebsch a arătat în 1866 , folosind o metodă dezvoltată anterior de C.G.
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
pereche de combinații liniare ale lor; mai mult, putem să înlocuim coeficienții a și cu combinații liniare ale lor (față de r) cu coeficienți depinzând de x, fără să alterăm egalitatea. Acesta este însă exact criteriul lui Frobenius (5.19) pentru integrabilitatea sistemelor de 1-forme diferențiale. Concludem că integrarea unui astfel de sistem duce direct la soluția sistemului complet de ecuații (5.15). Ecuația Ω = 0 reprezintă pentru 2 variabile independente o ecuație diferențială obișnuită, care are, în afară de cazuri speciale , o soluție
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
diferențială obișnuită, care are, în afară de cazuri speciale , o soluție, reprezentată printr-o curbă, determinată complet de condițiile inițiale; pentru n ≥ 3 variabile, soluția ar trebui să fie o (hiper)suprafață, dar aceasta nu este posibil decât dacă anumite condiții de integrabilitate sunt satisfăcute (vezi §2). Necesitatea (vezi §2)acestor condiții a fost recunoscută de la început, desigur de J.F.Pfaff (1765-1825) (după care 1-formele sunt adesea numite) dar suficiența lor a fost demonstrată pentru prima oară de F.Deahna în 1840, și
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
constă în determinarea, pentru o formă Ω dată, a numărului minim de diferențiale totale a căror sumă o poate reprezenta (cu coeficienți dependenți de x), și în determinarea transformărilor de coordonate care duc la această prezentare. Evident, stabilirea condițiilor de integrabilitate a formelor diferențiale este inclusă în această chestiune. Problema a fost lamurită prin lucrările lui C.G.Jacobi, L.Natani, A.Clebsch, G.F.Frobenius și G.Darboux. Lucrarea lui A.Clebsch din 1866 stabilește condiția de închidere (5.17) drept necesară
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
drept necesară și suficientă pentru ca sistemul de n-p ecuații cu derivate parțiale (5.15 ) să admită p soluții independente. Într-un articol amplu în 1877, Frobenius recapitulează (foarte clar de citit!) lucrările predecesorilor, stabilește echivalența lor, formuleaza condițiile de integrabilitate in forma prezentată aici (ecuațiile (3.4),(5.9)) și precizează cazurile posibile care apar în soluția problemei lui Pfaff. În același an, G.Darboux dă o soluție mai rapidă, dar similară ca spirit, problemei lui Pfaff. În prezentările moderne
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
o "diferențială totală": ea diferă de diferențiala totală a unei funcții F printr-o funcție N de parametrii sistemului, numită "factor integrand" al lui dQ:<br>formula 4Pentru un număr de parametri geometrici mai mare sau egal cu doi, proprietatea de integrabilitate implică restricții mari asupra dependențelor posibile ale „forțelor“ (analoagele lui p(U,V)) de parametrii geometrici. Pentru un singur parametru geometric, ca în cazul prezent, se pot găsi astfel de perechi "(N(U,V),F(U,V))" în condiții foarte
Principiul al doilea: Planck versus Carathéodory () [Corola-website/Science/320567_a_321896]
-
geometrici și unul negeometric: cele două volume și temperatura empirică comună. Un astfel de sistem este ""simplu"" în sensul lui Carathéodory și prin urmare, forma diferențială a cantității de căldură este integrabilă, drept consecință a principiului (PC), prin intermediul lemei sale: integrabilitatea este acum o afirmație "netrivială": nu orice formă diferențială cu trei variabile independente este integrabilă. Argumentația lui Carathéodory este mai departe următoarea: dacă drept variabile geometrice independente alegem entropiile empirice S, S ale celor două sisteme și ca parametru negeometric
Principiul al doilea: Planck versus Carathéodory () [Corola-website/Science/320567_a_321896]
-
incât:<br>formula 17 S difera de suma S+S cu cel mult o constantă. Această constantă nu poate fi determinată numai folosind principiul al doilea În concluzie, putem aprecia cât de mult se poate deduce din afirmația lui Carathéodory despre integrabilitatea lui dQ atunci când adăugăm noțiunea de echilibru termic. Critica principală a prezentării lui Carathéodory este că trecerea de la afirmația inițială (PC) la integrabilitatea lui dQ se face prin ocolul aparent dificil al lemei sale. Pentru sisteme cu doi parametri, aceasta
Principiul al doilea: Planck versus Carathéodory () [Corola-website/Science/320567_a_321896]
-
al doilea În concluzie, putem aprecia cât de mult se poate deduce din afirmația lui Carathéodory despre integrabilitatea lui dQ atunci când adăugăm noțiunea de echilibru termic. Critica principală a prezentării lui Carathéodory este că trecerea de la afirmația inițială (PC) la integrabilitatea lui dQ se face prin ocolul aparent dificil al lemei sale. Pentru sisteme cu doi parametri, aceasta pare prea complicat. În prezentarea lui Planck (1926) astfel de dificultăți nu apar. Arătăm acum cum Max Planck, folosind formularea (PP) a principiului
Principiul al doilea: Planck versus Carathéodory () [Corola-website/Science/320567_a_321896]
-
al lemei sale. Pentru sisteme cu doi parametri, aceasta pare prea complicat. În prezentarea lui Planck (1926) astfel de dificultăți nu apar. Arătăm acum cum Max Planck, folosind formularea (PP) a principiului al doilea, demonstrează direct - prin argumente pur fizice - integrabilitatea cantității de căldură schimbată de sistemul compus cu exteriorul și justifică astfel procedura ulterioară a lui Carathéodory de introducere a temperaturii absolute. Considerăm pentru aceasta un sistem, izolat adiabatic de exterior, de două corpuri K, K în contact termic unul
Principiul al doilea: Planck versus Carathéodory () [Corola-website/Science/320567_a_321896]
-
θ)" este factorul integrand , iar entropia standard a sistemului, definită natural de (4.2.3) satisface:<br>formula 21 Deducția lui Planck are o simplitate incontestabilă. În manualele „clasice“ (de exemplu Ș. Țițeica ) , urmărind dezvoltarea istorică a subiectului, (pornind de la Clausius) integrabilitatea formei diferențiale dQ (și deci existența entropiei) este demonstrată pornind de la formularea "Kelvin-Planck" a principiului al doilea (nu trebuie confundată cu formularea (PP)din §2) după care nici un sistem nu poate parcurge un proces ciclic al cărui singur rezultat să
Principiul al doilea: Planck versus Carathéodory () [Corola-website/Science/320567_a_321896]
-
PP)din §2) după care nici un sistem nu poate parcurge un proces ciclic al cărui singur rezultat să fie un lucru mecanic efectuat asupra exteriorului (ΔL<0) luând căldură de la un singur rezervor (ΔQ>0). Drept o completare naturală, arătăm integrabilitatea formei dQ în același cadru al celor două corpuri K și K în contact termic din paragrafele precedente, folosind principiul al doilea in forma Kelvin-Planck. De data aceasta luăm drept parametri volumele V si V și temperatura de echilibru (empirică
Principiul al doilea: Planck versus Carathéodory () [Corola-website/Science/320567_a_321896]