57 matches
-
aplicații importante în matematică, fizică, optică, inginerie electrică, automatică, prelucrarea semnalelor și teoria probabilităților. În matematică, este folosită la rezolvarea ecuațiilor diferențiale și integrale. În fizică, este folosită la analiza sistemelor liniare invariante în timp cum ar fi circuite electrice, oscilatori armonici, dispozitive optice și sisteme mecanice. În aceste analize, transformata Laplace este adesea interpretată ca o transformare din "domeniul timp", în care intrările și ieșirile sunt funcții de timp, în "domeniul frecvență", unde aceleași intrări și ieșiri sunt funcții de
Transformată Laplace () [Corola-website/Science/309834_a_311163]
-
la studiul radiației în încăperi perfect reflectătoare este descris clar de Max Planck. În prezentarea de mai sus am urmărit deasemenea în linii mari cursul de termodinamică a lui Ș.Țiteica . Ideea de a considera radiația ca o sumă de oscilatori este datorita lui Rayleigh și duce împreună cu teorema de echipartiție a energiei din mecanica statistică clasică la formula lui Rayleigh-Jeans (RJ) de mai sus. Împreună însă cu ipoteza nivelelor discrete de energie ale oscilatorilor, ea oferă modul cel mai rapid
Legile de deplasare ale lui Wien () [Corola-website/Science/314157_a_315486]
-
o temperatură dată. După legile lui Kirchhoff (consecințe ale principiului al doilea al termodinamicii) aceasta distributie este "universală", adică independentă de material, ceea ce Max Planck a socotit că îl îndreptățește să o studieze și folosind un material ipotetic format din oscilatori ("rezonatori") armonici. Studiul echilibrului și al stărilor apropiate de el se poate conduce numai cu anumite ipoteze suplimentare asupra oscilatorului și a radiației înconjurătoare; aceste ipoteze sunt și ele cuprinse în noțiunea de „rezonator al lui Planck” și vor deveni
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
celălalt, cele două sisteme au aceeași temperatură. Mai mult, dacă energia medie a oscilatorilor are o abatere ΔU față de valoarea ei de echilibru, atunci are loc un proces ireversibil de apropiere de echilibru, în timpul căruia entropia totala "S" a sistemului "oscilatori + radiație" crește cu rata:<br>formula 3 unde S este entropia ("numai" a) sistemului de rezonatori. Functia S(U,N,ν) este aici necunoscută; pentru ca apropierea de echilibru să fie legată de o creștere a entropiei este însă suficient ca dS
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
10 cm (domeniul razelor gamma). O consecință a amortizării scăzute este că efectul condițiilor inițiale durează mult (pe scara de timp a perioadelor de oscilație). Problema pe care o avem acum este următoarea: ne imaginăm o colecție de N (mare) oscilatori, care emit și absorb radiație și sunt plasați într-o incintă complet reflectătoare, astfel încât să nu se piardă energie; există posibilitatea unor stări staționare, în care energia emisă pe unitatea de timp să fie egală cu cea absorbită? Astfel pusă
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
timpul a câmpului electric într-un singur punct. În cartea sa (1906) Max Planck dă o definiție diferită, a cărei echivalență cu cea de mai sus e plauzibilă. Cuvântul "incoerent" este definit acum în felul următor: considerăm o mulțime de oscilatori cu aceiași parametri caracteristici, dar plasați în diferite puncte în spațiu. Fiecărui punct și fiecărei frecvențe ω li se asociază variabilele aleatoare F(ω), G(ω) (sau mărimea complexă E(ω) din relația (E). În analogie cu (IC2), (IC3), acestea
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
frecvența ν i se poate asocia un curent de entropie L(I) prin relația <br>formula 55, unde T este temperatura corpului negru care emite radiația cu intensitatea I. Entropia S(U) a oscilatorului - ca eșantion al unui colectiv de N oscilatori independenți - o privim ca necunoscută (și pentru că nu precizăm nici un mecanism care ar putea-o modifica în absența câmpului electromagnetic). Evaluăm acum variația entropiei totale într-un interval de timp dt în care oscilatorul absoarbe radiație cu intensitatea I(ω
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
cum ΔU are un semn arbitrar, deducem că S(U) nu este independent de L(I), ci:<br>formula 66unde U și I sunt legate de relația de echilibru. Deoarece dS/dU = 1/T, această relație expimă egalitatea temperaturilor sistemului de oscilatori și a radiației. Din ea se deduce prin integrare că<br>formula 67Derivând de două ori:<br>formula 68Cu aceasta, obținem a doua relație „fundamentală” a lui Planck:<br>formula 69sau, ținând seama de expresia lui ΔU:<br>formula 70Din (7.12) sau (7
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
simplitatea naturii” se ascunde în funcția care descrie entropia oscilatorilor (entropia calculată din formula lui Wien l-a întărit in aceasta), cuplată probabil cu neîncrederea în dezvoltările contemporane ale mecanicii statistice (care ofereau o expresie pentru entropia unui sistem de oscilatori clasici în „slabă” interacție unul cu celălalt, fără un mecanism detaliat de interacție), ceea ce a dus la interpretarea lui nemaiintâlnită a curbelor experimentale ale radiației corpului negru. În orice caz, reticența contemporanilor (și a lui proprie) în acceptarea "ad litteram
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
a oscilatorilor și radiației crește la restabilirea echilibrului între ele, numai daca condiția relativ simplă (7.14) este respectată. Această condiție este cunoscută în termodinamică pentru sisteme simple: entropia este o funcție concavă de energie , dar pentru sistemul izolat de oscilatori, nu este ușor de interpretat. Cele două ecuații (1a) și (7.14) din ultimul paragraf sunt acele consecințe ale fizicii clasice în care trebuie avut încredere pentru a face „saltul” către mecanica cuantică! Faptul că sistemul de oscilatori și radiație
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
izolat de oscilatori, nu este ușor de interpretat. Cele două ecuații (1a) și (7.14) din ultimul paragraf sunt acele consecințe ale fizicii clasice în care trebuie avut încredere pentru a face „saltul” către mecanica cuantică! Faptul că sistemul de oscilatori și radiație închis într-o cavitate reflectătoare evoluează "ireversibil" către o stare de echilibru nu este evident, deoarece atât ecuațiile lui Maxwell pentru câmpul electromagnetic, cât și cele ale mecanicii clasice admit, pentru fiecare soluție posibila și una a cărei
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
intensității radiației corpului negru este realizată de radiația electromagnetică în echilibru termic cu orice material (la nici o frecvență complet reflectător), înseamnă că ea poate fi realizată și în echilibru cu un material ipotetic, format de exemplu dintr-un sistem de oscilatori armonici simpli, cu restricția ca frecvențele lor proprii să acopere întregul spectru. Această observație permite studiul radiației corpului negru independent de un model exact atomic (care la vremea aceea nu exista). A doua observație este că - în contradicție cu ipoteza
Formula lui Planck () [Corola-website/Science/315089_a_316418]
-
și anume la: Rezonatorul lui Planck. Câmpul electric este acela al unei superpoziții "incoerente" de unde electromagnetice incidente, pe care pentru început le considerăm polarizate paralel cu axa oscilatorului: Prin „incoerență” înțelegem independența statistică a tuturor componentelor câmpului la pozițiile diferiților oscilatori folosind funcția δ(x) a lui Dirac scriem aceasta: Atunci Energia U absorbită de oscilator în intervalul de timp (0,t) este: Energia U nu are la prima vedere un semn definit, deoarece atât E(t) cât și x'(t
Formula lui Planck () [Corola-website/Science/315089_a_316418]
-
entropia S(U) a unui oscilator folosind (3.1): Dacă cunoaștem pe L(I), obținem din (4.9): Max Planck incearcă să obțină restricții suplimentare asupra lui S(U) din principiul al doilea al termodinamicii: entropia totală a sistemului de oscilatori și radiație nu e numai staționară la echilibru, ci are un maximum: el arată că o condiție suficientă pentru ca entropia totală să aibă un maximum acolo unde este staționară este: Această condiție este netrivială pentru că implică numai entropia oscilatorilor. Formula
Formula lui Planck () [Corola-website/Science/315089_a_316418]
-
în articolul său înaintat în ianuarie 1901, care reprezintă nașterea mecanicii cuantice. Revenind la (5.2) și înlocuind β=hν și d=1, calculăm acum entropia unui oscilator : Integrând de la U = 0 până la U: Pentru un ansamblu format din N oscilatori identici cu energia totală U obținem, folosind proprietatea de extensivitate a entropiei: Introducem numărul Cu aceasta: Pentru N mare, reamintim formula asimptotică a lui Stirling: atunci, până la termeni de ordinul (ln N)/N, Observația centrală este că , dacă P este
Formula lui Planck () [Corola-website/Science/315089_a_316418]
-
lui Stirling: atunci, până la termeni de ordinul (ln N)/N, Observația centrală este că , dacă P este intreg, atunci cantitatea R(P,N) este "numărul de moduri distincte în care P obiecte identice ("cuante") pot fi distribuite în N celule (oscilatori)". Drept exemplu pentru o astfel de distribuție, sunt desenate în Fig.3 N = 10 celule in care sunt distribuite P=100 de "cuante" hν. O distribuție corespunde asocierii fiecărei celule unui număr cuprins intre 0 și P, astfel incât suma
Formula lui Planck () [Corola-website/Science/315089_a_316418]
-
lui Boltzmann este evidentă: numărul Ω de "stări accesibile sistemului atunci când parametrii exteriori sunt dați" se identifică în mod natural cu numărul R(P,N) de moduri în care se pot distribui U/(hν) = P cuante de energie la N oscilatori; un pas care poate părea temerar este că α în (5.9) este chiar constanta lui Boltzmann k, aceeași care apare în teoria cinetică a gazelor. În analogul formulei (2.2) pentru gazele perfecte, constanta k are o valoare precisă
Formula lui Planck () [Corola-website/Science/315089_a_316418]
-
este raportul R/N, unde R este constanta gazelor perfecte (din legea pV=RT) și N este numărul lui Avogadro de molecule într-o moleculă-gram. Prețul succesului formulei lui Planck este mare: numărul de stări accesibile unui sistem de N oscilatori cu frecvența ν și energia U nu este infinit, așa cum ar fi pentru oscilatori care ascultă de mecanica clasică (unde energia variază continuu): el se obține numarând modurile în care se pot impărți P=U/hν cuante între cei N
Formula lui Planck () [Corola-website/Science/315089_a_316418]
-
și N este numărul lui Avogadro de molecule într-o moleculă-gram. Prețul succesului formulei lui Planck este mare: numărul de stări accesibile unui sistem de N oscilatori cu frecvența ν și energia U nu este infinit, așa cum ar fi pentru oscilatori care ascultă de mecanica clasică (unde energia variază continuu): el se obține numarând modurile în care se pot impărți P=U/hν cuante între cei N oscilatori. Implicația este că un singur oscilator are numai energiile 0,hν,2hν... În fața
Formula lui Planck () [Corola-website/Science/315089_a_316418]
-
cu frecvența ν și energia U nu este infinit, așa cum ar fi pentru oscilatori care ascultă de mecanica clasică (unde energia variază continuu): el se obține numarând modurile în care se pot impărți P=U/hν cuante între cei N oscilatori. Implicația este că un singur oscilator are numai energiile 0,hν,2hν... În fața succesului experimental total al formulei, obiecția că argumentația este oarecum contradictorie (am plecat de la analiza detaliată a unui oscilator în mecanica clasică, pentru care toate energiile sunt
Formula lui Planck () [Corola-website/Science/315089_a_316418]
-
cuantele" sunt numai un mod "efectiv" de descriere a unei realități clasice mai adânci. Pașii următori esențiali în dezvoltarea teoriei cuantelor, 4 ani mai târziu, sunt datorați lui Albert Einstein, care a luat existența cuantelor "ad litteram", chiar independent de oscilatori și a arătat că ele reprezintă o explicație naturală pentru efectul fotoelectric și pentru regula lui Stokes în fenomenele de fotoluminescență.Doi ani mai târziu, Einstein a arătat că nivelele de energie discrete ale oscilatorilor permit o explicație naturală a
Formula lui Planck () [Corola-website/Science/315089_a_316418]
-
ca foarte mic, formula lui Planck să redea rezultate ale mecanicii statistice clasice:nivelele energetice ale unui oscilator devin "practic" un continuum. Constanta h este "mică" dacă "numărul de cuante" U/(hν) = P este mult mai mare decat numărul de oscilatori N. Folosind formula (5.7) de mai sus, vedem că : din dS/dU = 1/T, deducem : (acesta este rezultatul clasic pentru energia medie a unui sistem de oscilatori la temperatura T). Precum am văzut, aceasta duce la formula (4.8
Formula lui Planck () [Corola-website/Science/315089_a_316418]
-
de cuante" U/(hν) = P este mult mai mare decat numărul de oscilatori N. Folosind formula (5.7) de mai sus, vedem că : din dS/dU = 1/T, deducem : (acesta este rezultatul clasic pentru energia medie a unui sistem de oscilatori la temperatura T). Precum am văzut, aceasta duce la formula (4.8) a lui Rayleigh și Jeans. Deducem că motivul pentru care (4.8) este incorectă este că h nu este arbitrar de mic. Formula (4.8) devine aplicabilă când
Formula lui Planck () [Corola-website/Science/315089_a_316418]
-
care (4.8) este incorectă este că h nu este arbitrar de mic. Formula (4.8) devine aplicabilă când numărul de cuante pe oscilator e mare. Considerăm acum cazul în care numarul de cuante P e mic față de numarul de oscilatori N. Atunci energia medie a unui oscilator U = U/N este mică față de hν. În formula (5.7), primul termen este dominant și putem scrie: Primul termen este entropia sistemului de oscilatori care produce distribuția lui Wien, dacă facem identificarea
Formula lui Planck () [Corola-website/Science/315089_a_316418]
-
de cuante P e mic față de numarul de oscilatori N. Atunci energia medie a unui oscilator U = U/N este mică față de hν. În formula (5.7), primul termen este dominant și putem scrie: Primul termen este entropia sistemului de oscilatori care produce distribuția lui Wien, dacă facem identificarea: b=k/h și h=ac/4π. Interpretarea nu este simplă în limbajul oscilatorilor: ne așteptăm ca cele mai multe distribuții să corespundă la cel mult "o cuantă" pe oscilator; un calcul simplu arată
Formula lui Planck () [Corola-website/Science/315089_a_316418]