418 matches
-
repetă la infinit fără a prezenta nici o repetiție sau regularitate a pricinuit o adevărată criză filozofică. Unele surse susțin chiar că pitagoreicii au sacrificat 100 de boi din cauza numărului. Totuși acest lucru pare extrem de improbabil deoarece ei erau vegetarieni stricți. Pitagoreicii erau neîndoielnic convinși că existența unor numere precum Φ era atât de înfricoșătoare încât ea trebuia să reprezinte un fel de eroare cosmică, o informație care ar trebui suprimată și ținută secret. Faptul că există numere iraționale a implicat și
Secțiunea de aur () [Corola-website/Science/311883_a_313212]
-
violentă cu privire la această descoperire: ""Ei spun că primul om care le-a dezvăluit natura incomensurabilității celor nedemni de a o cunoaște a fost atât de detestat, încât nu numai că a fost exclus din asociația si modul de viață al pitagoreicilor, ci i s-a construit și mormântul, ca și cum fostul lor coleg ar fi plecat dintre cei vii.""
Secțiunea de aur () [Corola-website/Science/311883_a_313212]
-
a trăit în secolul al VI-lea î.Hr., se știe că a fost cunoscută de mai multe civilizații de-a lungul timpului: indienii antici, asiro-babilonienii, egiptenii antici, chinezii antici și alții. Acest subiect poate fi împărțit în trei: cunoașterea tripletelor pitagoreice (seturi de câte trei numere întregi care reprezintă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic), cunoașterea teoremei propriu-zise și cunoașterea unor demonstrații. Tripletele pitagoreice sunt cunoscute de foarte mult timp, ele fiind folosite pentru construirea unui unghi drept în condiții practice: o
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
indienii antici, asiro-babilonienii, egiptenii antici, chinezii antici și alții. Acest subiect poate fi împărțit în trei: cunoașterea tripletelor pitagoreice (seturi de câte trei numere întregi care reprezintă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic), cunoașterea teoremei propriu-zise și cunoașterea unor demonstrații. Tripletele pitagoreice sunt cunoscute de foarte mult timp, ele fiind folosite pentru construirea unui unghi drept în condiții practice: o sfoară este marcată cu noduri aflate la anumite distanțe; formând din ea un triunghi (de exemplu de laturi 3, 4 și 5
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
de ani (în Insulele Britanice) conțin triunghiuri dreptunghice cu laturi de lungimi numere întregi, dar aceasta nu înseamnă neapărat că cei care le-au construit cunoșteau teorema. De asemenea, scrieri vechi din Regatul Mijlociu Egiptean și din Mesopotamia menționează triplete pitagoreice. "Sulba Sutra lui Baudhayana", scrisă în secolul VIII î.Hr. în India, conține o listă de triplete pitagoreice descoperite algebric, un enunț al teoremei, precum și o demonstrație pentru un triunghi dreptunghic isoscel. " Sulba Sutra" lui Apastamba (circa 600 î.Hr.) conține o
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
înseamnă neapărat că cei care le-au construit cunoșteau teorema. De asemenea, scrieri vechi din Regatul Mijlociu Egiptean și din Mesopotamia menționează triplete pitagoreice. "Sulba Sutra lui Baudhayana", scrisă în secolul VIII î.Hr. în India, conține o listă de triplete pitagoreice descoperite algebric, un enunț al teoremei, precum și o demonstrație pentru un triunghi dreptunghic isoscel. " Sulba Sutra" lui Apastamba (circa 600 î.Hr.) conține o demonstrație numerică a cazului general, calculând arii. Unii cercetători susțin că de aici s-ar fi putut
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
conține o demonstrație numerică a cazului general, calculând arii. Unii cercetători susțin că de aici s-ar fi putut inspira Pitagora, în timpul călătoriei sale în India. Pitagora (aproximativ 580 î.Hr. - 495 î.Hr.) a folosit metode algebrice pentru a construi triplete pitagoreice, conform lui Proclus. Acesta a scris însă între anii 410 și 485 d.Hr., adică 9 secole mai târziu. După Sir Thomas L. Heath, teorema nu i-a fost atribuită lui Pitagora timp de cinci secole după perioada în care
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
Plutarh și Cicero au vorbit despre teoremă ca fiind „a lui Pitagora”, au făcut-o ca și cum acesta era un lucru binecunoscut și de necontestat. În jurul anului 400 î.Hr., conform lui Proclus, Platon a dat o metodă de a determina triplete pitagoreice care combină algebra și geometria. Există o infinitate de astfel de triplete,forma lor generală fiind "x"=2uv, "y"=u-v, "z"=u+v, unde u și v sunt numere naturale oarecare, cu u>v. După aproximativ 100 de ani
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
se obține figura din dreapta. Suprafețele celor două pătrate mari sunt identice, întrucât laturile acestora sunt congruente. Calculând în fiecare caz suprafețele celor două pătrate, se obține: Se ajunge așadar la formula 12, ceea ce duce direct la relația din teorema studiată. Demonstrația pitagoreică, care a fost deja discutată, a fost o demonstrație prin rearanjare. Aceeași idee este reprezentată în animația din partea stângă, care conține pătratul mare de latură , cu patru triunghiuri dreptunghice identice. Triunghiurile sunt reprezentate alternativ în două moduri de aranjare, în
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
demonstrații algebrice. Astfel, se obține trapezul reprezentat în diagramă. Deci suprafața trapezului este jumătate din cea a pătratului, adică Folosindu-se ecuația pătratului mare, vom aveam rezultatul înjumătățit pentru trapez. Raportul formula 19 se reduce, astfel că în final rămâne relația pitagoreică. Se poate ajunge la teorema lui Pitagora prin intermediul studiului modului în care schimbările într-o latură produc o schimbare în ipotenuză, iar pentru această demonstrație se apelează la calcului diferențial și integral. Triunghiul "ABC" este un triunghi drept, după cum se
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
a enunțat această propoziție despre triunghiul ascuțitunghic, obtuzunghic și dreptunghic în următorul limbaj matematic: unde "α" este unghiul opus laturii "a", "β" este unghiul opus laturii "b", "γ" este unghiul opus laturii "c", iar sgn reprezintă funcția signum. Un triplet pitagoreic (sau numere pitagoreice) conține trei numere pozitive întregi "a", "b" și "c", astfel încât Cu alte cuvinte, un triplet pitagoreic reprezintă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic astfel încât lungimile tuturor laturilor au valori numere întregi. Observații asupra monumentelor megalitice din Europa Nordică
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
propoziție despre triunghiul ascuțitunghic, obtuzunghic și dreptunghic în următorul limbaj matematic: unde "α" este unghiul opus laturii "a", "β" este unghiul opus laturii "b", "γ" este unghiul opus laturii "c", iar sgn reprezintă funcția signum. Un triplet pitagoreic (sau numere pitagoreice) conține trei numere pozitive întregi "a", "b" și "c", astfel încât Cu alte cuvinte, un triplet pitagoreic reprezintă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic astfel încât lungimile tuturor laturilor au valori numere întregi. Observații asupra monumentelor megalitice din Europa Nordică arată evidențe ale
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
laturii "a", "β" este unghiul opus laturii "b", "γ" este unghiul opus laturii "c", iar sgn reprezintă funcția signum. Un triplet pitagoreic (sau numere pitagoreice) conține trei numere pozitive întregi "a", "b" și "c", astfel încât Cu alte cuvinte, un triplet pitagoreic reprezintă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic astfel încât lungimile tuturor laturilor au valori numere întregi. Observații asupra monumentelor megalitice din Europa Nordică arată evidențe ale faptului că aceste triplete erau cunoscute cu mult timp înainte de descoperirea scrisului. Un triplet scris în
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
au valori numere întregi. Observații asupra monumentelor megalitice din Europa Nordică arată evidențe ale faptului că aceste triplete erau cunoscute cu mult timp înainte de descoperirea scrisului. Un triplet scris în mod obișnuit este Alte exemple bine-cunoscute sunt și Un triplet pitagoreic primitiv este unul în care "a", "b" și "c" sunt prime între ele (adică cel mai mare divizor comun al lui "a", "b" și "c" este 1). Următoarea este o listă de triplete pitagoreice primitive cu valori mai mici decât
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
exemple bine-cunoscute sunt și Un triplet pitagoreic primitiv este unul în care "a", "b" și "c" sunt prime între ele (adică cel mai mare divizor comun al lui "a", "b" și "c" este 1). Următoarea este o listă de triplete pitagoreice primitive cu valori mai mici decât 100: Una dintre urmările teoremei lui Pitagora este aceea că dreptele a căror lungimi sunt "incomensurabile" (adică raportul dintre ele nu este un număr rațional) pot fi construite cu ajutorul riglei și compasului. Teorema lui
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
a sumei catetelor (a căror valori sunt: unitatea iar alta orice număr natural) și suma nu este un pătrat perfect, atunci desenul ipotenuzei reprezintă trasarea unei lungimi incomensurabile. De exemplu, astfel sunt , , . Lungimile incomensurabile erau în conflict cu conceptele școlii pitagoreice, în care numai numerele întregi erau numere. Proporțiile erau realizate prin compararea multiplilor întregi a unei subunități comune. Conform unei legende, Hippasos din Metaponte ("ca." 470 î.Hr.) a fost înecat în mare pentru că a descoprit existența numerelor iraționale sau a
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
din Metaponte ("ca." 470 î.Hr.) a fost înecat în mare pentru că a descoprit existența numerelor iraționale sau a incomensurabilității. Pentru orice număr complex valoarea absolută este dată de Așadar cele trei numere, "r", "x" și "y" sunt legate prin relația pitagoreică, Trebuie menționat faptul că "r" este definit ca fiind un număr pozitiv sau zero, dar "x" și "y" pot fi sau negative sau pozitive. Din punct de vedere geometric, "r" este distanța lui "z" de la zero sau din punctul de
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
din punct de vedere trigonometric sunt determinate sinusul și cosinusul unghiului "θ" dintre latura "a" și ipotenuză astfel: De unde se deduce că: unde ultima ecuație aplică teorema lui Pitagora. Această relație dintre sinus și cosinus este câteodată denumită identitatea trigonometrică pitagoreică fundamentală. În triunghiuri asemenea, raportul dintre laturi este același indiferent de mărimile lor, și depinde de unghiuri. Astfel, în figură, triunghiul cu ipotenuza de mărime egală cu 1 are cateta opusă de mărimea sin "θ" și cateta alăturată de mărimea
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
cu produsul vectorial și cu produsul scalar: Această relație poate fi privită prin definiția produsului vectorial și scalar ca: unde n este un vector unitate normal pentru a și b. Relația se deduce prin aceste definiții și prin identitatea trigonometrică pitagoreică. Aceasta poate fi de asemenea definită și prin produs scalar. Prin rearanjarea ecuației următoare se obține: Această relație poate fi considerată ca o condiție în produsul scalar și astfel parte din definiția sa. O generalizare a teoremei lui Pitagora are
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
spațiile prehilbertiene, referitoare la vectorii neortogonali, este "legea paralelogramului": care spune că dublul sumei pătratelor lungimilor laturilor unui paralelogram este egal cu suma pătratelor lungimilor diagonalelor. Orice normă care satisface această egalitate este o normă corespondentă unui produs scalar. Identitatea pitagoreică poate fi extinsă la sume pentru mai mult de doi vectori ortogonali. Dacă v, v, ..., v sunt vectori ortogonali perechi într-un spațiu prehilbertian, atunci aplicarea teoremei lui Pitagora pentru perechi succesive formate din acești vectori ia forma relației Teorema
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
S-a arătat că teorema lui Pitagora este de fapt, echivalentă cu axioma paralelelor, adică al cincilea postulat al lui Euclid ). Cu alte cuvinte, în geometria neeuclidiană, relația dintre laturile unui triunghi trebuie să aibă o formă diferită de relația pitagoreică. De exemplu, în geometria sferică, toate cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic (cum ar fi "a", "b" și "c") au lungimea egală cu π/2, și toate unghiurile sale sunt drept, ceea ce se află în contradicție cu teorema lui
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
din Metaponte (sau "Hippasus", în greaca veche: Ἵππασος) a fost un filozof al Greciei antice din secolul al V-lea î.Hr., ce a aparținut școlii pitagoreice. I se atribuie descoperirea existenței numerelor iraționale. Nu prea se cunosc detalii despre viața sa. Se pare că a trăit pe la sfârșitul secolului al V-lea î.Hr. Patria sa de origine a fost Metapontion (azi Metaponto, Italia), Magna Graecia, iar
Hippasos () [Corola-website/Science/320518_a_321847]
-
spațiu și timp. Lui Hippasos i se atribuie și unele studii de teorie muzicală. Se presupune în acest sens că, utilizând discuri de bronz de diferite mărimi, ar fi descoperit raporturile armonice fundamentale: 2:1, 3:2 și 4:3. Pitagoreicii susțineau că toate numerele pot fi scrise ca raportul unor numere întregi. Hipassus a descoperit în secolul V î.Hr. că Φ este un număr care nu este nici întreg (ex: 1;2;...), nici măcar raportul dintre două numere întregi (precum fracțiile
Hippasos () [Corola-website/Science/320518_a_321847]
-
un număr care nu este nici întreg (ex: 1;2;...), nici măcar raportul dintre două numere întregi (precum fracțiile 1/2, 7/6, 45/90 etc., care sunt cunoscute în ansamblu drept numere raționale), adepții faimosului matematician grec Pitagora și anume pitagoreicii au fost extrem de șocați. Concepția pitagoreică despre lume se baza pe o extremă față de arithmos - adică proprietățile intrinseci ale numerelor întregi și ale fracțiilor lor - și presupusul lor rol în cosmos. Înțelegerea faptului că există numere care precum Φ se
Hippasos () [Corola-website/Science/320518_a_321847]
-
întreg (ex: 1;2;...), nici măcar raportul dintre două numere întregi (precum fracțiile 1/2, 7/6, 45/90 etc., care sunt cunoscute în ansamblu drept numere raționale), adepții faimosului matematician grec Pitagora și anume pitagoreicii au fost extrem de șocați. Concepția pitagoreică despre lume se baza pe o extremă față de arithmos - adică proprietățile intrinseci ale numerelor întregi și ale fracțiilor lor - și presupusul lor rol în cosmos. Înțelegerea faptului că există numere care precum Φ se repetă la infinit fără a prezenta
Hippasos () [Corola-website/Science/320518_a_321847]