569 matches
-
prestabilită între o "funcție necunoscută", argumentele acesteia și derivatele ordinare ale sale. În practică, se presupune de obicei că "funcția necunoscută" există, deși stabilirea riguroasă a acestui fapt poate cere noțiuni de topologie. Ordinul unei ecuații diferențiale este dat de derivata de cel mai mare ordin a funcției necunoscute. Odată cu apariția calculului diferențial și integral a început și studiul ecuațiilor diferențiale, necesitatea lor apărând clar din modelele care au dus la construirea conceptelor de bază ale analizei matematice: tangenta la o
Ecuație diferențială ordinară () [Corola-website/Science/298220_a_299549]
-
În analiza matematică, integrala unei funcții este o generalizare a noțiunilor de arie, masă, volum și sumă. Procesul de determinare a unei integrale se numește integrare. Spre deosebire de noțiunea înrudită de derivată, există mai multe definiții posibile ale integralei, fiecare cu suportul său tehnic. Acestea sunt însă compatibile. Oricare două moduri de integrare a unei funcții vor da aceleași rezultate când ambele sunt definite. În mod intuitiv, integrala unei funcții continue, pozitive
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
b", axa "x" și graficul funcției "f". Formal, considerând atunci integrala funcției "f" între "a" și "b" este măsura lui "S". Termenul "integrală" se poate referi și la noțiunea de primitivă a unei funcții, adică o funcție "F" a cărei derivată este funcția dată "f". În acest caz, se numește integrală nedefinită, pe când integralele discutate în acest articol sunt numite integrale definite. Principiile integrării au fost enunțate de Isaac Newton și Gottfried Wilhelm Leibniz la sfârșitul secolului al XVII-lea. Prin
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
se poate obține următoarea expresie pentru entropia pe unitatea de arie: Ecuația lui Kelvin pentru suprafețe rezultă din rearanjarea ecuației de mai sus. Ea afirmă că entalpia suprafeței sau energia suprafeței depind ambele de coeficientul de tensiune superficială și de derivata ei în raport cu temperatura la presiune constantă prin relația: Presiunea din interiorul unui balon de săpun ideal (cu o singură suprafață) poate fi calculată din considerațiile termodinamice privind energia liberă. La temperatură și număr de particule constante, formula 70, energia liberă Helmholtz
Tensiune superficială () [Corola-website/Science/317039_a_318368]
-
scalar) "I" față de origine este definit de ecuația unde "m" și r reprezintă masă și poziția particulei k. Virialul scalar "G" este definit de ecuația unde p este impulsul particulei "k". Presupunând masele constante, virialul " G" este 1/2 din derivată în timp a acestui moment de inerție În schimb, derivată în timp a virialului " G" poate fi scrisă sau, mai simplu, Aici "m" este masă particulei "k", formula 10 este forța netă ce acționează asupra acelei particule iar "Ț" este energia
Teorema virialului () [Corola-website/Science/317213_a_318542]
-
suma tuturor forțelor care acționează asupra acesteia din partea tuturor celorlalte particule din sistem (presupunem că sistemul este izolat și forțe externe nu există) unde formulă 14 este forța aplicată de către particulă "j" asupra particulei "k". Prin urmare, termenul forțelor din componența derivatei virialului poate fi scris că Din moment ce nici o particulă nu acționează asupra ei înseși (adică, formula 16 atunci cand formulă 17) avem unde am presupus că legea acțiunii și reacțiunii (a treia lege a lui Newton) este valabilă, adică formulă 19 (forțele dintre două particule
Teorema virialului () [Corola-website/Science/317213_a_318542]
-
și "k". Din moment ce forță este minus gradientul energiei potențiale avem care este clar antisimetrica în "r", adică opusă lui formulă 21. Termenul din paranteză da doar direcția (de la "j" la "k" ) și este de modul 1. Prin urmare, termenul forțelor din derivată în timp a virialului este Astfel avem Lordul Rayleigh a publicat o generalizare a teoremei virialului în 1903. Henri Poincaré a aplicat o formă a teoremei virialului în 1911 problemei stabilității cosmologice. O formă variaționala a teoremei virialului a fost
Teorema virialului () [Corola-website/Science/317213_a_318542]
-
obținem: O diferențiere termen cu termen puțin diferită, ne conduce la: Aplicând regula produsului și a simplificărilor obținem: Punând formula 43 și folosind proprietatea de simplificare, obținem: Aplicând această proprietate de p ori, obținem: Similar, Aplicând această proprietate de q ori derivatei, obținem: Comparând cele de mai sus, obținem o ecuație diferențială pentru funcția: defintă de seria: Inversând formulele de diferențiere, obtinem următoarele formule de integrare: 1° pentru formula 50 2° pentru formula 52 Folosind la integrare metoda substituției, pentru formula 54, obținem: De exemplu
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
formula 23 În optică, ecuația neliniară a lui Schrödinger apare în sisteme Markov, care este un model al propagărilor undelor în fibrele optice. Funcția formula 25 reprezintă o undă, iar ecuația neliniară a lui Schrödinger descrie propagarea undei printr-un mediu neliniar. Derivata de ordinul doi reprezintă dispersia undei, în timp ce termenul κ reprezintă neliniaritatea ei. Ecuația modelează multe efecte din fibra oprică, precum modulația autofazică, generarea armonicii secundare, stimularea dispersiei Raman, etc. Pentru o undă generată de vânt, sau simplu "undă de vânt
Ecuația Schrödinger neliniară () [Corola-website/Science/317730_a_319059]
-
pentru interacțiunea dintre bosoni. Starea fundamentală este un nivel Fermi. Condițiile la limită periodice conduc la ecuația Bethe. Sub formă logaritmică, ecuația Bethe poate fi generată prin acțiune Yang. Pătratul normei funcției de undă Bethe este egal cu determinantul matricei derivatei de ordinul al doilea al acțiunii Yang (Vladimir Korepin). Soluția exactă a modelului numit s-d (dat de P.B. Wiegmann în 1980 și independent de N. Andrei, în 1980) și modelui Anderson (dat de P.B. Wiegmann în 1981, și de
Bethe Ansatz () [Corola-website/Science/317747_a_319076]
-
oarecare. Paranteza lui Poisson verifică următoarele relații: Ultima relație poartă numele de identitatea Poisson-Jacobi. [[Ecuația Hamilton-Jacobi|Ecuația de mișcare Hamilton-Jacobi]] are o expresie echivalentă în termenii parantezei lui Poisson. Pentru a demonstra acest lucru fie o funcție formula 17 a cărei derivată cu timpul se scrie: Considerând că, formula 19 și formula 20 sunt soluțiile ecuației Hamilton-Jacobi, atunci: formula 21 și formula 22. Dacă le înlocuim în ecuațiile de mai sus, obținem: Dacă folosim operatorul lui Liouville formula 24, atunci: Interesul deosebit al parantezei lui Poisson este
Paranteza lui Poisson () [Corola-website/Science/317866_a_319195]
-
schimbă energia cinetică în energie potențială și invers, precum și pentru sisteme dinamice complexe, de exemplu orbitele planetare din mecanica cerească, sau cele din mecanica cuantică. Ecuațiile lui Hamilton sunt scrise la modul general sub forma: În aceste ecuații punctul denotă derivata în raport cu timpul a funcțiilor "p = p(t)", numit impuls generalizat, și "q = q(t)", numită coordonată generalizată, iar "formula 3 = formula 4" este hamiltonianul. Mai explicit, putem scrie: dar trebuie să specificăm domeniul în care variază timpul "t". Dacă aplicăm ecuațiile lui
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
respectiv "V". În acest sistem "q" este coordonata "x", iar "p" este impulsul "mv". Astfel că, obținem: De notat că "T" este funcție numai de "p", iar "V" este funcție numai de "x" (sau "q"). În ecuațiile de mai sus, derivata în funcție de timp a impulsului "p" egalează "forța Newtoniană", deci, din prima ecuație rezultă că forța particulei egalează rata cu care pierde energie potențială prin schimbarea coordonatei "x", adică, forța egalează gradientul negativ al potențialului energetic. Derivata în timp a lui
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
ecuațiile de mai sus, derivata în funcție de timp a impulsului "p" egalează "forța Newtoniană", deci, din prima ecuație rezultă că forța particulei egalează rata cu care pierde energie potențială prin schimbarea coordonatei "x", adică, forța egalează gradientul negativ al potențialului energetic. Derivata în timp a lui "q" înseamnă viteză, deci: A doua ecuație a lui Hamilton înseamnă că viteza particulei egalează derivata energiei cinetice prin schimbarea impulsului. Prin derivare în funcție de "p" a formulei "p/2m" se obține "p/m = mv/m = v.
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
particulei egalează rata cu care pierde energie potențială prin schimbarea coordonatei "x", adică, forța egalează gradientul negativ al potențialului energetic. Derivata în timp a lui "q" înseamnă viteză, deci: A doua ecuație a lui Hamilton înseamnă că viteza particulei egalează derivata energiei cinetice prin schimbarea impulsului. Prin derivare în funcție de "p" a formulei "p/2m" se obține "p/m = mv/m = v." Ecuațiile lui Hamilton sunt atractive având în vedere simplitatea și simetria lor. Ele au fost analizate din toate punctele de
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
Poisson, iar paranteza Poisson dă spațiul funcțiilor pe structura mulțimii unei algebre Lie. Fiind dată funcția "f", aven: Dacă avem o probabilitate de distribuție ρ, deoarece viteza din spațiul fazelor (formula 33) are divergența egală cu zero și probabilitatea se conservă, derivata ei convectivă este zero și putem scrie: Aceasta se numește teorema lui Liouville: Fiecare funcție netedă "G" peste o mulțime simplectică generează o familie uniparametrică de simplectomorfisme, iar dacă { "G", "H" } = 0, atunci " G" se conservă, iar simplectomorfismele sunt transformări
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
putând rezolva problema originală. Ecuația Hamilton-Jacobi este foarte folositoare când poate fi rezolvată via variabilelor separabile aditive, care identifică direct constantele de mișcare. De exemplu, timpul t poate fi separat dacă Hamiltonianul nu depinde explicit de timp. Î acest caz, derivata funcție de timp formula 50 trebuie să fie o constantă, notată cu formula 51, dând soluția: în care, funcția independentă de timp formula 53 este numită uneori și funcția caracteristică a lui Hamilton. Atunci, ecuația Hamilton-Jacobi redusă poate fi scrisă astfel: Pentru a ilustra
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
soluția: în care, funcția independentă de timp formula 53 este numită uneori și funcția caracteristică a lui Hamilton. Atunci, ecuația Hamilton-Jacobi redusă poate fi scrisă astfel: Pentru a ilustra separabilitatea și pentru alte variabile presupunem că, oricare coordonată generalizată formula 55 și derivata ei formula 56 apar împreună în Hamiltonian ca o singură funcție formula 57, iar H se scrie: În acest caz, funcția formula 3 poate fi despărțită în două funcții, una care depinde numai de formula 55 și alta care depinde numai de coordonatele generalizate
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
de analiza vectorială obișnuită. Ea apare în fizică în legătură cu formularea lui Carathéodory a principiului al doilea al termodinamicii. O 1-formă diferențială (sau formă Pfaff) Ω este o expresie:formula 1 unde "a,a..,a" sunt funcții netede (cu cel puțin o derivată continuă) de x="(x,x..x)" iar "dx" sunt "diferențiale" (deplasări infinitezimale în direcțiile "x"). Dacă funcțiile "x(t)...x(t)", t ε [t,t], parametrizează o curbă C în spațiul n-dimensional R, se poate defini univoc integrala :formula 2
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
raza de convergență a serie formula 27, avem Această teoremă are mai multe consecințe: atunci Seria derivatelor având aceeași rază de convergență ca și seria inițială, rezultă că seria derivatelor este uniform convergentă în intervalul de convergență a seriei inițiale. Deci, derivata sumei formula 14 este egală cu suma seriei derivatelor termenilor, formula 36. care are ca rază de convergență formula 53. cu coeficienți formula 80 definiți de egalitatea formula 81. formula 83 Marcel Roșculeț, "Analiză matematică", Editura Didactică și Pedagogică, București, 1984
Serie de puteri () [Corola-website/Science/318079_a_319408]
-
a unui punct material aflat în mișcare pe o traiectorie curbilinie. Formula de definiție este dată de expresia: Unde formula 1 este vectorul viteză areolară, formula 2 vectorul ariei și formula 3 este timpul. Cu alte cuvinte, vectorul viteză areolară este egală cu derivata de ordinul întâi în raport cu timpul a vectorului de arie descris de raza vectoare. Se măsoară în SI în m /s. Viteza areolară este utilizată în general pentru descrierea mișcărilor punctului material în câmp central de forțe, în particular, pentru studiul
Viteză areolară () [Corola-website/Science/319537_a_320866]
-
scurt, cu atât acest raport va fi mai aproape de vectorul viteză în punctul formula 5 (la momentul t). Viteza areolară instantanee se găsește prin trecerea sub limită a raportului formula 15 cu formula 8 tinzând la zero: Prin urmare: "viteza areolară instantanee " reprezintă derivata de ordinul întâi în raport cu timpul a vectorului arie măturată de raza vectoare. Vectorii rază vectoare, viteză și viteză unghiulară, fiind dependente de timp și legate intrinsec de traiectoria mișcării sunt legate de viteza areolară. Pentru deducerea relației dintre vectorul viteză
Viteză areolară () [Corola-website/Science/319537_a_320866]
-
ce acționează concomitent asupra punctului la un moment dat (forțe aplicate). formula 15 formula 16 <br> O interpretare fizică a teoremei impulsului este aceea că rezultanta forțelor aplicate punctului material este egală cu „viteza de variație în timp” a impulsului său. Dacă derivata din expresia teoremei este pozitivă (impulsul crește), atunci rezultanta forțelor este o "forță motoare", adică o forță care produce accelerarea mișcării. În situația în care derivata este negativă (impulsul descrește), atunci rezultanta forțelor este o "forță rezistentă", deci o forță
Teoreme generale ale mecanicii () [Corola-website/Science/319681_a_321010]
-
punctului material este egală cu „viteza de variație în timp” a impulsului său. Dacă derivata din expresia teoremei este pozitivă (impulsul crește), atunci rezultanta forțelor este o "forță motoare", adică o forță care produce accelerarea mișcării. În situația în care derivata este negativă (impulsul descrește), atunci rezultanta forțelor este o "forță rezistentă", deci o forță ce are ca efect încetinirea mișcării. O consecință importantă a teoremei impulsului este legea "conservării impulsului" care se deduce din teoremă pentru cazul în care rezultanta
Teoreme generale ale mecanicii () [Corola-website/Science/319681_a_321010]
-
din teoremă pentru cazul în care rezultanta forțelor aplicate este nulă. Dacă sistemul mecanic este izolat, adică asupra punctului material nu acționează nicio forță sau rezultanta tuturor forțelor aplicate este egal cu zero, atunci din expresia teoremei impulsului rezultă că derivata impulsului se anulează: formula 17 De unde, în mod firesc rezultă egalitatea: formula 18 Pe baza acestor considerente se poate enunța "legea conservării impulsului punctului" material: Relația formula 19 reprezintă o integrală primă vectorială a mișcării, echivalentă cu trei integrale prime scalare: formula 20. Masa
Teoreme generale ale mecanicii () [Corola-website/Science/319681_a_321010]