5,288 matches
-
fiecare triunghi galben are aria egală cu 1/8 din aria triunghiului verde, cel roșu 1/8 din cel galben și tot așa. Folosind metoda epuizării, urmează că aria totală a segmentului parabolic este dată de: Aici "T" reprezintă aria triunghiului albastru, al doilea termen aria totală a celor două triunghiuri verzi, al treilea aria totală a triunghiurilor galbene și tot așa. Simplificând, obținem: Pentru a completa demonstrația, Arhimede a arătat că Expresia din partea stângă este o progresie geometrică cu rația
Cuadratura parabolei () [Corola-website/Science/322554_a_323883]
-
aria triunghiului verde, cel roșu 1/8 din cel galben și tot așa. Folosind metoda epuizării, urmează că aria totală a segmentului parabolic este dată de: Aici "T" reprezintă aria triunghiului albastru, al doilea termen aria totală a celor două triunghiuri verzi, al treilea aria totală a triunghiurilor galbene și tot așa. Simplificând, obținem: Pentru a completa demonstrația, Arhimede a arătat că Expresia din partea stângă este o progresie geometrică cu rația 1/4. Arhimede a evaluat suma folosind metoda geometrică, ilustrată
Cuadratura parabolei () [Corola-website/Science/322554_a_323883]
-
din cel galben și tot așa. Folosind metoda epuizării, urmează că aria totală a segmentului parabolic este dată de: Aici "T" reprezintă aria triunghiului albastru, al doilea termen aria totală a celor două triunghiuri verzi, al treilea aria totală a triunghiurilor galbene și tot așa. Simplificând, obținem: Pentru a completa demonstrația, Arhimede a arătat că Expresia din partea stângă este o progresie geometrică cu rația 1/4. Arhimede a evaluat suma folosind metoda geometrică, ilustrată în figura din dreapta, care arată un pătrat
Cuadratura parabolei () [Corola-website/Science/322554_a_323883]
-
De asemenea Suter a făcut cel puțin o greșală topologică într-un punct crucial, egalând lungimea unei laturi cu diagonala, caz în care figura nu mai poate fi pătrat. Dar, deoarece diagonalele unui pătrat se intersectează în unghi drept, prezența triunghiurilor dreptunghice face ca prima propoziție din "Stomachion" să rezulte imediat. Mai exact, prima propoziție asamblează o figură constând din două pătrate alăturate (ca într-un Tangram). O reconsiderare a figurii lui Suter cu figura din Codex a fost publicată de
Manuscrisul lui Arhimede () [Corola-website/Science/322546_a_323875]
-
jos. Pentru figura din Codex există trei moduri de a grupa piesele; ca două pătrate alăturate lateral; ca două pătrate unul deasupra celuilalt; sau ca un singur pătrat cu latura radical din doi. Dar cheia acestor grupări este formarea de triunghiuri isoscele drepte, așa cum, luându-l în considerație Meno al lui Plato, Socrate a obținut copilul sclav, susținând cunoașterea prin amintire, și aici recunoașterea modelului din memorie pare a fi mult mai pertinent decât numărul de soluții. Figura din Codex poate
Manuscrisul lui Arhimede () [Corola-website/Science/322546_a_323875]
-
exemplu în limbaj modern este aria parabolei. Arhimede folosește o metodă mult mai elegantă, dar în limbaj cartezian, metoda lui este aceea de a calcula integrala: care are ca rezultat valoarea 1/3. Pentru a găsi rezultatul integralei, considerăm un triunghi în echilibru cu parabola. Triunghiul este o regiune din planul "x"-"y" aflat între axa "x" și dreapta "y" = "x", cu "x" variind de la 0 la 1. Parabola este o regiune aflată în planul "x"-"y" între axa "x" și
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
aria parabolei. Arhimede folosește o metodă mult mai elegantă, dar în limbaj cartezian, metoda lui este aceea de a calcula integrala: care are ca rezultat valoarea 1/3. Pentru a găsi rezultatul integralei, considerăm un triunghi în echilibru cu parabola. Triunghiul este o regiune din planul "x"-"y" aflat între axa "x" și dreapta "y" = "x", cu "x" variind de la 0 la 1. Parabola este o regiune aflată în planul "x"-"y" între axa "x" și curba "y" = "x", cu "x
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
între axa "x" și dreapta "y" = "x", cu "x" variind de la 0 la 1. Parabola este o regiune aflată în planul "x"-"y" între axa "x" și curba "y" = "x", cu "x" variind de asemenea de la 0 la 1. Descompunem triunghiul și parabola în fâșii verticale subțiri, pentru fiecare valoare a lui "x". Să ne imaginăm că axa "x" este o pârghie cu punctul de sprijin în x = 0. Legea pârghiilor spune că produsul dintre masa și distanța la punctul de
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
că axa "x" este o pârghie cu punctul de sprijin în x = 0. Legea pârghiilor spune că produsul dintre masa și distanța la punctul de sprijin trebuie să fie egal pentru cele două obiecte în echilibru. Masa fâșiei verticale a triunghiului la distanța x de punctul de sprijin este egală cu înălțimea ei, astfel că va echilibra fâșia de parabolă, având înălțimea x, dacă va fi amplasată la o distanța egală cu 1 de cealaltă parte a punctului de sprijin. Deoarece
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
că va echilibra fâșia de parabolă, având înălțimea x, dacă va fi amplasată la o distanța egală cu 1 de cealaltă parte a punctului de sprijin. Deoarece fiecare fâșie este în echilibru, întreaga parabolă va fi în echilibru cu întregul triunghi. Acest lucru însemnă că, dacă parabola este atârnată de un cârlig în punctul "x = -1", ea va echilibra triunghiul aflat între "x = 0" și "x = 1". Centrul de greutate al triunghiului poate fi ușor aflat prin următoarea metodă, datorată tot
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
de cealaltă parte a punctului de sprijin. Deoarece fiecare fâșie este în echilibru, întreaga parabolă va fi în echilibru cu întregul triunghi. Acest lucru însemnă că, dacă parabola este atârnată de un cârlig în punctul "x = -1", ea va echilibra triunghiul aflat între "x = 0" și "x = 1". Centrul de greutate al triunghiului poate fi ușor aflat prin următoarea metodă, datorată tot lui Arhimede. Dacă o linie mediană este desenată din oricare vârf pe latura opusă în "E", triunghiul va fi
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
echilibru, întreaga parabolă va fi în echilibru cu întregul triunghi. Acest lucru însemnă că, dacă parabola este atârnată de un cârlig în punctul "x = -1", ea va echilibra triunghiul aflat între "x = 0" și "x = 1". Centrul de greutate al triunghiului poate fi ușor aflat prin următoarea metodă, datorată tot lui Arhimede. Dacă o linie mediană este desenată din oricare vârf pe latura opusă în "E", triunghiul va fi în echilibru pe mediană considerată ca punct de sprijin. Motivul este acela
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
va echilibra triunghiul aflat între "x = 0" și "x = 1". Centrul de greutate al triunghiului poate fi ușor aflat prin următoarea metodă, datorată tot lui Arhimede. Dacă o linie mediană este desenată din oricare vârf pe latura opusă în "E", triunghiul va fi în echilibru pe mediană considerată ca punct de sprijin. Motivul este acela că dacă triunghiul va fi împărțit în segmente paralele cu latura pe care se află E, fiecare segment are lungimi egale față de mediană, iar echilibrul se
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
ușor aflat prin următoarea metodă, datorată tot lui Arhimede. Dacă o linie mediană este desenată din oricare vârf pe latura opusă în "E", triunghiul va fi în echilibru pe mediană considerată ca punct de sprijin. Motivul este acela că dacă triunghiul va fi împărțit în segmente paralele cu latura pe care se află E, fiecare segment are lungimi egale față de mediană, iar echilibrul se stabilește datorită simetriei. Acest argument poate fi ușor făcut riguros prin folosirea de dreptughiuri foarte mici în loc de
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
egale față de mediană, iar echilibrul se stabilește datorită simetriei. Acest argument poate fi ușor făcut riguros prin folosirea de dreptughiuri foarte mici în loc de linii, iar acest lucru l-a făcut Arhimede în lucrarea Despre Echilibrul Planelor. Deci centrul maselor unui triunghi trebuie să fie la intersecția medianelor. Pentru triunghiul în chestiune, o mediană este linia "y = 1/2", în timp ce a doua mediană este linia "y = 1 -x". Intersecția celor două mediane se află în punctul "x = 2/3", deci întreaga masă
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
simetriei. Acest argument poate fi ușor făcut riguros prin folosirea de dreptughiuri foarte mici în loc de linii, iar acest lucru l-a făcut Arhimede în lucrarea Despre Echilibrul Planelor. Deci centrul maselor unui triunghi trebuie să fie la intersecția medianelor. Pentru triunghiul în chestiune, o mediană este linia "y = 1/2", în timp ce a doua mediană este linia "y = 1 -x". Intersecția celor două mediane se află în punctul "x = 2/3", deci întreaga masă a triunghiului se află în acest punct. Aria
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
să fie la intersecția medianelor. Pentru triunghiul în chestiune, o mediană este linia "y = 1/2", în timp ce a doua mediană este linia "y = 1 -x". Intersecția celor două mediane se află în punctul "x = 2/3", deci întreaga masă a triunghiului se află în acest punct. Aria întregului triunghi este 1/2, deci momentul total al triunghiului față de punctul se sprijin este egal cu 1/3. Rezultă că masa parabolei, precum și aria ei, trebuie să fie 1/3. Această metodă poate
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
chestiune, o mediană este linia "y = 1/2", în timp ce a doua mediană este linia "y = 1 -x". Intersecția celor două mediane se află în punctul "x = 2/3", deci întreaga masă a triunghiului se află în acest punct. Aria întregului triunghi este 1/2, deci momentul total al triunghiului față de punctul se sprijin este egal cu 1/3. Rezultă că masa parabolei, precum și aria ei, trebuie să fie 1/3. Această metodă poate fi folosită pentru a a calcula aria oricărei
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
în timp ce a doua mediană este linia "y = 1 -x". Intersecția celor două mediane se află în punctul "x = 2/3", deci întreaga masă a triunghiului se află în acest punct. Aria întregului triunghi este 1/2, deci momentul total al triunghiului față de punctul se sprijin este egal cu 1/3. Rezultă că masa parabolei, precum și aria ei, trebuie să fie 1/3. Această metodă poate fi folosită pentru a a calcula aria oricărei secțiuni arbitrare a unei parabole. Similar argumentele pot
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
fi marea lui realizare, cerând ca figura cu echilibrul sferei, a conului și a cilindrului să fie gravate pe piatra de mormânt. Pentru a găsi aria sferei Arhimede argumentează că, așa cum aria cerului poate fi împărțită într-o infinitate de triunghiuri mici în jurul circumferinței (vezi Măsurarea cercului), tot așa volumul sferi poate fi divizat în multe conuri cu înălțimea egală cu raza, iar baza să fie pe sferă. Toate conurile vor avea aceeași înălțime, deci volumul lor va fi 1/3
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
satisfac condițiile: și prisma circulară, care satisfac condițiile: Ambele probleme au o porțiune care produce o integrală simplă pentru metoda mecanică. Pentru prisma circulară, tăiem axa "x" în felii. Regiunea din planul "y"-"z" la orice x este interioară unui triunghi dreptunghic de lungime formula 20 a cărui arie este formula 21, astfel că volumul total este: Care poate fi ușor rectificat folosind metoda mecanică, adăugând fiecărei secțiuni trunghiulare o secțiune a unei piramide triunghiulare cu aria formula 23 echilibrând o prismă a cărei
Metoda Teoremelor Mecanicii () [Corola-website/Science/322556_a_323885]
-
Oricare două drepte AX și AY se numesc izogonal conjugate în raport cu triunghiul "ABC" dacă formulă 1 are aceeași bisectoare că a formula 2. Punctul izogonal conjugat al unui punct "P" în raport cu triunghiul "ABC" se construiește prin reflexia dreptelor "PA", "PB" și "PC" față de bisectoarele unghiurilor "A", "B" și "C". Punctul izogonal conjugat al lui
Izogonal conjugat () [Corola-website/Science/322564_a_323893]
-
Oricare două drepte AX și AY se numesc izogonal conjugate în raport cu triunghiul "ABC" dacă formulă 1 are aceeași bisectoare că a formula 2. Punctul izogonal conjugat al unui punct "P" în raport cu triunghiul "ABC" se construiește prin reflexia dreptelor "PA", "PB" și "PC" față de bisectoarele unghiurilor "A", "B" și "C". Punctul izogonal conjugat al lui "P" este punctul "P*" din figură. Punctul izogonal conjugat al lui "P*" is "P". Punctul izogonal conjugat al
Izogonal conjugat () [Corola-website/Science/322564_a_323893]
-
izogonal conjugat al lui "P" este punctul "P*" din figură. Punctul izogonal conjugat al lui "P*" is "P". Punctul izogonal conjugat al centrului cercului înscris este el însuși "I". Punctul izogonal al ortocentrului "H" este centrul "O" al cercului circumscris triunghiului. Punctul izogonal conjugat al centrului de greutate "G" al triunghiului este (prin definitie) punctul simedian "K". În coordonate triliniare, dacă "X" = "x" : "y" : "z" este un punct care nu se află pe lațurile triunghiului "ABC", atunci izogonalul lui conjugat este
Izogonal conjugat () [Corola-website/Science/322564_a_323893]
-
Punctul izogonal conjugat al lui "P*" is "P". Punctul izogonal conjugat al centrului cercului înscris este el însuși "I". Punctul izogonal al ortocentrului "H" este centrul "O" al cercului circumscris triunghiului. Punctul izogonal conjugat al centrului de greutate "G" al triunghiului este (prin definitie) punctul simedian "K". În coordonate triliniare, dacă "X" = "x" : "y" : "z" este un punct care nu se află pe lațurile triunghiului "ABC", atunci izogonalul lui conjugat este 1/"x" : 1/"y" : 1/"z". Din acest motiv, izogonalul
Izogonal conjugat () [Corola-website/Science/322564_a_323893]