57,520 matches
-
mai puțin vizibil) axioma lui Euclid. Teorema lui Pitagora a fost cunoscută mult timp înainte de Pitagora, dar el a fost primul care a demonstrat-o. În orice mod, demonstrația atribuită lui este foarte simplă, și apelează la o rearanjare a figurilor. Cele două pătrate mari reprezentate în figură conțin fiecare patru triunghiuri identice, iar singura diferență dintre cele două pătrate mari este faptul că triunghiurile sunt aranjate într-un mod diferit. Astfel, spațiul alb din interiorului fiecărui pătrat mare trebuie să
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
lui Pitagora a fost cunoscută mult timp înainte de Pitagora, dar el a fost primul care a demonstrat-o. În orice mod, demonstrația atribuită lui este foarte simplă, și apelează la o rearanjare a figurilor. Cele două pătrate mari reprezentate în figură conțin fiecare patru triunghiuri identice, iar singura diferență dintre cele două pătrate mari este faptul că triunghiurile sunt aranjate într-un mod diferit. Astfel, spațiul alb din interiorului fiecărui pătrat mare trebuie să aibă aceeași suprafață. Egalând suprafețele spațiilor albe
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
două triunghiuri asemenea, adică are în vedere faptul că raportul dintre oricare două laturi corespondente ale triunghiurilor asemenea este aceeași, indiferent de mărimea triunghiurilor. Fie "ABC" un triunghi dreptunghic, cu unghiul drept aflat în punctul "C", după cum se observă în figură. Se desenează înălțimea în triunghi din punctul "C", astfel ca "H" să fie punctul de intersecție al înălțimii cu latura "AB". Punctul "H" împarte ipotenuza "c" în două părți, numite "d" și "e". Noul triunghi, "ACH", este asemenea cu triunghiul
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
asemenea cu triunghiul "ABC", deoarece ambele au un unghi drept (prin definiție, înălțimea formează un unghi drept), iar unghiul lor comun este "A", ceea ce înseamnă că cel de-al treilea unghi va fi același în ambele triunghiuri, marcat "θ" pe figură. Printr-o rațiune similară, triunghiul "CBH" este și el asemenea cu triunghiul "ABC". Demonstrația asemănării triunghiurilor recurge la postulatul triunghiului: suma unghiurilor într-un triunghi este egală cu două unghiuri drepte, dar și la postulatul paralelismului. Asemănarea triunghiurilor ne conduce
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
mic cu aceste dreptunghiuri se formează două pătrate de suprafețe "a" și "b", care vor avea aceeași suprafață cu pătratul mare inițial. O a treia demonstrație este reprezentată în imaginea din dreapta. Pătratele superioare sunt divizate după cum se poate observa, în figuri cu nuanțe de albastru și verde, iar aceste figuri mici pot fi rearanjate pentru a umple pătratul mare inferior. Analog, acest lucru se poate face și invers. Astfel, se poate observa faptul că suprafața pătratului mare este egală cu suprafețele
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
suprafețe "a" și "b", care vor avea aceeași suprafață cu pătratul mare inițial. O a treia demonstrație este reprezentată în imaginea din dreapta. Pătratele superioare sunt divizate după cum se poate observa, în figuri cu nuanțe de albastru și verde, iar aceste figuri mici pot fi rearanjate pentru a umple pătratul mare inferior. Analog, acest lucru se poate face și invers. Astfel, se poate observa faptul că suprafața pătratului mare este egală cu suprafețele pătratelor mici. Teorema poate fi demonstrată algebric cu ajutorul a
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
incomensurabile" (adică raportul dintre ele nu este un număr rațional) pot fi construite cu ajutorul riglei și compasului. Teorema lui Pitagora oferă posibilitatea construirii unor segmente de lungimi incomensurabile deoarece ipotenuza unui triunghi este legată de operația numită rădăcină pătrată. În figura din dreapta este ilustrat modul de construcție al unui segment a cărui lungime este rădăcina pătrată a oricărui număr întreg pozitiv, prin referire la alte două segmente. Fiecare triunghi are o latură (numerotată cu "1") care este aleasă ca unitate de
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
deduce că: unde ultima ecuație aplică teorema lui Pitagora. Această relație dintre sinus și cosinus este câteodată denumită identitatea trigonometrică pitagoreică fundamentală. În triunghiuri asemenea, raportul dintre laturi este același indiferent de mărimile lor, și depinde de unghiuri. Astfel, în figură, triunghiul cu ipotenuza de mărime egală cu 1 are cateta opusă de mărimea sin "θ" și cateta alăturată de mărimea cos "θ". Teorema lui Pitagora are o legătură strânsă și cu produsul vectorial și cu produsul scalar: Această relație poate
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
rearanjarea ecuației următoare se obține: Această relație poate fi considerată ca o condiție în produsul scalar și astfel parte din definiția sa. O generalizare a teoremei lui Pitagora are la bază pătratele plasate pe un triunghi dreptunghic. Proprietățile referitoare la figurile asemenea plasate pe laturile unui triunghi erau cunoscute deja de Hipocrate din Chios din secolul V î.Hr., și a fost inclusă de Euclid în lucrarea sa, "Elementele": Dacă cineva construiește figuri asemenea pe fiecare dintre laturile corespondente laturilor unui triunghi
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
pătratele plasate pe un triunghi dreptunghic. Proprietățile referitoare la figurile asemenea plasate pe laturile unui triunghi erau cunoscute deja de Hipocrate din Chios din secolul V î.Hr., și a fost inclusă de Euclid în lucrarea sa, "Elementele": Dacă cineva construiește figuri asemenea pe fiecare dintre laturile corespondente laturilor unui triunghi dreptunghi, atunci suma suprafețelor figurilor de pe laturile mici (catete) este egală cu suprafața figurii de pe latura mare (ipotenuză). Această extindere asumă faptul că laturile triunghiului original sunt laturile corespondente ale celor
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
unui triunghi erau cunoscute deja de Hipocrate din Chios din secolul V î.Hr., și a fost inclusă de Euclid în lucrarea sa, "Elementele": Dacă cineva construiește figuri asemenea pe fiecare dintre laturile corespondente laturilor unui triunghi dreptunghi, atunci suma suprafețelor figurilor de pe laturile mici (catete) este egală cu suprafața figurii de pe latura mare (ipotenuză). Această extindere asumă faptul că laturile triunghiului original sunt laturile corespondente ale celor trei figuri congruente (așadar raportul dintre laturile figurilor asemenea de pe triunghi este "a:b
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
din secolul V î.Hr., și a fost inclusă de Euclid în lucrarea sa, "Elementele": Dacă cineva construiește figuri asemenea pe fiecare dintre laturile corespondente laturilor unui triunghi dreptunghi, atunci suma suprafețelor figurilor de pe laturile mici (catete) este egală cu suprafața figurii de pe latura mare (ipotenuză). Această extindere asumă faptul că laturile triunghiului original sunt laturile corespondente ale celor trei figuri congruente (așadar raportul dintre laturile figurilor asemenea de pe triunghi este "a:b:c"). Dacă demonstrația lui Euclid avea aplicabilitate numai pe
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
pe fiecare dintre laturile corespondente laturilor unui triunghi dreptunghi, atunci suma suprafețelor figurilor de pe laturile mici (catete) este egală cu suprafața figurii de pe latura mare (ipotenuză). Această extindere asumă faptul că laturile triunghiului original sunt laturile corespondente ale celor trei figuri congruente (așadar raportul dintre laturile figurilor asemenea de pe triunghi este "a:b:c"). Dacă demonstrația lui Euclid avea aplicabilitate numai pe poligoanele convexe, teorema se aplică de asemenea și poligoanelor concave și chiar figurilor asemenea cu margini curbe (dar care
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
unui triunghi dreptunghi, atunci suma suprafețelor figurilor de pe laturile mici (catete) este egală cu suprafața figurii de pe latura mare (ipotenuză). Această extindere asumă faptul că laturile triunghiului original sunt laturile corespondente ale celor trei figuri congruente (așadar raportul dintre laturile figurilor asemenea de pe triunghi este "a:b:c"). Dacă demonstrația lui Euclid avea aplicabilitate numai pe poligoanele convexe, teorema se aplică de asemenea și poligoanelor concave și chiar figurilor asemenea cu margini curbe (dar care au o parte din figură legată
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
sunt laturile corespondente ale celor trei figuri congruente (așadar raportul dintre laturile figurilor asemenea de pe triunghi este "a:b:c"). Dacă demonstrația lui Euclid avea aplicabilitate numai pe poligoanele convexe, teorema se aplică de asemenea și poligoanelor concave și chiar figurilor asemenea cu margini curbe (dar care au o parte din figură legată de una dintre laturile triunghiului). Ideea de bază a acestei generalizări este aceea că suprafața unei figuri plane este proporțională cu pătratul oricărei dimensiuni liniare, și în particular
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
laturile figurilor asemenea de pe triunghi este "a:b:c"). Dacă demonstrația lui Euclid avea aplicabilitate numai pe poligoanele convexe, teorema se aplică de asemenea și poligoanelor concave și chiar figurilor asemenea cu margini curbe (dar care au o parte din figură legată de una dintre laturile triunghiului). Ideea de bază a acestei generalizări este aceea că suprafața unei figuri plane este proporțională cu pătratul oricărei dimensiuni liniare, și în particular este proporțională cu pătratul lungimii oricărei laturi. Astfel, dacă figurile asemenea
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
convexe, teorema se aplică de asemenea și poligoanelor concave și chiar figurilor asemenea cu margini curbe (dar care au o parte din figură legată de una dintre laturile triunghiului). Ideea de bază a acestei generalizări este aceea că suprafața unei figuri plane este proporțională cu pătratul oricărei dimensiuni liniare, și în particular este proporțională cu pătratul lungimii oricărei laturi. Astfel, dacă figurile asemenea de laturi "A", "B" și "C" sunt construite cu lungimile corespunzătoare "a", "b" și "c", atunci: Dar, conform
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
din figură legată de una dintre laturile triunghiului). Ideea de bază a acestei generalizări este aceea că suprafața unei figuri plane este proporțională cu pătratul oricărei dimensiuni liniare, și în particular este proporțională cu pătratul lungimii oricărei laturi. Astfel, dacă figurile asemenea de laturi "A", "B" și "C" sunt construite cu lungimile corespunzătoare "a", "b" și "c", atunci: Dar, conform teoremei lui Pitagora, "a" + "b" = "c", așadar "A" + "B" = "C". În schimb, dacă se poate demonstra faptul că este adevărată exoresia
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
și "C" sunt construite cu lungimile corespunzătoare "a", "b" și "c", atunci: Dar, conform teoremei lui Pitagora, "a" + "b" = "c", așadar "A" + "B" = "C". În schimb, dacă se poate demonstra faptul că este adevărată exoresia "A" + "B" = " C" pentru trei figuri asemenea fără să se folosească teorema lui Pitagora, atunci este posibil să se lucreze invers pentru a se realiza o demonstrație a teoremei. De exemplu, triunghiul central poate fi replicat și folosit ca un triunghi "C" pe ipotenuza sa, și
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
isoscel se formează triunghiul "ABD" cu unghiul θ opus laturii "a" și cu latura "r" ce aparține de "c". Un al doilea triunghi se formează cu unghiul θ opus laturii "b" și cu latura "s" ce aparține de "c", conform figurii. Tâbit ibn Qorra a spus că între laturile celor trei triunghiuri există următoarea relație: Pe măsură ce unghiul θ se apropie de π/2, baza triunghiului isoscel se micșorează, iar lungimile "r" și "s" se confundă tot mai mult, devenind un singur
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
inversă (cele două triunghiuri au un unghi comun în vârful B, ambele conțin unghiul θ, așadar au același al treilea unghi conform postulatului triunghiului). Prin urmare, ABC este asemenea cu reflexia lui "ABD", adică triunghiul "DBA" din partea de jos a figurii. Considerând raportul laturilor opuse și adiacente lui θ, atunci De asemenea, pentru reflexia celuilalt triunghi, Prin calcule algebrice se ajunge la egalitatea: rezultatul căutat. Teorema rămâne validă dacă unghiul formula 51 este obtuz iar lungimile "r" și "s" nu se suprapun
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
cos"θ" = 0, astfel formula se reduce la simpla relație a lui Pitagora. În stereometrie, sau geometrie spațială, teorema lui Pitagora poate fi aplicată în trei dimensiuni după cum urmează. Se consideră un solid dreptunghiular după cum se poate observa și în figură. Lungimea diagonalei "BD" se regăsește în teorema lui Pitagora astfel: unde aceste trei laturi formează un triunghi dreptunghi. Folosind diagonala orizontală "BD" și latura verticală "AB", lungimea diagonalei "AD" se găsește printr-o a doua aplicare a teoremei lui Pitagora
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
pătratul ariei feței opuse acestui vârf este egal cu suma pătratelor ariilor celorlalte trei fețe. Acest rezultat poate fi generalizat într-o așa-zisă "teoremă a lui Pitagora n-dimensională": Această propoziție este ilustrată în trei dimensiuni cu ajutorul tetraedrului din figură. „Ipotenuza” este baza tetraedrului din spatele figurii, iar „catetele” sunt cele trei laturi care se întâlnesc în vârful din fața figurii. Pe măsură ce se mărește distanța dintre bază și vârf, la fel crește și suprafața „catetelor”, în timp ce cea a bazei rămâne fixă. Teorema
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
este egal cu suma pătratelor ariilor celorlalte trei fețe. Acest rezultat poate fi generalizat într-o așa-zisă "teoremă a lui Pitagora n-dimensională": Această propoziție este ilustrată în trei dimensiuni cu ajutorul tetraedrului din figură. „Ipotenuza” este baza tetraedrului din spatele figurii, iar „catetele” sunt cele trei laturi care se întâlnesc în vârful din fața figurii. Pe măsură ce se mărește distanța dintre bază și vârf, la fel crește și suprafața „catetelor”, în timp ce cea a bazei rămâne fixă. Teorema sugerează faptul că atunci când această distanță
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
generalizat într-o așa-zisă "teoremă a lui Pitagora n-dimensională": Această propoziție este ilustrată în trei dimensiuni cu ajutorul tetraedrului din figură. „Ipotenuza” este baza tetraedrului din spatele figurii, iar „catetele” sunt cele trei laturi care se întâlnesc în vârful din fața figurii. Pe măsură ce se mărește distanța dintre bază și vârf, la fel crește și suprafața „catetelor”, în timp ce cea a bazei rămâne fixă. Teorema sugerează faptul că atunci când această distanță atinge o valoare ce permite unghiuri drepte în jurul vârfului, generalizarea teoremei lui Pitagora
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]