1,513 matches
-
că o linie poate fi finită în lungime, iar de postulatul cinci nu mai e nevoie pentru că în geometria eliptică nu sunt acceptate paralelele. În ce fel poate fi considerată apariția geometriilor neeuclidiene ca un prim pas în "dezintegrarea" viziunii kantiene asupra matematicii? Totul depinde de felul cum sunt privite aceste geometrii. Putem distinge între două feluri de a ne raporta la ele: ca fiind simple posibilități logice sau ca fiind alternative reale la geometria euclidiană. Să luăm prima variantă. Este
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
de felul cum sunt privite aceste geometrii. Putem distinge între două feluri de a ne raporta la ele: ca fiind simple posibilități logice sau ca fiind alternative reale la geometria euclidiană. Să luăm prima variantă. Este ea consistentă cu viziunea kantiană asupra matematicii? Cineva ar putea spune că da. Acesta s-ar putea sprijini în interpretarea sa pe următorul text din Critica rațiunii pure: "nu este nici o contradicție în conceptul unei figuri care este închisă între două linii drepte, căci conceptele
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
într-adevăr imposibil de găsit alte sisteme geometrice consistente bazate pe negarea unora dintre axiomele geometriei euclidiene. Cum, însă, aceste axiome sunt sintetice, trebuie să acceptăm posibilitatea geometriilor neeuclidiene. Astfel, apariția acestor sisteme nu intră nicidecum în conflict cu filosofia kantiană a matematicii, ci reprezintă chiar o dovadă în favoarea acesteia. Problema cu o astfel de interpretare 22 este aceea că îi atribuie lui Kant o viziune asupra posibilității pe care acesta nu o adoptă 23. Kant consideră că posibil este "ceea ce
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
alt rol decât cel al unei clarificări de natură conceptuală. Nu poate fi luată ca un răspuns la întrebarea de la care am plecat pentru că s-ar înțelege greșit că simpla discuție despre aceste sisteme geometrice în cadrul matematicii ar submina viziunea kantiană, ceea ce nu e așa. Ce face ca această viziune să se clatine este acceptarea faptului că figurile geometriilor neeuclidiene sunt obiecte posibile ale intuiției. Dar rezultatele obținute de Beltrami în legătură cu pseudosfera fac ca astfel de figuri să fie intuitive. Un
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
în chestiune." (Resnik 1974: 392). O consecință imediată a acestei viziuni este aceea că ridică orice semne de întrebare cu privire la geometriile neeuclidiene: singurul criteriu de acceptabilitate a unui sistem geometric este consistența acestuia. Conflictul viziunii moderne asupra axiomelor cu filosofia kantiană a matematicii este atât de evident încât aproape că nici nu mai trebuie menționat. Cred că este suficient să remarcăm în acest punct că, dacă la Kant geometria era indisolubil legată de intuiția pură, axiomele acesteia fiind privite ca "principii
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
axiome ale ordinii. Cum în acest sistem nu mai apare problema demonstrării existenței punctului de intersecție, nu mai e nevoie să apelăm la intuiție pentru a demonstra teoremele noastre, la acestea ajungându-se exclusiv prin intermediul deducției logice. Din perspectiva viziunii kantiene asupra matematicii reieșea clar că un loc central îl ocupă doctrina sa a construcției în intuiția pură: la teoremele geometrice se ajunge "printr-un lanț de raționamente, călăuzit permanent de intuiție" (CRP, p. 525) și nu pe o cale pur
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
geometrice, sau la experiențele noastre privitoare la comportamentul corpurilor rigide în spațiul fizic, sau la lucruri similare, este strict interzis" (Hempel 1945a: 7). La teoremele geometrice se ajunge pe o cale pur logică. Cineva ar putea încerca să salveze viziunea kantiană, în acest punct, argumentând că tot ce contează sunt axiomele, această viziune fiind compatibilă cu ideea că inferențele matematice sunt analitice și nu sintetice 34. Problema e că, așa cum am spus ceva mai sus, în viziunea modernă, axiomele sunt funcții
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
secțiuni, așa că nu vom intra în amănunte. Pentru prezenta secțiune este suficient să spunem că Riemann vede spațiul ca pe o varietate diferențială 38. Ideea pe care o putem scoate din această discuție și care este deosebit de relevantă în raport cu viziunea kantiană asupra matematicii, este aceea că în încercarea de a lărgi noțiunea de spațiu astfel încât să se aplice tuturor sistemelor geometrice nou apărute, înlocuim intuiția de spațiu cu un concept: în cazul lui Klein ceva este un spațiu dacă are un
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
în termeni pur algebrici: Limită: limx→a f(x) = L dacă și numai dacă, pentru fiecare ε > 0, există un δ > 0 astfel încât│f(x) L│< ε oricând 0 < │x a│< δ. Nici aceste dezvoltări nu stau bine în raport cu filosofia kantiană a matematicii. Construcția în intuiția pură caracteristică fundamentală a demonstrației matematice, în viziunea lui Kant nu-și mai găsește locul nici în analiză, după ce, așa cum am văzut mai sus, nu mai poate fi considerată ca fiind caracteristică nici pentru demonstrația
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
aritmetica. Primul care a produs un astfel de sistem a fost Dedekind în 1888, urmat la numai un an de Peano. Ca și în cazul celorlalte schimbări care au avut loc în matematică, nici aceasta nu merge compatibilizată cu viziunea kantiană asupra matematicii. Kant spune despre judecățile aritmetice că "nu trebuie numite axiome (căci altfel ar exista un număr infinit de axiome), ci formule numerice." (CRP, p. 189). Asta deoarece, pentru ca o judecată să poată juca rolul de axiomă, trebuie să
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
deducerea pur logică a teoremelor din axiome și postulate. 1.2.2. Teoria relativității generale Am vorbit până acum despre schimbările care au avut loc în matematica secolului nouăsprezece și despre impactul pe care le-au avut acestea asupra viziunii kantiene asupra matematicii. Am văzut că, în lumina acestor schimbări, este foarte greu, dacă nu imposibil, de menținut o concepție kantiană. Fizica începutului de secol douăzeci, se consideră în mod obișnuit că dă, insă, lovitura decisivă acestei concepții. Avem în vedere
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
schimbările care au avut loc în matematica secolului nouăsprezece și despre impactul pe care le-au avut acestea asupra viziunii kantiene asupra matematicii. Am văzut că, în lumina acestor schimbări, este foarte greu, dacă nu imposibil, de menținut o concepție kantiană. Fizica începutului de secol douăzeci, se consideră în mod obișnuit că dă, insă, lovitura decisivă acestei concepții. Avem în vedere aici formularea, de către Einstein în 1915 a teoriei relativității generale. Totul a început cu observarea faptului că ecuațiile lui Newton
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
relativității restrânse), ci variază în funcție de distribuția masei și energiei. Este destul de evident că o astfel de structură a spațiu-timpului este departe de geometria euclidiană și de înțelegerea oferită de teoria lui Newton în legătură cu structura lumii. Foarte mulți leagă prăbușirea poziției kantiene de apariția teoriei relativității generalizate 51, conform căreia structura spațială a lumii nu este corect descrisă de geometria euclidiană lucru care pare imposibil de compatibilizat cu ceea ce spune Kant despre spațiu. Dacă privim această teorie doar din această perspectivă cred
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
ceea ce spune Kant despre spațiu. Dacă privim această teorie doar din această perspectivă cred că o lipsim totuși de un mare merit: dacă transformările care au avut loc în matematica secolului al nouăsprezecelea au contribuit foarte mult la abandonarea concepției kantiene despre matematică, transformările care au avut loc în fizica începutului de secol douăzeci au contribuit foarte mult la apariția unei noi viziuni. 1.2.3 O nouă viziune asupra matematicii Pozitivismul logic a apărut în urma încercării de a înțelege implicațiile
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
util să arătăm, luându-le pe rând, în ce fel au integrat ei cele două tipuri de schimbări care au avut loc. Să începem cu schimbările din matematică. Am văzut mai sus în ce fel au afectat aceste schimbări concepția kantiană asupra matematicii: nu mai putea fi susținută concepția lui Kant cu privire la demonstrația matematică și nici existența judecăților sintetice a priori. Această situație a stat la baza acceptării de către pozitiviști a unei poziții empiriste. Acest empirism își găsește expresia în așa
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
logica nu mai poate da nici un răspuns."63 Lucrurile devin și mai clare, dacă ne orientăm atenția către viziunea fregeană asupra geometriei. Acesta susține că adevărurile geometriei sunt sintetice a priori 64, teză care, chiar dacă nu este luată în sensul kantian, nu putea fi acceptată de pozitiviștii logici. Oricum am lua-o, pozitiviștii logici nu au adoptat o viziune fregeană asupra statutului adevărurilor matematice. Ei au propus, în schimb, o nouă concepție asupra analiticității care este distinctă de cea a lui
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
2. A priori relativizat O altă strategie, care se folosește de distincția amintită în secțiunea precedentă între două tipuri de matematică, dar care este, așa cum vom vedea în continuare, mai elaborată și mai complexă, folosindu-se în plus de concepția kantiană cu privire la principiile a priori constitutive și de distincția lui Reichenbach între două sensuri ale conceptului de a priori, este formulată de Michael Friedman. Principala preocupare a acestuia este să formuleze o alternativă la viziunea holistă quineană care prezintă cunoașterea ca
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
anumit cadru științific." (Friedman 1996: 18). Teoriile fizice moderne sunt alcătuite din primele două sisteme care, luate împreuna, trebuie înțelese ca funcționând asimetric. Friedman argumentează ca principiile matematice folosite în fizică trebuie înțelese ca având o funcție constitutivă în sensul kantian al conceptului. El atrage atenția că, fără acestea, teoriile fizice nici nu pot fi formulate. De exemplu, dacă luăm cazul teoriei relativității generale, observăm că nici măcar nu putem concepe posibilitatea acesteia în contextul matematicii secolelor șaptesprezece și optsprezece. Formularea ei
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
ca pe o parte a conținutului empiric al unei teorii științifice, ci ca pe un limbaj, ca pe un mijloc de reprezentare. Ea reprezintă o condiție necesară a posibilității unei teorii fizice. Această concepție nu este foarte diferită de viziunea kantiană asupra funcției constitutive a principiilor a priori în raport cu adevărurile empirice. Așa cum am văzut în secțiunea 1.1., Kant considera că la baza posibilității experienței stau anumite principii a priori. Luate împreună, acestea alcătuiesc cadrul a priori în care are loc
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Așa cum am văzut, însă, în secțiunile 1.2.1. și 1.2.2., principiile luate de Kant ca necesare și nerevizuibile au fost totuși abandonate în lumina transformărilor din matematică și știință, iar acest lucru a dus la respingerea viziunii kantiene. După Friedman, greșim dacă interpretăm în acest fel implicațiile transformărilor amintite. Ce trebuie să învățăm din apariția acestora este ca sunt posibile mai multe cadre a priori și nu că nu există un astfel de cadru. Noi trebuie să renunțăm
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
din apariția acestora este ca sunt posibile mai multe cadre a priori și nu că nu există un astfel de cadru. Noi trebuie să renunțăm la ideea că aceste principii a priori sunt nerevizuibile, dar putem face asta păstrând viziunea kantiană cu privire la funcția constitutivă pe care o au acestea. Propunerea unei astfel de relativizări a a priori-ului kantian, nu este nouă; ea apare prima oară la pozitiviștii logici. Reichenbach, de exemplu, distingea între două sensuri ale a priori-ului kantian
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
până în acest punct, atunci această strategie este sortită eșecului: punctul ei de plecare distincția matematică pură/matematică aplicată nu mai poate fi menținut. A doua strategie discutată cea care se folosește de noțiunea de a priori relativizat pleacă de la concepția kantiană cu privire la principiile a priori constitutive și de distincția lui Reichenbach între două sensuri ale conceptului de a priori. Michael Friedman, consideră că, făcând din primul moment posibilă cunoașterea empirică (formularea și confirmarea teoriilor științifice), matematica nu poate fi înțeleasă în
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
CRP, p. 31) 3 O astfel de interpretare ar salva poziția lui Kant de a mai fi respinsă odată cu apariția logicii poliadice, așa cum considera Russell, și, de asemenea, ar face ca apariția geometriilor neeuclidiene să pară o dovadă în favoarea concepției kantiene prin aceea ca ar confirma faptul că axiomele geometriei euclidiene nu sunt analitice. Pentru mai multe detalii, a se vedea Friedman (1985: 487; și nota 47) 4 La baza acestei interpretări stă, in mare parte, primul paragraf cu care se
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Vedem astfel că nici cea de-a doua dintre cele trei abordări posibile ale problemei raportului dintre suma unghiurilor unui triunghi și un unghi drept, nu poate fi considerată drept sursa cunoașterii matematice. 10 Pentru o prezentare detaliată a viziunii kantiene despre construirea conceptelor a se vedea Shabel (2006: 98-102). 11 Philip Kitcher interpretează altfel viziunea kantiană asupra definițiilor. După el, "punând în contrast rolul definițiilor în matematică și în alte discursuri, el [Kant] accentuează ideea că conceptele matematicii nu sunt
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
dintre suma unghiurilor unui triunghi și un unghi drept, nu poate fi considerată drept sursa cunoașterii matematice. 10 Pentru o prezentare detaliată a viziunii kantiene despre construirea conceptelor a se vedea Shabel (2006: 98-102). 11 Philip Kitcher interpretează altfel viziunea kantiană asupra definițiilor. După el, "punând în contrast rolul definițiilor în matematică și în alte discursuri, el [Kant] accentuează ideea că conceptele matematicii nu sunt "gândite arbitrar" și că avem o asigurare a priori că am definit un "obiect adevărat"" (Kitcher
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]