6,258 matches
-
x") rezultă un rest nul, indicând că "r"("x") este cel mai mare divizor comun al lui "a"("x") și "b"("x"), consistent cu factorizarea acestora. Multe dintre aplicațiile descrise mai sus pentru numere întregi sunt valabile și pentru polinoame. Algoritmul lui Euclid se poate folosi pentru rezolvarea de ecuații liniare diofantice și de probleme chinezești ale resturilor pentru polinoame; se pot defini și fracții continue de polinoame. Algoritmul lui Euclid polinomial are și alte aplicații proprii, cum ar fi lanțurile
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
aplicațiile descrise mai sus pentru numere întregi sunt valabile și pentru polinoame. Algoritmul lui Euclid se poate folosi pentru rezolvarea de ecuații liniare diofantice și de probleme chinezești ale resturilor pentru polinoame; se pot defini și fracții continue de polinoame. Algoritmul lui Euclid polinomial are și alte aplicații proprii, cum ar fi lanțurile Sturm, o tehnică de numărare a rădăcinilor reale ale polinoamelor într-un interval dat de pe axa numerelor reale. Aceasta are aplicații în mai multe zone, cum ar fi
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
Routh-Hurwitz din teoria sistemelor. În cele din urmă, coeficienții polinoamelor nu sunt obligatoriu numere întregi, reale, și nici măcar complexe. De exemplu, coeficienții pot fi din orice corp, cum ar fi corpurile finite GF("p") descrise mai sus. Concluziile corespunzătoare despre algoritmul lui Euclid și despre aplicațiile acestuia sunt valabile chiar și pentru asemenea polinoame. Întregii gaussieni sunt numere complexe de forma α = "u" + "vi", unde "u" și "v" sunt numere întregi obișnuite și "i" este unitatea imaginară. Definind un algoritm analog
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
despre algoritmul lui Euclid și despre aplicațiile acestuia sunt valabile chiar și pentru asemenea polinoame. Întregii gaussieni sunt numere complexe de forma α = "u" + "vi", unde "u" și "v" sunt numere întregi obișnuite și "i" este unitatea imaginară. Definind un algoritm analog celui al lui Euclid, se poate arăta că întregii gaussieni au fiecare o factorizare unică, conform demonstrației de mai sus. Unicitatea factorizării este utilă în mai multe aplicații, cum ar fi calculul tuturor tripletelor pitagoreice sau demonstrația Primei teoreme
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
gaussieni au fiecare o factorizare unică, conform demonstrației de mai sus. Unicitatea factorizării este utilă în mai multe aplicații, cum ar fi calculul tuturor tripletelor pitagoreice sau demonstrația Primei teoreme a lui Fermat a sumei a două pătrate. În general, algoritmul lui Euclid este unul convenabil în asemenea aplicații, dar nu este indispensabil; de exemplu, teoremele pot fi adesea demonstrate prin alte metode. Algoritmul lui Euclid dezvoltat pentru două numere întregi gaussiene α și β este aproape același ca și pentru
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
tuturor tripletelor pitagoreice sau demonstrația Primei teoreme a lui Fermat a sumei a două pătrate. În general, algoritmul lui Euclid este unul convenabil în asemenea aplicații, dar nu este indispensabil; de exemplu, teoremele pot fi adesea demonstrate prin alte metode. Algoritmul lui Euclid dezvoltat pentru două numere întregi gaussiene α și β este aproape același ca și pentru numerele întregi; el se îndepărtează de acesta din urmă în două aspecte. Ca și înainte, la fiecare pas "k" trebuie identificat un cât
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
rest complex poate fi considerat a fi „mai mic” decât altul. Pentru aceasta, se definește o funcție normă "f"("u" + "v"i) = "u" + "v", care transformă fiecare întreg gaussian "u" + "vi" la un număr întreg. După fiecare pas "k" al algoritmului lui Euclid, norma restului "f"("r") este mai mică decât norma restului precedent, "f"("r"). Norma fiind un întreg nenegativ și scăzând la fiecare pas, algoritmul lui Euclid pentru întregi gaussieni se termină într-un număr finit de pași. Ultimul
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
fiecare întreg gaussian "u" + "vi" la un număr întreg. După fiecare pas "k" al algoritmului lui Euclid, norma restului "f"("r") este mai mică decât norma restului precedent, "f"("r"). Norma fiind un întreg nenegativ și scăzând la fiecare pas, algoritmul lui Euclid pentru întregi gaussieni se termină într-un număr finit de pași. Ultimul rest nenul este CMMDC(α,β), întregul gaussian cu norma cea mai mare și care se împarte exact la α și la β; el rămâne aceleași
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
nenul este CMMDC(α,β), întregul gaussian cu norma cea mai mare și care se împarte exact la α și la β; el rămâne aceleași și după înmulțirea numărului cu o unitate, ±1 sau ±"i". Multe dintre celelalte aplicații ale algoritmului lui Euclid sunt valabile și pentru întregii gaussieni. De exemplu, el se poate folosi pentru a rezolva ecuații liniare diofantice și probleme chinezești ale resturilor pentru aceste numere; se pot defini și fracții continue de întregi gaussieni. O mulțime de
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
pentru aceste numere; se pot defini și fracții continue de întregi gaussieni. O mulțime de elemente împreună cu doi operatori binari, + și ·, se numește inel euclidian dacă formează un inel comutativ "R" și dacă pe această mulțime se poate executa un algoritm al lui Euclid modificat. Cele două operații ale unui astfel de inel nu trebuie neapărat să fie adunarea și înmulțirea din aritmetica obișnuită; ele pot fi mai generale, cum sunt operațiile de pe un grup sau de pe un monoid. Cu toate
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
ele pot fi mai generale, cum sunt operațiile de pe un grup sau de pe un monoid. Cu toate acestea, aceste operații generale trebuie să respecte multe legi ce guvernează și aritmetica obișnuită, cum ar fi de exemplu commutativitatea, asociativitatea și distributivitate. Algoritmul lui Euclid generalizat are nevoie de o "funcție euclidiană", respectiv de o transformare "f" de la "R" la mulțimea numerelor întregi nenegative cu proprietatea că, pentru două elemente nenule "a" și "b" din "R", există "q" și "r" în "R" cu
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
f"("b"). Un exemplu de astfel de funcție este funcția normă utilizată pentru a ordona numerele întregi gaussiene ca mai sus. Funcția "f" poate fi modulul numărului, sau gradul polinomului. Principiul de bază este acela că la fiecare pas al algoritmului, "f" se reduce; astfel, dacă "f" poate fi redus doar de un număr finit de ori, algoritmul trebuie să se termine într-un număr finit de pași. Acest principiu se bazează pe ordonarea naturală și pe existența unui număr natural
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
gaussiene ca mai sus. Funcția "f" poate fi modulul numărului, sau gradul polinomului. Principiul de bază este acela că la fiecare pas al algoritmului, "f" se reduce; astfel, dacă "f" poate fi redus doar de un număr finit de ori, algoritmul trebuie să se termine într-un număr finit de pași. Acest principiu se bazează pe ordonarea naturală și pe existența unui număr natural minim. Teorema fundamentală a aritmeticii se aplică pe orice inel euclidian: orice element dintr-un inel euclidian
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
există întotdeauna un cel mai mic divizor comun al două elemente. Cu alte cuvinte, poate exista un cel mai mare divizor comun (pentru toate elementele dintr-un inel), deși s-ar putea ca acesta să nu poată fi găsit cu ajutorul algoritmului lui Euclid. Un inel euclidian este întotdeauna un domeniu de ideal principal, domeniu integral în care fiecare ideal este un ideal principal. Din nou, reciproca nu este adevărată: nu orice astfel de domeniu este inel euclidian. Unicitatea factorizării în inelele
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
pitagoreice și la demonstrarea teoremei lui Fermat privind suma a două pătrate. Unicitatea factorizării este și element cheie într-o tentativă de demonstrare a Ultimei teoreme a lui Fermat publicată în 1847 de Gabriel Lamé, același matematician care analizase eficiența algoritmului lui Euclid, pe baza unei sugestii a lui Joseph Liouville. Abordarea lui Lamé impunea unicitatea factorizării numerelor de forma "x" + ω"y", unde ω = "e" este rădăcina de ordin "n" a lui 1, adică, ω = 1. Deși această abordare are
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
1973, Weinberger a demonstrat că un ienl este euclidian dacă și numai dacă este domeniu de ideal principal, cu condiția ca ipoteza Riemann generalizată să fie adevărată; Demonstrația lui Weinberger a fost generalizată în 2004 pentru a elimina această restricție. Algoritmul lui Euclid se poate aplica pe inele necomutative, ca și pe mulțimea cuaternionilor Hurwitz. Fie α și β două elemente ale unui inel necomutativ. Ele au un divizor comun la dreapta δ dacă α = ξδ și β = ηδ pentru două
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
β = ηδ pentru două numere ξ și η din inel. Analog, ele au un divizor comun la stânga dacă α = δξ și β = δη pentru două elemente ξ și η în inel. Cum înmulțirea nu este comutativă, există două versiuni de algoritm al lui Euclid, unul pentru divizorii la stânga și alta pentru divizorii la dreapta. Dacă se aleg divizorii la dreapta, primul pas în a găsi CMMDC(α, β) prin algoritmul lui Euclid se poate scrie unde ψ reprezintă câtul, iar ρ
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
în inel. Cum înmulțirea nu este comutativă, există două versiuni de algoritm al lui Euclid, unul pentru divizorii la stânga și alta pentru divizorii la dreapta. Dacă se aleg divizorii la dreapta, primul pas în a găsi CMMDC(α, β) prin algoritmul lui Euclid se poate scrie unde ψ reprezintă câtul, iar ρ reprezintă restul. Această ecuație arată că orice divizor comun la dreapta al lui α și β este divizor comun și al restului ρ. Ecuația analoagă pentru divizorii la stânga ar
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
cel mai mare divizor comun la dreapta sau la stânga. Ca și în cazul inelelor euclidiene, „mărimea” restului ρ trebuie să fie strict mai mică decât β, și trebuie să existe doar un număr finit de mărimi posibile pentru ρ, pentru ca algoritmul să se termine. Majoritatea rezultatelor pentru CMMDC sunt valabile și pentru inelele necomutative. De exemplu, identitatea lui Bézout afirmă că CMMMDC la dreapta al lui α și β se poate exprima sub formă de combinație liniară de α și β
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
exprima sub formă de combinație liniară de α și β. Cu alte cuvinte, există numerele σ și τ cu proprietatea că Identitatea analoagă pentru CMMDC la stânga este aproape similară: Identitatea lui Bézout se poate utiliza pentru rezolvarea de ecuații diofantice. Algoritmul lui Euclid are trei trăsături generale care împreună asigură faptul că nu se execută la infinit. Prima este că poate fi scris ca șir de operațiuni recursive în care fiecare rest este strict mai mic decât predecesorul său, |"r"| < |"r
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
strict mai mic decât predecesorul său, |"r"| < |"r"|. A doua, dimensiunea fiecărui rest are o limită inferioară strictă, cum ar fi |"r"| ≥ 0. A treia, există doar un număr finit de dimensiuni mai mici ca un rest dat |"r"|. Generalizările algoritmului lui Euclid cu aceste trăsături de bază s-au aplicat și altor structuri matematice, cum ar fi nodurile și numerele ordinale transfinite. O importantă generalizare a algoritmului lui Euclid este conceptul de bază Gröbner din geometria algebrică. Așa cum s-a
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
un număr finit de dimensiuni mai mici ca un rest dat |"r"|. Generalizările algoritmului lui Euclid cu aceste trăsături de bază s-au aplicat și altor structuri matematice, cum ar fi nodurile și numerele ordinale transfinite. O importantă generalizare a algoritmului lui Euclid este conceptul de bază Gröbner din geometria algebrică. Așa cum s-a arătat mai sus, CMMDC "g" al două numere întregi "a" și "b" este generatorul idealului lor. Cu alte cuvinte, oricare ar fi întregii "s" și "t", există
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
a soluționa probleme ale vieții în grup: recunoașterea indivizilor, distingerea celui care face parte din grup de străin, amintirea raporturilor deja stabilite de către individ cu ceilalți indivizi, surprinderea emoțiilor și sesizarea intențiilor celorlalți, etc. Inteligența socială este guvernată de un "algoritm darwinist". Este fructul unui modul neurologic de gestiune a contractelor sociale, destinat a administra comportamentul de cooperare, a susține atitudini de tipul "îți dau--îmi dai", a evalua raporturi cost-beneficiu și a detecta trișorii (acei care iau fără să dea sau fără să
Explicația biologică a religiei () [Corola-website/Science/311545_a_312874]
-
este fundamental pentru orice societate (umană sau animală) pentru că nu poate exista o societate extinsă fără cooperare, cooperare care cere "raporturi de reciprocitate", fapt care necesită "mecanisme de detecție a trișorilor". Testele de logică ale lui Wason au arătat efectul algoritmului darwinist asupra raționamentului uman. Ele au arătat că același tip de raționament dă rezultatele scontate în 75 la sută din cazuri atunci când este pus în context social, în timp ce doar între 10 și 25 la sută dintre cazuri au dat rezultatele
Explicația biologică a religiei () [Corola-website/Science/311545_a_312874]
-
logică de tip contract social. Logica contractului social este aceasta: dacă cineva trage un beneficiu, el trebuie să fi plătit un cost, dacă nu, el este un trișor și trebuie îndepărtat. Pentru că relațiile sociale sunt regulate de un astfel de algoritm neuropsihologic care predispune la altruism reciproc și pentru că acest mecanism condiționează modul în care ființa umană interacționează cu mediul, atunci când individul trebuie să interacționeze cu factori nonsociali, cum sunt elementele naturii, așa cum e cazul de exemplu când el trebuie să
Explicația biologică a religiei () [Corola-website/Science/311545_a_312874]