6,649 matches
-
acesta să fie valabil pentru toate triunghiurile, dreptunghiulare sau scalene etc., ci ar fi restrânse totdeauna numai la o parte a acestei sfere" (CRP, p. 171). Ei pleacă de la scheme în definițiile lor. Reprezentările singulare, fie că sunt date în intuiția pură, sau în intuiția empirică pe hârtie nu au decât un rol euristic. Când Kant spune despre figura desenată că "este empirică și servește totuși la exprimarea conceptului, în ciuda generalității lui, fiindcă în această intuiție empirică nu se ia în
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
pentru toate triunghiurile, dreptunghiulare sau scalene etc., ci ar fi restrânse totdeauna numai la o parte a acestei sfere" (CRP, p. 171). Ei pleacă de la scheme în definițiile lor. Reprezentările singulare, fie că sunt date în intuiția pură, sau în intuiția empirică pe hârtie nu au decât un rol euristic. Când Kant spune despre figura desenată că "este empirică și servește totuși la exprimarea conceptului, în ciuda generalității lui, fiindcă în această intuiție empirică nu se ia în considerare decât actul construirii
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
fie că sunt date în intuiția pură, sau în intuiția empirică pe hârtie nu au decât un rol euristic. Când Kant spune despre figura desenată că "este empirică și servește totuși la exprimarea conceptului, în ciuda generalității lui, fiindcă în această intuiție empirică nu se ia în considerare decât actul construirii conceptului" (CRP, p. 523), el are în vedere exact acest rol euristic. Când privesc figura trasată ceva mai sus eu trebuie să țin cont doar de actul construirii conceptului, iar această
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
a priori: spațiul și timpul. Pentru a ajunge la aceste principii, Kant își propune să facă două lucruri: în primul rând să izoleze "sensibilitatea, făcând abstracție de tot ce intelectul gândește aici prin conceptele lui, pentru ca să nu rămână nimic decât intuiție empirică. În al doilea rând, vom îndepărta de la această intuiție și tot ce aparține senzației, pentru ca să nu rămână decât intuiția pură și simpla formă a fenomenelor, singurul lucru pe care sensibilitatea îl poate oferi a priori." (CRP, p. 72). În urma
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
principii, Kant își propune să facă două lucruri: în primul rând să izoleze "sensibilitatea, făcând abstracție de tot ce intelectul gândește aici prin conceptele lui, pentru ca să nu rămână nimic decât intuiție empirică. În al doilea rând, vom îndepărta de la această intuiție și tot ce aparține senzației, pentru ca să nu rămână decât intuiția pură și simpla formă a fenomenelor, singurul lucru pe care sensibilitatea îl poate oferi a priori." (CRP, p. 72). În urma acestei cercetări, Kant ajunge la doctrina idealismului transcendental conform căreia
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
rând să izoleze "sensibilitatea, făcând abstracție de tot ce intelectul gândește aici prin conceptele lui, pentru ca să nu rămână nimic decât intuiție empirică. În al doilea rând, vom îndepărta de la această intuiție și tot ce aparține senzației, pentru ca să nu rămână decât intuiția pură și simpla formă a fenomenelor, singurul lucru pe care sensibilitatea îl poate oferi a priori." (CRP, p. 72). În urma acestei cercetări, Kant ajunge la doctrina idealismului transcendental conform căreia spațiul și timpul nu sunt altceva decât forme pure ale
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
și simpla formă a fenomenelor, singurul lucru pe care sensibilitatea îl poate oferi a priori." (CRP, p. 72). În urma acestei cercetări, Kant ajunge la doctrina idealismului transcendental conform căreia spațiul și timpul nu sunt altceva decât forme pure ale oricărei intuiții sensibile. Pentru a putea înțelege această doctrină, este foarte important să înțelegem distincția trasată de Kant între materie și formă 16. Dacă prin materie se înțelege conținutul empiric, prin formă se are în vedere acel ceva care structurează acest conținut
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
sintetice a priori. Putem pune în acest punct întrebarea care ne interesează în aceasta secțiune: ce face ca matematica să fie aplicabilă la lumea empirică? Dacă luăm cazul geometriei, răspunsul este următorul: "spațiul, așa cum îl gândește geometrul, este tocmai forma intuiției sensibile pe care o găsim a priori în noi și care conține temeiul posibilității tuturor fenomenelor exterioare." (Prolegomene, p. 89). Cum spațiul, înțeles ca formă a sensibilității, este acel ceva pe care se întemeiază posibilitatea fenomenelor, cunoașterea la care ajunge
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
acesteia. Problema cu o astfel de interpretare 22 este aceea că îi atribuie lui Kant o viziune asupra posibilității pe care acesta nu o adoptă 23. Kant consideră că posibil este "ceea ce se acordă cu condițiile formale ale experienței (în ceea ce privește intuiția și conceptele)" (CRP, p. 223). Pentru ca ceva să fie posibil nu este suficient să satisfacă principiul noncontradicției. Că nu trebuie să încalce acest principiu este "fără îndoială o condiție logică necesară, dar această condiție este departe de a fi suficientă
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
gândită în raport cu constructibilitatea sa în spațiu. Astfel, dacă luăm în considerare o figură neeuclidiană, ce trebuie să avem în vedere este nu dacă există o contradicție în conceptul acestei figuri, ci dacă poate fi construită în spațiu 25, adică în intuiția pură. Dar acest spațiu este, în viziunea lui Kant, euclidian. Deci nu se pune problema construirii în el a unei figuri neeuclidiene. O astfel de figură nu poate fi nimic mai mult decât o plăsmuire a imaginației. Întreaga discuție de
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
s-ar înțelege greșit că simpla discuție despre aceste sisteme geometrice în cadrul matematicii ar submina viziunea kantiană, ceea ce nu e așa. Ce face ca această viziune să se clatine este acceptarea faptului că figurile geometriilor neeuclidiene sunt obiecte posibile ale intuiției. Dar rezultatele obținute de Beltrami în legătură cu pseudosfera fac ca astfel de figuri să fie intuitive. Un alt pas important în punerea pe picior de egalitate a geometriilor neeuclidiene cu geometria euclidiană îl face Helmholtz, care argumentează că aceleași proceduri constructive
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
din care fac parte. Mai mult, un astfel de sistem axiomatic nu trebuie nici măcar să fie categoric 30. Un sistem geometric privit prin prisma acestei noi viziuni asupra axiomelor nu trebuie să stea în nici un fel de relație cu vreo intuiție de-a noastră și nu trebuie să fie despre structura lumii. Felul cum trebuie privită geometria din această perspectivă este cel mai bine exprimat prin afirmația lui Hilbert că "trebuie să putem spune în orice moment în loc de puncte, linii drepte
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Conflictul viziunii moderne asupra axiomelor cu filosofia kantiană a matematicii este atât de evident încât aproape că nici nu mai trebuie menționat. Cred că este suficient să remarcăm în acest punct că, dacă la Kant geometria era indisolubil legată de intuiția pură, axiomele acesteia fiind privite ca "principii sintetice a priori, care sunt nemijlocit certe" (CRP, p. 533), neputându-se pune, deci, problema existenței unui sistem matematic neinterpretat; la Hilbert structura geometriei este separată cu totul de orice conținut. Am vorbit
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
la intersecția dintre ele și de care avem nevoie în demonstrațiile teoremelor noastre, să fie inexistent. Astfel, când se demonstrează acest tip de teoreme în sistemul euclidian, se asumă existența unui astfel de punct, iar "această asumpție este bazată pe intuiția geometrică" (Hempel 1945a: 8). Pentru a se evita această problemă, în formularea modernă a geometriei euclidiene, au fost introduse axiome ale continuității 33 și axiome ale ordinii. Cum în acest sistem nu mai apare problema demonstrării existenței punctului de intersecție
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
evita această problemă, în formularea modernă a geometriei euclidiene, au fost introduse axiome ale continuității 33 și axiome ale ordinii. Cum în acest sistem nu mai apare problema demonstrării existenței punctului de intersecție, nu mai e nevoie să apelăm la intuiție pentru a demonstra teoremele noastre, la acestea ajungându-se exclusiv prin intermediul deducției logice. Din perspectiva viziunii kantiene asupra matematicii reieșea clar că un loc central îl ocupă doctrina sa a construcției în intuiția pură: la teoremele geometrice se ajunge "printr-
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
nu mai e nevoie să apelăm la intuiție pentru a demonstra teoremele noastre, la acestea ajungându-se exclusiv prin intermediul deducției logice. Din perspectiva viziunii kantiene asupra matematicii reieșea clar că un loc central îl ocupă doctrina sa a construcției în intuiția pură: la teoremele geometrice se ajunge "printr-un lanț de raționamente, călăuzit permanent de intuiție" (CRP, p. 525) și nu pe o cale pur analitică (logică) prin derivarea lor din axiome. Dar matematica modernă se mândrește tocmai cu eliminarea oricărei
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
ajungându-se exclusiv prin intermediul deducției logice. Din perspectiva viziunii kantiene asupra matematicii reieșea clar că un loc central îl ocupă doctrina sa a construcției în intuiția pură: la teoremele geometrice se ajunge "printr-un lanț de raționamente, călăuzit permanent de intuiție" (CRP, p. 525) și nu pe o cale pur analitică (logică) prin derivarea lor din axiome. Dar matematica modernă se mândrește tocmai cu eliminarea oricărei imixtiuni a intuiției din demonstrația teoremelor. În acest context, "orice apel, explicit sau implicit, la
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
teoremele geometrice se ajunge "printr-un lanț de raționamente, călăuzit permanent de intuiție" (CRP, p. 525) și nu pe o cale pur analitică (logică) prin derivarea lor din axiome. Dar matematica modernă se mândrește tocmai cu eliminarea oricărei imixtiuni a intuiției din demonstrația teoremelor. În acest context, "orice apel, explicit sau implicit, la o impresie de evidență, sau la caracteristicile figurilor geometrice, sau la experiențele noastre privitoare la comportamentul corpurilor rigide în spațiul fizic, sau la lucruri similare, este strict interzis
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Ideea pe care o putem scoate din această discuție și care este deosebit de relevantă în raport cu viziunea kantiană asupra matematicii, este aceea că în încercarea de a lărgi noțiunea de spațiu astfel încât să se aplice tuturor sistemelor geometrice nou apărute, înlocuim intuiția de spațiu cu un concept: în cazul lui Klein ceva este un spațiu dacă are un anumit grup de simetrii, iar în cazul lui Riemann ceva este un spațiu dacă este o varietate diferențială. Kant, însă, așa cum am văzut, argumentează
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
concept: în cazul lui Klein ceva este un spațiu dacă are un anumit grup de simetrii, iar în cazul lui Riemann ceva este un spațiu dacă este o varietate diferențială. Kant, însă, așa cum am văzut, argumentează că spațiul este o intuiție pură și nu un concept. 1.2.1.4. Fundamente noi pentru calcul Nu numai în geometrie au avut loc schimbări revoluționare în secolul nouăsprezece. O altă disciplină care a suferit schimbări remarcabile a fost analiza. După M. Kline, "calculul
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
limx→a f(x) = L dacă și numai dacă, pentru fiecare ε > 0, există un δ > 0 astfel încât│f(x) L│< ε oricând 0 < │x a│< δ. Nici aceste dezvoltări nu stau bine în raport cu filosofia kantiană a matematicii. Construcția în intuiția pură caracteristică fundamentală a demonstrației matematice, în viziunea lui Kant nu-și mai găsește locul nici în analiză, după ce, așa cum am văzut mai sus, nu mai poate fi considerată ca fiind caracteristică nici pentru demonstrația geometrică. Definițiile date de Cauchy
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
ca rezultat o nouă viziune asupra axiomelor, care, la rândul ei, a condus la o nouă viziunea asupra geometriei, și anume că un sistem axiomatic în întregime formal care nu trebuie să stea în nici un fel de relație cu vreo intuiție de a noastră și nici nu trebuie să fie despre structura lumii. Pozitiviștii logici s-au folosit de această viziune pentru a promova o distincție între două tipuri de matematică: matematică pură și matematica aplicată. Iată cum înțelegeau ei această
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
strategii: (i) este acceptată premisa 2, dar este postulată o facultate epistemică care le permite oamenilor să înțeleagă cum stau lucrurile pe tărâmul obiectelor matematice. O astfel de strategie este propusă de Godel, care consideră că suntem înzestrați cu o intuiție matematică. Problema cu această strategie este că această facultate pare a fi la fel de misterioasă ca și lumea obiectelor matematice; (ii) se acceptă premisa 2 și se argumentează că cel puțin unele obiecte matematice sunt concrete și sunt cunoscute cu ajutorul percepțiilor
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
situații pentru filozofia științei; sau, ne putem gândi că, din moment ce matematica este utilă în fizică, iar fizica cuprinde teorii foarte bune despre lumea înconjurătoare, trebuie să existe o explicație a acestei utilități chiar dacă este mai greu de ajuns la ea intuiția în acest caz ar fi că dacă ne folosim de un instrument într-un anumit scop, iar efectele acestei folosiri sunt remarcabile, chiar dacă nu este deloc evidentă, trebuie să existe o explicație a utilității instrumentului (miracolul sau minunea nu sunt
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
este incompatibilă cu realismul științific. Dacă dezvoltarea științei ar fi fost una cumulativă la nivel ontologic, realistul ar fi putut să arunce liniștit în discuție argumentul lipsei miracolelor spulberând orice poziție alternativa. Cum, însă, această dezvoltare nu este una cumulativă, intuiția care stătea la baza argumentului lipsei miracolelor (aceea conform căreia trebuie să existe o legătură explicativă între succesul predictiv al unei teorii și faptul că teoria ne oferă o descriere corectă a lumii (Psillos 1996: 306)) este respinsă, iar argumentul
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]