5,999 matches
-
determina evoluția unui sistem mecanic, adică, putem determina coordonatele generalizate ca funcții de timp. Pozițiile și vitezele inițiale apar drept constante de integrare ale soluției formula 3, corespunzând mărimilor care se conservă în timpul evoluției sistemului mecanic, precum energia, momentul unghiular, sau vectorul Laplace-Runge-Lenz. Ecuația Hamilton-Jacobi este o ecuație cu derivate parțiale de ordinul întâi a acțiunii formula 3 în funcție de formula 18 coordonate generalizate formula 19 și timpul "t". Impulsurile generalizate nu apar în formula 3, ci numai în derivatele lui formula 3. Remarcabil este faptul că, funcția
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
geodezicelor pe o mulțime Riemanniană, care este o problemă importantă variațională din geometria Riemanniană. Pentru a fi conciși, folosim variabile îngroșate, precum formula 24, pentru a reprezenta cele formula 25 coordonate generalizate: care nu se transformă neapărat printr-o rotație ca un vector. Produsul scalar este definit aici drept suma produselor componentelor corespunzătoare, adică: Orice transformare canonică implică o funcție generatoare formula 28, care conduce la relațiile: Pentru a deriva ecuația Hamilton-Jacobi, alegem o funcție generatoare formula 30 care face noul Hamiltonian formula 31 egal cu
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
pentru toți k=1..n, dacă simetria (I) e indeplinită:formula 10formula 11 unde în ultimul pas am integrat prin părți. În 3 dimensiuni, dacă axele de coordonate sunt ortogonale,relația (I) exprimă faptul bine cunoscut (de exemplu în electrostatică): "Câmpul de vectori cu componente (a(x),a(x),a(x)) derivă dintr-un potențial dacă și numai dacă rotorul său se anulează". Rotorul este câmpul de vectori (r,r,r) asociat lui (a,a,a) prin:formula 12 Proprietatea unei 1-forme de a
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
coordonate sunt ortogonale,relația (I) exprimă faptul bine cunoscut (de exemplu în electrostatică): "Câmpul de vectori cu componente (a(x),a(x),a(x)) derivă dintr-un potențial dacă și numai dacă rotorul său se anulează". Rotorul este câmpul de vectori (r,r,r) asociat lui (a,a,a) prin:formula 12 Proprietatea unei 1-forme de a fi o diferențială totală nu depinde de sistemul de coordonate ales; criteriul (1.6)este și el invariant: la o schimbare arbitrară de coordonate x
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
x(x...,x)" a ecuației Ω = 0. De asemenea forma simetrică (2.13) a condiției de integrabilitate nu poate fi generalizată, deoarece matricii antisimetrice asociată natural cu ∂a/∂x-∂a/∂x (aici am pus x ≡ z) nu îi corespunde un vector cu n componente, pentru n ≠ 3. Există însă un mod elegant, indicat de Frobenius , de a formula condițiile de integrabilitate pentru un n oarecare într-un mod care este formal invariant, atât la schimbarea lui n, cât și la schimbări
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
în cazul general. Folosind notațiile x=x, x=y, x=z, a=a,a=b,a=c și D din (1.11), rescriem condiția (2.12) sub forma: formula 45 unde u = (c,0,-a), v=(0,c,-b) sunt doi vectori, ale căror componente le notăm cu u, v, i,j=1,2,3. Cei doi vectori se află în planul Ω=0: formula 46Drept consecință a antisimetriei lui D forma(3.1) se anulează și dacă înlocuim pe u,v cu
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
c și D din (1.11), rescriem condiția (2.12) sub forma: formula 45 unde u = (c,0,-a), v=(0,c,-b) sunt doi vectori, ale căror componente le notăm cu u, v, i,j=1,2,3. Cei doi vectori se află în planul Ω=0: formula 46Drept consecință a antisimetriei lui D forma(3.1) se anulează și dacă înlocuim pe u,v cu orice combinații liniare ale lor, cu alte cuvinte pentru orice doi vectori din planul Ω = 0
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
2,3. Cei doi vectori se află în planul Ω=0: formula 46Drept consecință a antisimetriei lui D forma(3.1) se anulează și dacă înlocuim pe u,v cu orice combinații liniare ale lor, cu alte cuvinte pentru orice doi vectori din planul Ω = 0. Formularea (3.1) & (3.2) (ca și (2.13) când n=3) este invariantă la schimbări de coordonate: aceasta se vede din formula (1.2.2) și ținând seama că u,v se transformă la fel
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
u,v se transformă la fel ca și diferențialele dx:formula 47astfel incât expresiile (3.1) și (3.2) păstrează aceeași formă. Cu aceasta, teorema lui Frobenius(1877) pentru n oarecare este: Pentru n variabile, hiperplanul Ω=0 conține (n-1) vectori liniar independenți și deci ecuația (3.4) înseamnă (n-1)(n-2)/2 (numărul de perechi de vectori) condiții independente. "Remarca" din paragraful precedent rămâne adevărată: dacă forma Ω este integrabilă, unul din coeficienții ei este ales constant și coeficientul
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
păstrează aceeași formă. Cu aceasta, teorema lui Frobenius(1877) pentru n oarecare este: Pentru n variabile, hiperplanul Ω=0 conține (n-1) vectori liniar independenți și deci ecuația (3.4) înseamnă (n-1)(n-2)/2 (numărul de perechi de vectori) condiții independente. "Remarca" din paragraful precedent rămâne adevărată: dacă forma Ω este integrabilă, unul din coeficienții ei este ales constant și coeficientul unei diferențiale - o numim dx - este nul în întreaga vecinătate U a unui punct x, atunci nici unul din
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
Ω si Ω este o formă biliniară antisimetrică asociată fiecărui punct x din U(o 2-formă); spațiul liniar al formelor biliniare antisimetrice are la fiecare x dimensiunea n(n-1)/2; o bază formează produsele dxΛ dx definite pe doi vectori ξ,ξ din R prin formula 51 este aria proiecției paralelogramului subîntins de ξ, ξ pe subspațiul subîntins de e, e. Se verifică:formula 52 Diferențiala exterioară a unei "1-forme" este o "2-formă", definită prin formula 53unde "da" este "1-forma" dată de "diferențiala
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
exterior al unei 2-forme cu o 1-formă este o 3-formă, care este o conbinație liniară, cu coeficienți care depind de (x,x...x) a 3-formelor elementare dx Λ dx Λ dx; acestea sunt funcționale (multi)liniare total antisimetrice de 3 vectori :formula 55= volumul prismei determinate de "proiecțiile" vectorilor ξ, m=1,2,3, in subspațiul 3-dimensional generat de e, e, e. Cu aceasta, teorema lui Frobenius din paragraful precedent afirmă că "o condiție necesară și suficientă pentru integrabilitatea 1-formei Ω este
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
este o 3-formă, care este o conbinație liniară, cu coeficienți care depind de (x,x...x) a 3-formelor elementare dx Λ dx Λ dx; acestea sunt funcționale (multi)liniare total antisimetrice de 3 vectori :formula 55= volumul prismei determinate de "proiecțiile" vectorilor ξ, m=1,2,3, in subspațiul 3-dimensional generat de e, e, e. Cu aceasta, teorema lui Frobenius din paragraful precedent afirmă că "o condiție necesară și suficientă pentru integrabilitatea 1-formei Ω este ca 2-forma dΩ să se anuleze pe
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
2,3, in subspațiul 3-dimensional generat de e, e, e. Cu aceasta, teorema lui Frobenius din paragraful precedent afirmă că "o condiție necesară și suficientă pentru integrabilitatea 1-formei Ω este ca 2-forma dΩ să se anuleze pe orice pereche de vectori pe care Ω se anulează. Evident, mulțimea vectorilor pe care Ω se anulează formează un subspațiu (n-1)-dimensional al lui R; să alegem o baza (e) a lui R astfel incât primii n-1 vectori sa subîntindă (hiper)planul
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
e, e. Cu aceasta, teorema lui Frobenius din paragraful precedent afirmă că "o condiție necesară și suficientă pentru integrabilitatea 1-formei Ω este ca 2-forma dΩ să se anuleze pe orice pereche de vectori pe care Ω se anulează. Evident, mulțimea vectorilor pe care Ω se anulează formează un subspațiu (n-1)-dimensional al lui R; să alegem o baza (e) a lui R astfel incât primii n-1 vectori sa subîntindă (hiper)planul Ω = 0. Putem exprima atunci foarte elegant condiția
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
pe orice pereche de vectori pe care Ω se anulează. Evident, mulțimea vectorilor pe care Ω se anulează formează un subspațiu (n-1)-dimensional al lui R; să alegem o baza (e) a lui R astfel incât primii n-1 vectori sa subîntindă (hiper)planul Ω = 0. Putem exprima atunci foarte elegant condiția lui Frobenius prin egalitatea:formula 56 Această expresie se anulează într-adevăr pe orice "triplet" de vectori din R: e suficient sa verificăm aceasta pentru tripleți (e,e,e
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
alegem o baza (e) a lui R astfel incât primii n-1 vectori sa subîntindă (hiper)planul Ω = 0. Putem exprima atunci foarte elegant condiția lui Frobenius prin egalitatea:formula 56 Această expresie se anulează într-adevăr pe orice "triplet" de vectori din R: e suficient sa verificăm aceasta pentru tripleți (e,e,e): dacă toți trei se află în planul Ω=0 egalitatea e evidentă: deci unul din ei trebuie sa fie e: dar atunci, când dΩ(e,e) ≠ 0, Ω
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
5.5) sub forma (5.2), punând "a=-1, a=0; a=0, a=-1:formula 66 și observând că egalitățile (5.7) pot fi scrise sub forma:formula 67unde "u = (1,0,a, a), v = (0,1,a, a)" sunt doi vectori, soluții ale sistemului de ecuații liniare:formula 68(adică doi vectori din varietatea liniară Ω=0,q=1,2). Forma (5.9) are avantajul că este invariantă atât la shimbări de coordonate cât și la combinații liniare între elemenetele sistemului (5
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
0; a=0, a=-1:formula 66 și observând că egalitățile (5.7) pot fi scrise sub forma:formula 67unde "u = (1,0,a, a), v = (0,1,a, a)" sunt doi vectori, soluții ale sistemului de ecuații liniare:formula 68(adică doi vectori din varietatea liniară Ω=0,q=1,2). Forma (5.9) are avantajul că este invariantă atât la shimbări de coordonate cât și la combinații liniare între elemenetele sistemului (5.1). Urmându-l pe Feodor Deahna, Frobenius demonstrează că, în
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
5.1). Urmându-l pe Feodor Deahna, Frobenius demonstrează că, în general, "condiția necesară și suficientă pentru ca sistemul (II) de forme diferențiale să fie integrabil, este ca cele p forme antisimetrice (5.9) să se anuleze pe orice pereche de vectori aparținând varietății liniare (5.10) determinate de Ω=0, q=1..p." Din (5.7) se vede că, dacă a(x)≡0, q=1,2, atunci ∂a/∂y = 0, q=1,2; deci, la fel ca în cazul unei singure
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
independente, care este totdeauna integrabil. Procedura e ușor de generalizat pentru orice p, cu mai mulți pași intermdiari. În limbajul formelor diferențiale, teorema lui Frobenius se exprimă pentru un sistem de p 1-forme prin p condiții, care, din cauza restricțiilor asupra vectorilor u,v se scriu acum:formula 69 pentru q=1..p. Un alt mod de a aborda problema integrabilității, complementar celui de mai sus, se bazează pe studiul unor sisteme de ecuații liniare cu derivate parțiale, legate în mod simplu de
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
derivate parțiale, legate în mod simplu de 1-forma (1.1), sau de sistemele (5.1) de 1-forme: în vecinătatea oricărui punct x, în care cel puțin unul din determinanții de ordin p ai sistemului nu se anulează, există n-p vectori liniar independenți ale căror componente, netede față de x, le numim A(x), q=1...,n-p, i=1...n, soluții ale sistemului de ecuații (k=1...p):formula 70 Dacă sistemul (5.1) este integrabil, soluțiile sistemului de ecuații diferențiale:formula 71
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
constante. Deci, pentru orice k =1...p: formula 72 Reciproc, să presupunem că sistemul (5.15) admite p soluții "independente" f(x),k=1..p. Prin definiția (5.12) a lui A(x) printre soluțiile sistemului liniar (5.12) se numără vectorii formați din coeficienții a(x) (k=1...,p; j=1...,n) ale formelor (5.1). Deoarece la x fixat nu pot fi mai mult de p soluții independente, deducem că aceștia sunt combinații liniare ale vectorilor ∂f/∂x;formula 74 cu
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
5.12) se numără vectorii formați din coeficienții a(x) (k=1...,p; j=1...,n) ale formelor (5.1). Deoarece la x fixat nu pot fi mai mult de p soluții independente, deducem că aceștia sunt combinații liniare ale vectorilor ∂f/∂x;formula 74 cu coeficienți α depinzând de x. Deci sistemul de p 1-forme este integrabil. Deducem că problema integrabilității este aceeași cu a "completitudinii" (în sensul de mai sus) a sistemului liniar și omogen (5.15) de ecuații cu
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
condiția lui Frobenius“. Este ușor de arătat că ecuația (5.17) este echivalentă cu condiția lui Frobenius (5.9) din paragraful precedent. Pentru aceasta, este suficient să calculăm explicit comutatorul din (5.17):formula 76 Dacă (5.17) are loc, atunci vectorul C cu componente C, definite în (5.18), trebuie să fie o combinație liniară a vectorilor A, q=1...n-p și deci verifică:formula 77 deoarece A îndeplinesc (5.12); derivând (5.12) față de x, deducem că, pentru orice i
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]