2,094 matches
-
diedral (discutat mai sus) este un grup finit de ordinul 8. Ordinul lui r este 4, ca și ordinul subgrupului "R" pe care îl generează. Ordinul elementelor de reflexie f etc. este 2. Ambele ordine divid pe 8, așa cum prezice teorema lui Lagrange. Grupurile F date mai sus au ordinul . Matematicienii se străduiesc adesea să realizeze o clasificare completă a unei noțiuni matematice. În contextul grupurilor finite, acest scop conduce rapid la dificultăți. Conform teoremei lui Lagrange, grupurile finite de ordin
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
ordine divid pe 8, așa cum prezice teorema lui Lagrange. Grupurile F date mai sus au ordinul . Matematicienii se străduiesc adesea să realizeze o clasificare completă a unei noțiuni matematice. În contextul grupurilor finite, acest scop conduce rapid la dificultăți. Conform teoremei lui Lagrange, grupurile finite de ordin "p", număr prim, sunt automat și grupuri ciclice (și abeliene), notate Z. Se poate arăta că și grupurile de ordinul "p" sunt abeliene, afirmație care însă nu se generalizează la ordinul "p", după cum reiese
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
genera liste de grupuri mici, dar nu există clasificări ale tuturor grupurilor finite. Un pas intermediar îl reprezintă clasificarea grupurilor finite simple. Un grup netrivial se numește "grup simplu" dacă singurele sale subgrupuri normale sunt grupul trivial și grupul însuși. Teorema Jordan-Hölder prezintă grupurile simple ca elemente constitutive ale tuturor grupurilor finite. Generarea listei tuturor grupurilor finite simple a fost o mare realizare din teoria grupurilor. Richard Borcherds, laureat al Medaliei Fields pe 1998, a reușit să demonstreze conjecturile monstrous moonshine
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
standard este grupul general liniar introdus mai sus: este o submulțime deschisă a spațiului tuturor matricelor "n"-pe-"n", deoarece este dat de inegalitatea unde " A" este o matrice "n"-pe-"n". Grupurile Lie au o importanță fundamentală în fizică: teorema lui Noether leagă simetriile continue de cantități conservate. Rotația, ca și translațiile în spațiu și timp sunt transformări de simetrie elementare ale legilor mecanicii. Ele pot, de exemplu, să fie folosite pentru a construi modele simple—impunerea, de pildă, a
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
descris clar de Max Planck. În prezentarea de mai sus am urmărit deasemenea în linii mari cursul de termodinamică a lui Ș.Țiteica . Ideea de a considera radiația ca o sumă de oscilatori este datorita lui Rayleigh și duce împreună cu teorema de echipartiție a energiei din mecanica statistică clasică la formula lui Rayleigh-Jeans (RJ) de mai sus. Împreună însă cu ipoteza nivelelor discrete de energie ale oscilatorilor, ea oferă modul cel mai rapid și natural de a deduce formula lui Planck
Legile de deplasare ale lui Wien () [Corola-website/Science/314157_a_315486]
-
potențial, ceea ce înseamnă că nu avem frecare. Privind figura de mai sus, se poate pune întrebarea: "care geometrie este cea mai potrivită pentru studiului traiectoriilor din spațiul fazelor? " Din cele urmeză vom vedea că "geometria simplectică" este cea mai potrivită. Teorema lui Liouville afirmă că, atunci când un sistem evoluează, volumul tuturor particulelor din spațiul fazelor se păstrează. Iată cum putem defini volumul unui părți din spațiul fazelor, spațiu care are dimensiunea 2n. Dacă partea este definită prin condițiile: atunci volumul ei
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
este: În cazul n = 1 regăsim definiția ariei unui dreptunghi. Dacă calculul volumului este complicat, se poate trece la o partiționare a volumului într-un număr mare de volume mai mici, după care facem sumarea(respectiv, integrarea) volumelor elementare. Deci, teorema lui Liouville afirmă că evoluția unui sistem mecanic păstrează volumul din spațiul fazelor și putem să ne gândim că structura geometrică a spațiului fazelor este cea a volumelor obiectelor, dar că există o geometrie mai subtilă pe acest spațiu. Teorema
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
teorema lui Liouville afirmă că evoluția unui sistem mecanic păstrează volumul din spațiul fazelor și putem să ne gândim că structura geometrică a spațiului fazelor este cea a volumelor obiectelor, dar că există o geometrie mai subtilă pe acest spațiu. Teorema lui Poincaré este un rafinament al teoremei lui Liouville. Pentru a o enunța trebuie să introducem câteva notații. Pentru toate valorile formula 9 cuprinse între 1 și formula 10, notăm formula 11 proiecția spațiului fazelor pe un plan formula 12. Este deci funcția care
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
sistem mecanic păstrează volumul din spațiul fazelor și putem să ne gândim că structura geometrică a spațiului fazelor este cea a volumelor obiectelor, dar că există o geometrie mai subtilă pe acest spațiu. Teorema lui Poincaré este un rafinament al teoremei lui Liouville. Pentru a o enunța trebuie să introducem câteva notații. Pentru toate valorile formula 9 cuprinse între 1 și formula 10, notăm formula 11 proiecția spațiului fazelor pe un plan formula 12. Este deci funcția care asociază pe formula 12 la formula 6. Teorema lui
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
al teoremei lui Liouville. Pentru a o enunța trebuie să introducem câteva notații. Pentru toate valorile formula 9 cuprinse între 1 și formula 10, notăm formula 11 proiecția spațiului fazelor pe un plan formula 12. Este deci funcția care asociază pe formula 12 la formula 6. Teorema lui Poincaré afirmă că: pentru toate suprafețele formula 15 din spațiul fazelor, suma proiecțiilor ariilor formula 16 se conservă atunci când sistemul evoluează. O structură simplectică peste un ansamblu este un mecanism de atribuire a unui număr tuturor suprefețelor din spațiu care verifică
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
care verifică anumite condiții. Asocierea fiecărei suprafețe formula 15 din spațiul fazelor la suma proiectiilor ariilor formula 16 este un exemplu de structură simplectică, pe care o vom numi "structură simplectică canonică" din spațiul fazelor. Timp îndelungat nimeni nu a știut dacă teorema lui Poincaré ne-a permis într-adevăr să obținem mai multe informații despre modificarea modelelor din spațiul fazelor decât teorema lui Liouville. Dar in 1985 Mikhail Gromov a demonstrat următoarea teoremă: pentru un sistem mecanic cu formula 10 grade de libertate
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
structură simplectică, pe care o vom numi "structură simplectică canonică" din spațiul fazelor. Timp îndelungat nimeni nu a știut dacă teorema lui Poincaré ne-a permis într-adevăr să obținem mai multe informații despre modificarea modelelor din spațiul fazelor decât teorema lui Liouville. Dar in 1985 Mikhail Gromov a demonstrat următoarea teoremă: pentru un sistem mecanic cu formula 10 grade de libertate, sfera: nu poate niciodată evolua într-un ansamblu în care toate punctele verifică relația: cu formula 22, (strict mai mic decât
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
spațiul fazelor. Timp îndelungat nimeni nu a știut dacă teorema lui Poincaré ne-a permis într-adevăr să obținem mai multe informații despre modificarea modelelor din spațiul fazelor decât teorema lui Liouville. Dar in 1985 Mikhail Gromov a demonstrat următoarea teoremă: pentru un sistem mecanic cu formula 10 grade de libertate, sfera: nu poate niciodată evolua într-un ansamblu în care toate punctele verifică relația: cu formula 22, (strict mai mic decât 1). Sau o astfel de evoluție poate fi posibilă numai dacă
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
pentru un sistem mecanic cu formula 10 grade de libertate, sfera: nu poate niciodată evolua într-un ansamblu în care toate punctele verifică relația: cu formula 22, (strict mai mic decât 1). Sau o astfel de evoluție poate fi posibilă numai dacă teorema lui Liouville este adevărată, dar nu și teorma lui Poincaré. Teorema lui Gramov este o teoremă complicată cu multe consecințe, dar revoluționară pentru geometria simplectică. Al doilea argument care confirmă ideea că geometria simplectică este geometria naturală a spațiului fazelor
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
poate niciodată evolua într-un ansamblu în care toate punctele verifică relația: cu formula 22, (strict mai mic decât 1). Sau o astfel de evoluție poate fi posibilă numai dacă teorema lui Liouville este adevărată, dar nu și teorma lui Poincaré. Teorema lui Gramov este o teoremă complicată cu multe consecințe, dar revoluționară pentru geometria simplectică. Al doilea argument care confirmă ideea că geometria simplectică este geometria naturală a spațiului fazelor este ușurința cu care permite integrarea în teorie a problemelor de
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
ansamblu în care toate punctele verifică relația: cu formula 22, (strict mai mic decât 1). Sau o astfel de evoluție poate fi posibilă numai dacă teorema lui Liouville este adevărată, dar nu și teorma lui Poincaré. Teorema lui Gramov este o teoremă complicată cu multe consecințe, dar revoluționară pentru geometria simplectică. Al doilea argument care confirmă ideea că geometria simplectică este geometria naturală a spațiului fazelor este ușurința cu care permite integrarea în teorie a problemelor de simetrie și a consecințelor lor
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
sistem este invariant la o translație, înseamnă că, pe direcția respectivă impulsul se conservă. Dacă un sistem este invariant la o rotație în jurul unei axe, atunci, momentul cinetic se conservă. În cadrul mecanicii clasice Newtoniene, este imposibil de a enunța o teoremă generală care să înglobeze exemplele de mai sus, în afară de cazurile în care sistemele posedă simetrii foarte complicate. Teorema lui Noether afirmă că: odată ce avem un grup de transformări a parametrilor care păstrează un sistem mecanic, există o cantitate care se
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
invariant la o rotație în jurul unei axe, atunci, momentul cinetic se conservă. În cadrul mecanicii clasice Newtoniene, este imposibil de a enunța o teoremă generală care să înglobeze exemplele de mai sus, în afară de cazurile în care sistemele posedă simetrii foarte complicate. Teorema lui Noether afirmă că: odată ce avem un grup de transformări a parametrilor care păstrează un sistem mecanic, există o cantitate care se conservă în timpul evoluției acestui sistem. De fapt, enunțul complet al teoremei dă o formulă pentru cantitățile care se
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
în care sistemele posedă simetrii foarte complicate. Teorema lui Noether afirmă că: odată ce avem un grup de transformări a parametrilor care păstrează un sistem mecanic, există o cantitate care se conservă în timpul evoluției acestui sistem. De fapt, enunțul complet al teoremei dă o formulă pentru cantitățile care se conservă, în funcție de transformări și sistemul considerat. Una din consecințele existenței cantităților care se conservă este aceea de a constrânge sistemul mecanic studiat să rămână într-o regiune oarecare a spațiului fazelor definit de
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
sistemul mecanic studiat să rămână într-o regiune oarecare a spațiului fazelor definit de condițiile inițiale. Când avem cantități care se conservă, precum gradele de libertate, spunem că sistemul mecanic este integrabil, iar situația devine foarte simplă, ceea ce afirmă și teorema d’Arnold-Liouville: pentru aproape toate energiile de start există coordonatele formula 23 și numerele formula 24, astfel încât: Desigur, multe sisteme mecanice nu sunt integrabile, dar multe sunt aproape integrabile, deci, putem încerca să înțelegem modul în care se depărtează aceste sisteme de
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
de similarități dar și diferențe cu geometria Riemanniană, care studiază mulțimile diferențiabile înzestrate cu tensori simetrici de ordinul 2 nedegenerați, numiți tensori metrici. Spre deosebire de cazul Riemannian, mulțimile simplectice nu au invarianți locali precum curbura. Acest lucru este o consecință a teoremei lui Darboux care stipulează că: "o vecinătate a oricărui punct dintr-o mulțime simplectică 2n-dimensională este izomorfică pe o structură simplectică obișnuită dintr-o mulțime deschisă din" R. O altă diferență față de geometria Riemanniană este aceea că nu orice mulțime
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
explicit, diferențiala formula 38 este un izomorfism simplectic liniar. Ansamblul difeomorfismelor simplectice formula 39 formează un grup, care se numește grupul difeomorfismelor simplectice, notat cu formula 40, al cărui studiu este de prim interes. Unul din rezultatele principale elementare ale geometriei simplectice este teorema lui Darboux, care precizează că: local, două mulțimi simplectice având aceeași dimensiune sunt izomorfe. Cu alte cuvinte, nu există nici un invariant local, astfel, opunându-se complet geometriei riemanniene: Această dihotomie rezumă bine opoziția dintre suplețea geometriei riemaniene și rigiditatea geometriei
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
sunt izomorfe. Cu alte cuvinte, nu există nici un invariant local, astfel, opunându-se complet geometriei riemanniene: Această dihotomie rezumă bine opoziția dintre suplețea geometriei riemaniene și rigiditatea geometriei simplectice. Această rigiditate se regăsește și la alte nivele, precum rigiditatea simplectomorfismelor, teorema de rigiditale a lui Gramov, etc. Studiul geometriei simplectice s-a născut din constatarea că evoluția unui sistem mecanic păstrează structura simplectică canonică din spațiul fazelor. Mai general, putem să căutăm acele ansamble de transformări care păstrează o structură simplectică
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
ansamblu de dimensiune infinită numit grupul simplectomorfismelor. Pentru a înțelege forma acestui ansamblu, îl comparăm cu ansamble mai mici, pe care le putem înțelege mai bine. Primele rezultate semnificative în acest domeniu se datorează lui Gramov, începând cu a sa teoremă de necompactare.
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
DQ = 0. Funcția "F" nu este încă entropia "obișnuită", ci numai o funcție de ea, încă neprecizată. (vezi articolul principal) Argumentația de mai sus se sprijină pe expunerea din . În anii 1949 - 1953 H. A. Buchdahl a oferit alte demonstrații, sau folosind teoreme generale de integrabilitate, sau arătând că, dacă DQ nu este integrabilă, atunci (P2') este falsă și orice punct din vecinătatea lui "P" este accesibil adiabatic. Există și posibilitatea de a deduce direct din alte formulări ale principiului al doilea existența
Lema lui Carathéodory (termodinamică) () [Corola-website/Science/311275_a_312604]