6,703 matches
-
nu am timp nici s-o rezolv, nici măcar s-o enunț cu toate implicațiile pe care le presupune. Există posibilitatea de a face o nouă separare și de a face distincția între analiștii care se servesc mai ales de această intuiție pură și cei care se preocupă mai întâi de logica formală? De exemplu, dl Hermite, despre care am vorbit mai înainte, nu poate fi clasificat printre geometrii care se folosesc de intuiția sensibilă, dar nu este niciun logician propriu-zis. El
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
analiștii care se servesc mai ales de această intuiție pură și cei care se preocupă mai întâi de logica formală? De exemplu, dl Hermite, despre care am vorbit mai înainte, nu poate fi clasificat printre geometrii care se folosesc de intuiția sensibilă, dar nu este niciun logician propriu-zis. El nu-și ascunde repulsia pentru procedeele pur deductive care pornesc de la general pentru a merge la particular. Comentarii Henri Poincaré (1854-1912), unul dintre cei mai mari matematicieni din toate timpurile și, în
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
procedeele pur deductive care pornesc de la general pentru a merge la particular. Comentarii Henri Poincaré (1854-1912), unul dintre cei mai mari matematicieni din toate timpurile și, în egală măsură, filosof al științei și fizician teoretician, subliniază în acest text importanța intuiției în descoperirea și construcția adevărurilor matematicii. Deși nu este scrisă în registru polemic, analiza sa are totuși o țintă și un adversar ușor de ghicit: logicismul, care domina la începutul secolului al XX-lea în gândirea matematică și punea un
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
spre sfârșitul anilor '60, pierzând din influență odată cu teoriile lui Gödel și, mai ales, cu dezvoltarea matematicii în direcții care puneau în valoare noi tipuri de raționament și tehnici matematice cu impact în știința secolului al XX-lea. Evidențiind rolul intuiției în descoperirea matematică și echilibrul subtil dintre aceasta și rigoarea logică, autorul subliniază un adevăr fundamental, pe care, de altfel, îl va susține în numeroase alte eseuri consacrate acestui subiect: matematica nu se reduce la logică, iar gândirea matematică are
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
și Kant. Ele au arătat că nu există o judecată sintetică a priori (așa cum spunea Kant pentru a desemna judecățile care nu pot fi demonstrate în mod analitic), au demonstrat că matematica este în întregime reductibilă la logică și că intuiția nu joacă niciun rol în asta. Putem subscrie la această condamnare definitivă? Nu cred acest lucru și voi încerca să arăt de ce. Ce ne sare în ochi la noua matematică este caracterul său pur formal: "Să ne gândim, spune Hilbert
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
sale. Acolo trebuia să ajungă, dat fiind problema care se punea. Voia să reducă la minim numărul axiomelor fundamentale ale geometriei și să facă enumerarea lor completă; or, în raționamentele în care spiritul nostru rămâne activ, în acelea în care intuiția încă joacă un rol, în raționamentele vii, ca să spunem așa, este dificil să nu introduci o axiomă sau un postulat care să treacă neobservat. Așa încât, abia după ce toate raționamentele geometrice au fost aduse la o formă pur mecanică a putut
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
el pentru a studia știința odată creată. Ei bine, ce vreau să cercetez este dacă e adevărat că, odată ce am admis principiile logicii, putem, nu spun să descoperim, ci să demonstrăm toate adevărurile matematice fără a apela din nou la intuiție. La această întrebare răspunsesem altădată că nu (vezi Știință și ipoteză [t.n.], capitolul 1); ar trebui oare modificat răspunsul nostru în lumina lucrărilor recente? Dacă aș fi răspuns nu, ar fi fost din cauză că "principiul inducției complete" mi s-ar
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
geniu cum a fost Henri Poincaré cu mult înainte de demonstrarea riguroasă de către Gödel la începutul anilor '30 a principiului incompletitudinii care, de altfel, chiar asta afirma: inconsistența sau incompletitudinea oricărui sistem axiomatic al aritmeticii. Pledoaria sa antilogicistă și în favoarea rolului intuiției în matematică este deopotrivă de bun-simț și caustică la nivelul polemicii. Invenția matematică 9 Henri Poincaré Geneza invenției matematice este o problemă care ar trebui să inspire cel mai viu interes psihologului. Este actul în care mintea umană pare să
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
O demonstrație matematică nu este o simplă juxtapunere de silogisme, ci sunt silogisme așezate într-o ordine anumită, iar ordinea în care sunt așezate aceste elemente este mult mai importantă chiar și decât elementele în sine. Dacă am sentimentul, sau intuiția ca să spun așa acestei ordini, în așa fel încât să pot sesiza dintr-o privire ansamblul raționamentului, atunci nu trebuie să mă mai tem că am uitat vreunul din elemente; fiecare element se va plasa de la sine în locul care îi
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
aș fi putut să-l inventez; sau, mai degrabă, chiar dacă acest fapt este o iluzie, că dacă nu sunt destul de tare pentru a-l crea eu însumi, atunci îl reinventez, pe măsură ce îl repet. Suntem de acord că acest sentiment, această intuiție a ordinii matematice, care ne face să ghicim armonii și relații ascunse, nu este la îndemâna oricui. Unii nu vor avea nici acest sentiment delicat și dificil de definit, nicio forță de memorie și atenție peste medie, și atunci ei vor
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
atenție. Ei vor învăța pe de rost detaliile unele după altele; vor putea înțelege și, uneori, aplica matematica, dar nu vor fi în stare să creeze. În sfârșit, ceilalți vor avea un nivel mai înalt sau mai scăzut din acea intuiție specială despre care tocmai v-am vorbit, și atunci nu numai că vor putea înțelege matematica, deși memoria lor nu ar avea nimic extraordinar, dar vor putea deveni creatori și vor căuta să inventeze cu mai mult sau mai puțin
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
vor putea înțelege matematica, deși memoria lor nu ar avea nimic extraordinar, dar vor putea deveni creatori și vor căuta să inventeze cu mai mult sau mai puțin succes, în funcție de cât de mult sau puțin este dezvoltată la ei această intuiție. În fapt, ce este invenția matematică? Ea nu constă în a face noi combinații cu lucruri matematice deja cunoscute. Acest lucru îl poate face oricine, dar combinațiile pe care le-am putea face în acest fel ar fi în număr
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
în minte într-un soi de iluminare subită, după un efort inconștient oarecum prelungit, sunt, în general, combinații utile și fertile care par rezultatul unei prime trieri. De aici putem trage concluzia că eul subliminal, odată ce a ghicit, printr-o intuiție subtilă, că aceste combinații puteau fi utile, nu le-a format decât pe acestea, sau, și mai exact, a format mult mai multe care erau lipsite de interes și care au rămas în inconștient. În această a doua perspectivă, toate
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
descoperire a unui rezultat matematic fundamental în analiza modernă (funcțiile fuchsiene), procesul de creație al matematicianului se apropie de cel al artistului care stabilește conexiuni între fapte și adevăruri aparent îndepărtate. Matematica ca proces de gândire este o sinteză între intuiție și logică, dar niciun adevăr matematic profund nu poate fi obținut doar prin simpla manipulare a simbolurilor și regulilor logicii formale. Arta matematicianului este aceea de a realiza conexiuni viabile și profunde între obiecte matematice aparent distincte. De fapt, pornind
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
lui Bernoulli intră în teoria grupurilor de homotopii stabile, chiar dacă ascultătorul are doar o idee aproximativă despre ce sunt numerele lui Bernoulli și grupurile homotope. Ceva și mai bun decât o simplă demonstrație este ideea demonstrației, și în primul rând intuiția care o sugerează, motivul pentru care teorema este adevărată. Găsirea celor mai potrivite cuvinte pentru a descrie ideea centrală a demonstrației este un lucru dificil, dar merită tot efortul; atunci când le-ai găsit, ele îți vor oferi calea perfectă de
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
la faptul (și înclin să fiu de acord) că predarea lui cum se învecinează cu cea a lui de ce. În final, cum predăm de ce-ul? Cum predăm logica și matematica, cum predăm noțiunile abstracte și relațiile dintre ele, cum predăm intuiția, recunoașterea, înțelegerea? Cum predăm aceste lucruri astfel încât, atunci când am terminat, fostul nostru student nu numai să poată trece examenul numind noțiunile și enumerând relațiile, dar să și poată, în același timp, găsi plăcere din perspectiva acestora și, dacă este talentat
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
poate fi învățat fără cum, iar cum nu poate fi învățat fără de ce, întrebarea a străbătut întreg cercul și a revenit la punctul de pornire, transformându-se în faptul că de ce nu poate fi învățat fără ce. Fapte, metode și intuiții toate sunt esențiale tuturor, toate intră în toate subiectele noastre, iar principala noastră menire ca profesori este tocmai să selectăm ce-urile, cum-urile și de ce-urile, să-l dirijăm pe student în direcția cea bună și apoi, mai ales
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
-și schimbe semnul fără a se anula; astăzi acest lucru trebuie demonstrat. Atunci se admitea că regulile de calcul obișnuite sunt aplicabile ca numere incomensurabile, astăzi demonstrăm asta. Erau admise multe alte lucruri, care, uneori, erau false. Ne bazam pe intuiție; dar intuiția nu poate să ne dea rigoare, nici măcar certitudine, și ne-am dat seama de asta din ce în ce mai mult. Ea ne învață, de exemplu, că orice curbă are o tangentă, cu alte cuvinte că orice funcție continuă are o derivată
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
semnul fără a se anula; astăzi acest lucru trebuie demonstrat. Atunci se admitea că regulile de calcul obișnuite sunt aplicabile ca numere incomensurabile, astăzi demonstrăm asta. Erau admise multe alte lucruri, care, uneori, erau false. Ne bazam pe intuiție; dar intuiția nu poate să ne dea rigoare, nici măcar certitudine, și ne-am dat seama de asta din ce în ce mai mult. Ea ne învață, de exemplu, că orice curbă are o tangentă, cu alte cuvinte că orice funcție continuă are o derivată, dar acest
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
din ce în ce mai mult. Ea ne învață, de exemplu, că orice curbă are o tangentă, cu alte cuvinte că orice funcție continuă are o derivată, dar acest lucru este fals. Și întrucât se pune preț pe certitudine, a trebuit ca partea de intuiție să fie din ce în ce mai mică. Cum s-a făcut această evoluție necesară? Nu a durat mult până să se realizeze că rigoarea nu ar putea să fie stabilită în raționamente decât dacă nu era introdusă mai întâi în definiții. Mult timp
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
dar nu aveai decât o imagine brută, și nu o idee precisă care să stea la baza raționamentului. Aici a trebuit să-și unească logicienii eforturile. La fel în cazul numărului incomensurabil. Ideea vagă de continuitate, pe care o datorăm intuiției, s-a rezolvat într-un sistem complicat de inegalități cu numere întregi. Așa au dispărut definitiv toate aceste dificultăți care-i înspăimântau pe înaintașii noștri, când reflectau la bazele calculului diferențial. Astăzi nu au mai rămas în analiză decât numerele
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
din nou dacă vrei să treci această frontieră pentru a pătrunde în regatul practicii. Aveam o noțiune vagă, formată din elemente disparate, unele a priori, altele provenind din experiențe mai mult sau mai puțin digerate; credeam că le cunoaștem, prin intuiție, principalele proprietăți. Astăzi aruncăm elementele empirice și nu păstrăm decât elementele a priori; una dintre proprietăți servește drept definiție, iar toate celelalte se deduc printr-un raționament riguros. Asta-i foarte bine, dar rămâne să demonstrăm că această proprietate, care
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
definiție, aparține într-adevăr obiectelor reale pe care experiența ni le-a făcut cunoscute și din care ne-am tras noțiunea intuitivă vagă. Pentru a o demonstra, trebuie să apelăm destul de mult la experiență, sau să facem un efort de intuiție, și dacă nu putem s-o dovedim, atunci teoremele noastre ar fi perfect riguroase, dar și perfect inutile. Logica naște uneori monștri. De o jumătate de secol am văzut apărând o mulțime de funcții bizare care par să se forțeze
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
care face unitatea demonstrației. În cazul edificiilor ridicate de maeștrii noștri, la ce bun să admiri opera zidarului dacă nu poți înțelege planul arhitectului? Or, logica pură nu ne poate da această privire de ansamblu, trebuie s-o căutăm prin intuiție. Să luăm, de exemplu, ideea de funcție continuă. Mai întâi este o imagine sensibilă, o urmă trasată cu creta pe o tablă neagră. Puțin câte puțin se purifică; ne servim de ea pentru a construi un sistem complicat de inegalități
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
noștri, până ce rigoarea perfectă va putea să-l satisfacă. Nu este suficient să te îndoiești de toate, trebuie să știi de ce te îndoiești. Scopul principal al învățământului matematic este acela de a dezvolta anumite însușiri ale spiritului, și dintre acestea intuiția nu este printre cele mai puțin prețioase. Prin ea, lumea matematică rămâne în contact cu lumea reală, și atunci când matematica pură ar putea să uite de ea, ar trebui întotdeauna să fie reamintită pentru a acoperi abisul care separă simbolul
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]