64,281 matches
-
modernă a numerelor, cum ar fi teorema celor patru pătrate a lui Lagrange și teorema fundamentală a aritmeticii (factorizarea unică). Algoritmul lui Euclid calculează eficient CMMDC a două numere oricât de mari sunt, deoarece nu necesită niciodată un număr de pași mai mare decât de cinci ori numărul de cifre (în bază 10) al celui mai mic întreg. Gabriel Lamé a demonstrat aceasta în 1844, marcând începutul teoriei complexității computaționale. În secolul al XX-lea s-au dezvoltat metode de îmbunătățire
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
fie soluția originală era imposibilă, fie construcția unor soluții mai mici trebuie să se termine. Acest din urmă argument este folosit pentru a arăta că algoritmul lui Euclid pentru numere naturale trebuie să se termine într-un număr finit de pași. Algoritmul lui Euclid este iterativ, adică răspunsul se găsește după un număr de pași; rezultatul fiecărui pas este utilizat ca punct de început pentru pasul următor. Fie "k" un întreg care numără pașii algoritmului, începând cu zero. Astfel, pasul inițial
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
termine. Acest din urmă argument este folosit pentru a arăta că algoritmul lui Euclid pentru numere naturale trebuie să se termine într-un număr finit de pași. Algoritmul lui Euclid este iterativ, adică răspunsul se găsește după un număr de pași; rezultatul fiecărui pas este utilizat ca punct de început pentru pasul următor. Fie "k" un întreg care numără pașii algoritmului, începând cu zero. Astfel, pasul inițial corespunde lui "k" = 0, pasul următor corespunde lui "k" = 1, și așa mai departe
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
urmă argument este folosit pentru a arăta că algoritmul lui Euclid pentru numere naturale trebuie să se termine într-un număr finit de pași. Algoritmul lui Euclid este iterativ, adică răspunsul se găsește după un număr de pași; rezultatul fiecărui pas este utilizat ca punct de început pentru pasul următor. Fie "k" un întreg care numără pașii algoritmului, începând cu zero. Astfel, pasul inițial corespunde lui "k" = 0, pasul următor corespunde lui "k" = 1, și așa mai departe. Fiecare pas începe
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
algoritmul lui Euclid pentru numere naturale trebuie să se termine într-un număr finit de pași. Algoritmul lui Euclid este iterativ, adică răspunsul se găsește după un număr de pași; rezultatul fiecărui pas este utilizat ca punct de început pentru pasul următor. Fie "k" un întreg care numără pașii algoritmului, începând cu zero. Astfel, pasul inițial corespunde lui "k" = 0, pasul următor corespunde lui "k" = 1, și așa mai departe. Fiecare pas începe cu două resturi nenegative "r" și "r". Întrucât
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
se termine într-un număr finit de pași. Algoritmul lui Euclid este iterativ, adică răspunsul se găsește după un număr de pași; rezultatul fiecărui pas este utilizat ca punct de început pentru pasul următor. Fie "k" un întreg care numără pașii algoritmului, începând cu zero. Astfel, pasul inițial corespunde lui "k" = 0, pasul următor corespunde lui "k" = 1, și așa mai departe. Fiecare pas începe cu două resturi nenegative "r" și "r". Întrucât algoritmul asigură că resturile scad la fiecare pas
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
de pași. Algoritmul lui Euclid este iterativ, adică răspunsul se găsește după un număr de pași; rezultatul fiecărui pas este utilizat ca punct de început pentru pasul următor. Fie "k" un întreg care numără pașii algoritmului, începând cu zero. Astfel, pasul inițial corespunde lui "k" = 0, pasul următor corespunde lui "k" = 1, și așa mai departe. Fiecare pas începe cu două resturi nenegative "r" și "r". Întrucât algoritmul asigură că resturile scad la fiecare pas, "r" este mai mic decât predecesorul
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
iterativ, adică răspunsul se găsește după un număr de pași; rezultatul fiecărui pas este utilizat ca punct de început pentru pasul următor. Fie "k" un întreg care numără pașii algoritmului, începând cu zero. Astfel, pasul inițial corespunde lui "k" = 0, pasul următor corespunde lui "k" = 1, și așa mai departe. Fiecare pas începe cu două resturi nenegative "r" și "r". Întrucât algoritmul asigură că resturile scad la fiecare pas, "r" este mai mic decât predecesorul sau "r". Scopul pasului "k" este
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
fiecărui pas este utilizat ca punct de început pentru pasul următor. Fie "k" un întreg care numără pașii algoritmului, începând cu zero. Astfel, pasul inițial corespunde lui "k" = 0, pasul următor corespunde lui "k" = 1, și așa mai departe. Fiecare pas începe cu două resturi nenegative "r" și "r". Întrucât algoritmul asigură că resturile scad la fiecare pas, "r" este mai mic decât predecesorul sau "r". Scopul pasului "k" este găsirea câtului "q" și a restului "r" astfel încât să fie satisfăcută
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
pașii algoritmului, începând cu zero. Astfel, pasul inițial corespunde lui "k" = 0, pasul următor corespunde lui "k" = 1, și așa mai departe. Fiecare pas începe cu două resturi nenegative "r" și "r". Întrucât algoritmul asigură că resturile scad la fiecare pas, "r" este mai mic decât predecesorul sau "r". Scopul pasului "k" este găsirea câtului "q" și a restului "r" astfel încât să fie satisfăcută ecuația: unde "r" < "r". Cu alte cuvinte, multiplii celui mai mic număr "r" sunt scăzuți din numărul
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
k" = 0, pasul următor corespunde lui "k" = 1, și așa mai departe. Fiecare pas începe cu două resturi nenegative "r" și "r". Întrucât algoritmul asigură că resturile scad la fiecare pas, "r" este mai mic decât predecesorul sau "r". Scopul pasului "k" este găsirea câtului "q" și a restului "r" astfel încât să fie satisfăcută ecuația: unde "r" < "r". Cu alte cuvinte, multiplii celui mai mic număr "r" sunt scăzuți din numărul mai mare "r" până când restul este mai mic decât "r
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
este găsirea câtului "q" și a restului "r" astfel încât să fie satisfăcută ecuația: unde "r" < "r". Cu alte cuvinte, multiplii celui mai mic număr "r" sunt scăzuți din numărul mai mare "r" până când restul este mai mic decât "r". În pasul inițial ("k" = 0), resturile "r" și "r" sunt chiar "a" și "b", numerele al căror CMMDC este căutat. În pasul următor ("k" = 1), resturile sunt "b" și restul "r" al pasului inițial, și așa mai departe. Astfel, algoritmul poate fi
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
celui mai mic număr "r" sunt scăzuți din numărul mai mare "r" până când restul este mai mic decât "r". În pasul inițial ("k" = 0), resturile "r" și "r" sunt chiar "a" și "b", numerele al căror CMMDC este căutat. În pasul următor ("k" = 1), resturile sunt "b" și restul "r" al pasului inițial, și așa mai departe. Astfel, algoritmul poate fi scris ca o secvență de ecuații Dacă "a" este mai mic decât "b", primul pas al algoritmului schimbă numerele între
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
r" până când restul este mai mic decât "r". În pasul inițial ("k" = 0), resturile "r" și "r" sunt chiar "a" și "b", numerele al căror CMMDC este căutat. În pasul următor ("k" = 1), resturile sunt "b" și restul "r" al pasului inițial, și așa mai departe. Astfel, algoritmul poate fi scris ca o secvență de ecuații Dacă "a" este mai mic decât "b", primul pas al algoritmului schimbă numerele între ele. De exemplu, dacă "a" < "b", câtul inițial "q" este zero
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
căror CMMDC este căutat. În pasul următor ("k" = 1), resturile sunt "b" și restul "r" al pasului inițial, și așa mai departe. Astfel, algoritmul poate fi scris ca o secvență de ecuații Dacă "a" este mai mic decât "b", primul pas al algoritmului schimbă numerele între ele. De exemplu, dacă "a" < "b", câtul inițial "q" este zero, iar restul "r" este "a". Astfel, "r" este mai mic decât predecesorul său "r" pentru orice "k" ≥ 0. Întrucât resturile scad la fiecare pas
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
pas al algoritmului schimbă numerele între ele. De exemplu, dacă "a" < "b", câtul inițial "q" este zero, iar restul "r" este "a". Astfel, "r" este mai mic decât predecesorul său "r" pentru orice "k" ≥ 0. Întrucât resturile scad la fiecare pas dar nu pot fi niciodată negative, un rest "r" trebuie în cele din urmă să fie zero, moment în care algoritmul se oprește. Ultimul rest nenul "r" este cel mai mare divizor comun al lui "a" și "b". Numărul "N
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
mai mare divizor comun al lui "a" și "b". Numărul "N" nu poate fi infinit deoarece există doar un număr finit de numere nenegative întregi între restul inițial "r" și zero. Corectitudinea algoritmului lui Euclid se poate demonstra în doi pași. La primul pas, se arată că ultimul rest nenul "r" divide atât pe "a" cât și pe "b". Cum este divizor comun, el trebuie să fie mai mic sau egal cu cel mai mare divizor comun "g". În al doilea
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
comun al lui "a" și "b". Numărul "N" nu poate fi infinit deoarece există doar un număr finit de numere nenegative întregi între restul inițial "r" și zero. Corectitudinea algoritmului lui Euclid se poate demonstra în doi pași. La primul pas, se arată că ultimul rest nenul "r" divide atât pe "a" cât și pe "b". Cum este divizor comun, el trebuie să fie mai mic sau egal cu cel mai mare divizor comun "g". În al doilea pas, se arată
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
La primul pas, se arată că ultimul rest nenul "r" divide atât pe "a" cât și pe "b". Cum este divizor comun, el trebuie să fie mai mic sau egal cu cel mai mare divizor comun "g". În al doilea pas, se arată că orice divizor comun al lui "a" și "b", inclusiv "g", trebuie să-l dividă pe "r"; deci, "g" trebuie să fie mai mic sau egal cu "r". Aceste două concluzii sunt inconsistente doar dacă "r" nu este
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
dividă pe "r"; deci, "g" trebuie să fie mai mic sau egal cu "r". Aceste două concluzii sunt inconsistente doar dacă "r" nu este egal cu "g". Pentru a demonstra că "r" divide și pe "a" și pe "b" (primul pas), "r" divide predecesorul său "r" întrucât ultimul rest "r" este zero. "r" divide și pe următorul său predecesor "r" deoarece el divide ambii termeni ai părții drepte a ecuației. Iterând același argument, "r" divide toate celelalte resturi, inclusiv pe "a
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
a" și pe "b". Niciunul din resturile anterioare "r", "r", etc. nu divid pe "a" și pe "b", deoarece toate lasă un rest nenul. Cum "r" este un divizor comun al lui "a" și "b", "r" ≤ "g". În al doilea pas, orice număr natural "c" care divide pe "a" și pe "b" (cu alte cuvinte, orice divizor comun al lui "a" și "b") divide resturile "r". Prin definiție, "a" și "b" pot fi scrise ca multipli de "c": "a" = "mc" și
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
niciun rest Cum ultimul rest este zero, algoritmul se termină cu 21 ca cel mai mare divizor comun al lui 1071 și 462. Rezultatul este în concordanță cu CMMDC(1071, 462) găsit prin factorizarea efectuată mai sus. În formă tabelară, pașii sunt: Algoritmul lui Euclid poate fi vizualizat în termenii analogiei pătratelor dată mai sus pentru cel mai mare divizor comun. Se presupune că se dorește acoperirea unui dreptunghi "a"-pe-"b" cu pătrate care să-l acopere exact, unde "a
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
rezidual. Lungimea laturilor celui mai mic pătrat este CMMDC al dimensiunilor dreptunghiului original. De exemplu, cel mai mic pătrat din figura alăturată este 21-pe-21 (cu roșu), iar 21 este CMMDC de 1071 și 462, dimensiunile dreptunghiului original (verde). La fiecare pas "k", algoritmul lui Euclid calculează un cât "q" și un rest "r" ale două numere "r" și "r" unde modulul lui "r" este strict mai mic decât cel al lui "r". Teorema împărțirii cu rest asigură că există întotdeauna acest
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
de congruență din aritmetica modulară. Implementările algoritmului se pot exprima în pseudocod. De exemplu, versiunea bazată pe împărțire trebuie să fie programată ca La îneputul iterației "k", variabila "b" deține ultimul rest "r", iar variabila "a" deține predecesorul acesteia, "r". Pasul "b" := "a" mod "b" este echivalent cu formula recursivă de mai sus "r" ≡ "r" mod "r". Variabila "t" reține valoarea lui "r" în timp ce se calculează următorul rest "r". La sfârșitul acestei bucle de iterații, variabila " b" va păstra restul "r
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
doilea CMMDC se calculează din CMMDC(147, 462 mod 147) = CMMDC(147, 21), care la rândul său se calculează din CMMDC(21, 147 mod 21) = CMMDC(21, 0) = 21. Într-o altă versiune a algoritmului lui Euclid, câtul de la fiecare pas este crescut cu unu dacă restul negativ rezultat este mai mic în modul decât restul pozitiv tipic. Anterior, ecuația presupunea că "r" > "r" > 0. Se poate, însa, calcula și un alt rest negativ "e" unde "r" este presupus pozitiv. Dacă
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]