64,281 matches
-
r" > "r" > 0. Se poate, însa, calcula și un alt rest negativ "e" unde "r" este presupus pozitiv. Dacă |"e"| < |"r"|, atunci "r" este înlocuit de "e". După cum a arătat Leopold Kronecker, această versiune necesită cel mai mic număr de pași dintre toate versiunile algoritmului lui Euclid. Algoritmul lui Euclid este unul dintre cei mai vechi algoritmi încă în uz. El apare în "Elemente" (c. 300 î.e.n.), anume în Cartea 7 (Propunerile 1-2) și în Cartea 10 (Propunerile 2-3). În Cartea
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
utilizând algoritmul lui Euclid extins. Această extensie adaugă algoritmului lui Euclid două ecuații recursive cu valorile de început Cu ajutorul acestei relații de recurență, întregii lui Bézout "s" și "t" sunt dați de "s" = "s" și "t" = "t", unde "N" este pasul la care algoritmul se termină cu "r" = 0. Validitatea acestei abordări se poate demonstra prin inducție. Se presupune că formula recursivă este corectă până la pasul "k"−1 al algoritmului, cu alte cuvinte, se presupune că pentru orice "j" mai mic
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
Bézout "s" și "t" sunt dați de "s" = "s" și "t" = "t", unde "N" este pasul la care algoritmul se termină cu "r" = 0. Validitatea acestei abordări se poate demonstra prin inducție. Se presupune că formula recursivă este corectă până la pasul "k"−1 al algoritmului, cu alte cuvinte, se presupune că pentru orice "j" mai mic decât "k". Al "k"-lea pas al algoritmului dă ecuația Întrucât formula de recurență este considerată corectă pentru "r" și "r", ele pot fi exprimate
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
cu "r" = 0. Validitatea acestei abordări se poate demonstra prin inducție. Se presupune că formula recursivă este corectă până la pasul "k"−1 al algoritmului, cu alte cuvinte, se presupune că pentru orice "j" mai mic decât "k". Al "k"-lea pas al algoritmului dă ecuația Întrucât formula de recurență este considerată corectă pentru "r" și "r", ele pot fi exprimate în funcție de variabilele corespunzătoare "s" și "t" Rearanjând această ecuație, rezultă formula de recurență pentru pasul "k" Întregii "s" și "t" pot
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
mic decât "k". Al "k"-lea pas al algoritmului dă ecuația Întrucât formula de recurență este considerată corectă pentru "r" și "r", ele pot fi exprimate în funcție de variabilele corespunzătoare "s" și "t" Rearanjând această ecuație, rezultă formula de recurență pentru pasul "k" Întregii "s" și "t" pot fi găsiți și folosind o metodă echivalentă bazată pe matrice. Secvența de ecuații a algoritmului lui Euclid se poate scrie ca produs al matricilor câturilor 2-pe-2 înmulțite cu un vector bidimensional al resturilor Fie
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
Deoarece ecuația de sus dă cei doi întregi ai identității lui Bézout sunt "s" = (−1)"m" și "t" = (−1)"m". Metoda matricei este la fel de eficientă ca și cea a formulei de recurență, cu două înmulțiri și două adunări la fiecare pas al algoritmului lui Euclid. Identitatea lui Bézout este esențială pentru multe aplicații ale algoritmului lui Euclid, cum ar fi demonstrarea unicității descompunerii numerelor în factori primi. Pentru a ilustra aceasta, se presupune că un număr "L" poate fi scris ca
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
a" ≡ 1 mod "m". Acest invers se poate găsi rezolvând ecuația "ax" ≡ 1 mod "m", sau ecuația diofantică liniară echivalentă Această ecuație se poate rezolva cu ajutorul algoritmului lui Euclid, după cum s-a arătat mai sus. Găsirea inversului multiplicativ este un pas esențial în algoritmul RSA, folosit pe scară largă în comerțul electronic; anume, ecuația determină întregul utilizat pentru a decripta mesajul. Deși algoritmul RSA utilizează inele și nu corpuri, se poate folosi algoritmul lui Euclid pentru găsirea inversului multiplicativ acolo unde
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
exemplul de mai sus, s-a calculat CMMDC(1071, 462), iar câturile "q" erau 2, 3 și respectiv 7. Deci fracția 1071/462 poate fi scrisă sub forma după cum confirmă și calculele. Calculul celui mai mare divizor comun este un pas esențial în mai mulți algoritmi de factorizare a întregilor, such as Pollard's rho algorithm, algoritmul lui Shor, metoda de factorizare a lui Dixon și factorizarea Lenstra cu curbe eliptice. Algoritmul lui Euclid poate fi utilizat eficient pentru găsirea CMMDC
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
poate fi utilizat eficient pentru găsirea CMMDC în aceste cazuri. Factorizarea cu fracții continue utilizează fracțiile continue, determinate folosind algoritmul lui Euclid. Eficiența computațională a algoritmului lui Euclid a fost mult studiată. Această eficiență poate fi descrisă de numărul de pași ai algoritmului înmulțit cu costul computațional al fiecărui pas. După cum a arătat Gabriel Lamé pentru prima oară în 1844, numărul de pași necesar pentru terminarea calculului nu este niciodată mai mare decât numărul "h" de cifre (în baza 10) al
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
cazuri. Factorizarea cu fracții continue utilizează fracțiile continue, determinate folosind algoritmul lui Euclid. Eficiența computațională a algoritmului lui Euclid a fost mult studiată. Această eficiență poate fi descrisă de numărul de pași ai algoritmului înmulțit cu costul computațional al fiecărui pas. După cum a arătat Gabriel Lamé pentru prima oară în 1844, numărul de pași necesar pentru terminarea calculului nu este niciodată mai mare decât numărul "h" de cifre (în baza 10) al celui mai mic număr. Întrucât costul computațional al fiecărui
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
Eficiența computațională a algoritmului lui Euclid a fost mult studiată. Această eficiență poate fi descrisă de numărul de pași ai algoritmului înmulțit cu costul computațional al fiecărui pas. După cum a arătat Gabriel Lamé pentru prima oară în 1844, numărul de pași necesar pentru terminarea calculului nu este niciodată mai mare decât numărul "h" de cifre (în baza 10) al celui mai mic număr. Întrucât costul computațional al fiecărui pas este și el de ordinul lui "h", costul total crește ca "h
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
După cum a arătat Gabriel Lamé pentru prima oară în 1844, numărul de pași necesar pentru terminarea calculului nu este niciodată mai mare decât numărul "h" de cifre (în baza 10) al celui mai mic număr. Întrucât costul computațional al fiecărui pas este și el de ordinul lui "h", costul total crește ca "h". Numărul de pași necesari pentru calculul CMMDC a două numere naturale, "a" și "b", se poate nota cu "T"("a", "b"). Dacă "g" este CMMDC al lui "a
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
terminarea calculului nu este niciodată mai mare decât numărul "h" de cifre (în baza 10) al celui mai mic număr. Întrucât costul computațional al fiecărui pas este și el de ordinul lui "h", costul total crește ca "h". Numărul de pași necesari pentru calculul CMMDC a două numere naturale, "a" și "b", se poate nota cu "T"("a", "b"). Dacă "g" este CMMDC al lui "a" și "b", atunci "a" = "mg" și "b" = "ng" pentru două numere "m" și "n" prime
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
și "b", se poate nota cu "T"("a", "b"). Dacă "g" este CMMDC al lui "a" și "b", atunci "a" = "mg" și "b" = "ng" pentru două numere "m" și "n" prime între ele. Atunci după cum se poate vedea împărțind toți pașii din algoritmul lui Euclid la "g". După același argument, numărul de pași rămâne același dacă "a" și "b" sunt înmulțiți cu un factor comun "w": "T"("a", "b") = "T"("wa", "wb"). De aceea, numărul "T" de pași poate varia dramatic
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
CMMDC al lui "a" și "b", atunci "a" = "mg" și "b" = "ng" pentru două numere "m" și "n" prime între ele. Atunci după cum se poate vedea împărțind toți pașii din algoritmul lui Euclid la "g". După același argument, numărul de pași rămâne același dacă "a" și "b" sunt înmulțiți cu un factor comun "w": "T"("a", "b") = "T"("wa", "wb"). De aceea, numărul "T" de pași poate varia dramatic între perechi foarte apropiate de numere, cum ar fi T("a", "b
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
vedea împărțind toți pașii din algoritmul lui Euclid la "g". După același argument, numărul de pași rămâne același dacă "a" și "b" sunt înmulțiți cu un factor comun "w": "T"("a", "b") = "T"("wa", "wb"). De aceea, numărul "T" de pași poate varia dramatic între perechi foarte apropiate de numere, cum ar fi T("a", "b") și T("a", "b" + 1), în funcție de cât de mare este CMMDC în fiecare caz. Natura recursivă a algoritmului lui Euclid dă o altă ecuație: unde
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
și T("a", "b" + 1), în funcție de cât de mare este CMMDC în fiecare caz. Natura recursivă a algoritmului lui Euclid dă o altă ecuație: unde se presupune că "T"("x", 0) = 0. Dacă algoritmul lui Euclid se execută în "N" pași pentru două numere naturale "a" > "b" > 0, cele mai mici valori ale lui "a" și "b" pentru care acest lucru este adevărat sunt numerele Fibonacci "F" respectiv "F". Aceasta se poate arăta prin inducție. Dacă "N" = 1, "b" divide "a
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
divide "a"; cele mai mici numere naturale pentru care acest lucru este adevărat sunt "b" = 1 și "a" = 2, care sunt "F" și respectiv "F". Se presupune că rezultatul este valabil pentru toate valorile lui "N" până la "M" − 1. Primul pas al algoritmului de "M" pași este "a" = "q""b" + "r", iar al doilea pas este "b" = "q""r" + "r". Algoritmul fiind recursiv, el a rulat "M"−1 pași pentru a găsi CMMDC("b", "r") iar valorile lor cele mai mici
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
numere naturale pentru care acest lucru este adevărat sunt "b" = 1 și "a" = 2, care sunt "F" și respectiv "F". Se presupune că rezultatul este valabil pentru toate valorile lui "N" până la "M" − 1. Primul pas al algoritmului de "M" pași este "a" = "q""b" + "r", iar al doilea pas este "b" = "q""r" + "r". Algoritmul fiind recursiv, el a rulat "M"−1 pași pentru a găsi CMMDC("b", "r") iar valorile lor cele mai mici sunt "F" și "F". Cea
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
b" = 1 și "a" = 2, care sunt "F" și respectiv "F". Se presupune că rezultatul este valabil pentru toate valorile lui "N" până la "M" − 1. Primul pas al algoritmului de "M" pași este "a" = "q""b" + "r", iar al doilea pas este "b" = "q""r" + "r". Algoritmul fiind recursiv, el a rulat "M"−1 pași pentru a găsi CMMDC("b", "r") iar valorile lor cele mai mici sunt "F" și "F". Cea mai mică valoare a lui "a" este deci cea
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
rezultatul este valabil pentru toate valorile lui "N" până la "M" − 1. Primul pas al algoritmului de "M" pași este "a" = "q""b" + "r", iar al doilea pas este "b" = "q""r" + "r". Algoritmul fiind recursiv, el a rulat "M"−1 pași pentru a găsi CMMDC("b", "r") iar valorile lor cele mai mici sunt "F" și "F". Cea mai mică valoare a lui "a" este deci cea cu "q" = 1, de unde "a" = "b" + "r" = "F" + "F" = "F". Această demonstrație, publicată de
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
1, de unde "a" = "b" + "r" = "F" + "F" = "F". Această demonstrație, publicată de Gabriel Lamé în 1844, reprezintă începuturile teoriei complexității computaționale, fiind și prima aplicație practică a șirului lui Fibonacci. Acest rezultat este suficient pentru a arăta că numărul de pași din algoritmul lui Euclid nu poate fi niciodată mai mare decât de cinci ori numărul cifrelor sale (în bază 10). Dacă algoritmul rulează în "N" pași, atunci "b" este mai mare sau egal cu "F" care este mai mare sau
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
a șirului lui Fibonacci. Acest rezultat este suficient pentru a arăta că numărul de pași din algoritmul lui Euclid nu poate fi niciodată mai mare decât de cinci ori numărul cifrelor sale (în bază 10). Dacă algoritmul rulează în "N" pași, atunci "b" este mai mare sau egal cu "F" care este mai mare sau egal cu "φ", unde "φ" este raportul de aur. Cum "b" > "φ", atunci "N" < log"b". Întrucât log"φ" > 1/5, "N"/5 < log"φ" log
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
log"φ" log"b" = log"b". Astfel, "N" < 5 log"b". Deci, algoritmul lui Euclid are nevoie întotdeauna de mai puțin decât "O"("h") împărțiri, unde "h" este numărul de cifre al celui mai mic număr "b". Numărul mediu de pași al algoritmului lui Euclid a fost definit în trei moduri diferite. Prima definiție este timpul mediu "T"("a") necesar pentru a calcula CMMDC al unui număr "a" și al unui număr mai mic "b" ales cu probabilitate egală dintre întregii
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
unui număr mai mic "b" ales cu probabilitate egală dintre întregii dintre 0 și "a" − 1 ea poate fi aproximată prin formula unde Λ ("d") este funcția Mangoldt. O a treia medie "Y"("n") este definită ca numărul mediu de pași necesar atunci când "a" și "b" sunt ambele alese aleator (cu distribuție uniformă) între 1 și "n" Înlocuind formula aproximativă pentru "T"("a") în această ecuație rezultă o estimare a lui "Y"("n") La fiecare pas "k" al algoritmului lui Euclid
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]