822 matches
-
mai recente, unele construcții geometrice au fost motivate de noțiuni din teoria grupurilor. Într-un mod similar, teoria grupurilor geometrice implică concepte geometrice, de exemplu în studiul grupurilor hiperbolice. Alte domenii în care apar aplicații cruciale ale grupurilor sunt geometria algebrică și teoria numerelor. Există și multe alte aplicații practice. Criptografia se bazează pe combinația dintre abordarea din teoria grupurilor abstracte și cunoștințele algoritmice obținute în teoria computațională a grupurilor, în particular la implementarea în domeniul grupurilor finite. Aplicațiile teoriei grupurilor
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
numerele întregi și cele raționale prezintă o structură naturală de grup. În unele cazuri, cum este cel al numerelor raționale, atât adunarea cât și înmulțirea sunt operații care dau naștere unor structuri de grup. Asemenea structuri sunt predecesoarele unor structuri algebrice mai generale, denumite inele și corpuri. Grupul numerelor întregi Z cu operația de adunare, notat (Z, +), a fost descris mai sus. Numerele întregi, împreună cu operația de înmulțire, (Z, ·) "nu" formează un grup. Axiomele de închidere, asociativitate și element neutru sunt
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
care un grup dat nu este abelian. "Grupurile de simetrie" sunt grupuri compuse din transformări de simetrie ale unor obiecte matematce date—fie de natură geometrică, cum ar fi grupul de simetrie al pătratului din exemplul introductiv, fie de natură algebrică, cum ar fi ecuațiile polinomiale și soluțiile lor. Conceptual, teoria grupurilor poate fi văzută ca fiind studiul simetriei. Matematica simetriilor simplifică mult studiul obiectelor geometrice sau analitice. Se spune că un grup "acționează" asupra unui alt obiect matematic "X" dacă
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
Dată fiind o acțiune de grup, aceasta dă noi sensuri studiului obiectului asupra căruia acționează. Pe de altă parte, ea dă informații și despre grup. Reprezentările de grup sunt un principiu de organizare în teoria grupurilor finite, grupurilor Lie, grupurilor algebrice și grupurilor topologice, mai ales grupurilor (local) compacte. "Grupurile Galois" au fost dezvoltate pentru a ajuta rezolvarea ecuațiilor polinomiale identificând caracteristicile de simetrie ale acestora. De exemplu, soluțiile ecuației de gradul doi "ax" + "bx" + "c" = 0 sunt date de Schimbând
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
studiate prin analiză armonică. Primele oferă un formalism abstract de integrale invariante. Invarianța înseamnă, în cazul numerelor reale de exemplu: pentru orice "c" constant. Grupurile matriceale peste aceste grupuri cad sub incidența acestui regim, ca și inelele adelice și grupurile algebrice adelice, structuri importante pentru teoria numerelor. Grupurile Galois de extensii de grupuri infinite cum ar fi grupul absolut Galois pot și ele să fie echipate cu o topologie, așa-numita topologie Krull, importantă pentru generalizarea legăturii schițate mai sus între
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
absolut Galois pot și ele să fie echipate cu o topologie, așa-numita topologie Krull, importantă pentru generalizarea legăturii schițate mai sus între corpuri și grupuri și extensii de grupuri infinite. O generalizare avansată a acestei idei, adaptată nevoilor geometriei algebrice, este grupul fundamental étale. "Grupurile Lie" (denumite în cinstea lui Sophus Lie) sunt grupuri cu structură de varietate, adică spații care local seamănă cu un spațiu euclidian de dimensiune corespunzătoare. Din nou, structura adițională, aici cea de varietate, trebuie să
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
modernă a interacțiunilor fizice cu ajutorul teoriei de scală. În algebra abstractă, sunt definite structuri mai generale prin relaxarea unora dintre axiomele de definiție ale grupurilor. De exemplu, dacă se renunță la condiția ca fiecare element să aibă un invers, structura algebrică rezultată se numește monoid. Mulțimea numerelor naturale N (inclusiv 0) împreună cu operația de adunare formează un monoid, la fel și numerele întregi nenule împreună cu operația de înmulțire , vezi mai sus. Există o metodă generală de a adăuga formal inversele elementelor
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
1938. A fost membru titular al Academiei de Stiinte din România începând cu 21 decembrie 1935. Aurel Angelescu a realizat cercetări în legătură cu funcțiile generatoare ale claselor de polinoame; ale ecuațiilor diferențiale liniare; asupra seriilor trigonometrice; asupra teoriei generale a ecuațiilor algebrice. S-a ocupat de clasele de polinoame ale lui Legendre, Laguerre, Apell, Hermite. A scris circa 60 de memorii și articole. Cea mai valoroasă lucrare a sa este "Lecțiuni de calcul diferențial" (1927). În lucrările sale se resimte influența lui
Aurel Angelescu () [Corola-website/Science/302764_a_304093]
-
Geometria algebrică este o ramură a matematicii, care, așa cum numele o sugerează, combină algebra abstractă, în special algebra comutativă cu geometria. Geometria algebrică poate fi înțeleasă ca studiul unui grup de soluții al sistemelor de ecuații algebrice. Atunci când există mai mult de
Geometrie algebrică () [Corola-website/Science/302781_a_304110]
-
Geometria algebrică este o ramură a matematicii, care, așa cum numele o sugerează, combină algebra abstractă, în special algebra comutativă cu geometria. Geometria algebrică poate fi înțeleasă ca studiul unui grup de soluții al sistemelor de ecuații algebrice. Atunci când există mai mult de o variabilă, considerente de natură geometrică intră "în joc", înțelegerea fenomenului fiind importantă. S-ar putea spune că subiectul abia începe
Geometrie algebrică () [Corola-website/Science/302781_a_304110]
-
Geometria algebrică este o ramură a matematicii, care, așa cum numele o sugerează, combină algebra abstractă, în special algebra comutativă cu geometria. Geometria algebrică poate fi înțeleasă ca studiul unui grup de soluții al sistemelor de ecuații algebrice. Atunci când există mai mult de o variabilă, considerente de natură geometrică intră "în joc", înțelegerea fenomenului fiind importantă. S-ar putea spune că subiectul abia începe acolo unde rezolvarea ecuațiilor se termină. De asemenea, se poate argumenta că este la fel de
Geometrie algebrică () [Corola-website/Science/302781_a_304110]
-
că este la fel de importantă găsirea ansamblului tuturor soluțiilor posibile ale unui sistem de ecuații ca și găsirea unei singure soluții. Oricum, aceste considerente conduc la interpretări de natură complexă și filozofică a matematicii, atât conceptual cât și tehnic. În geometria algebrică clasică, obiectul esențial al interesului îl reprezintă grupul tuturor punctelor care satisfac simultan una sau mai multe ecuații polinomiale. Spre exemplificare, sfera tridimensională în spațiul euclidian tridimensional formula 1 poate fi definită ca mulțimea tuturor punctelor formula 2 care satisfac ecuația: Astfel
Geometrie algebrică () [Corola-website/Science/302781_a_304110]
-
Nullstellensatz"), care afirmă că pentru un ideal de polinoame formula 25, unde formula 27 denotă radicalul lui formula 25. De asemenea, pentru orice varietate formula 29 are loc relația Varietățile afine sunt precis mulțimile închise din topologia Zariski. O funcție regulată pe o varietate algebrică formula 31 este restricția la formula 17 a unei funcții polinomiale pe formula 33 (adică a unui polinom in formula 34 variabile cu coeficienți în formula 35). Prin definiție, polinoamele din idealul formula 20 se anulează pe întregul formula 37. De aceea, este mai firesc ca funcțiile
Geometrie algebrică () [Corola-website/Science/302781_a_304110]
-
asupra unui obiect va avea ca rezultat modificarea în timp a impulsului. Impulsul este, prin definiție, unde "m" este masa și formula 6 este viteza. În cazul în care masa este constantă, ea poate ieși de sub derivata timpului: de unde rezultă formula algebrică a celei de-a doua legi a lui Newton: Newton însă nu a enunțat niciodată în mod explicit formula în forma ei finală de mai sus. A doua lege a lui Newton afirmă că forța este proporțională cu masa și
Forță () [Corola-website/Science/304451_a_305780]
-
de fracție "m"/"n", cu "m" și "n" întregi. De aceea, reprezentarea sa zecimală nu are sfârșit și nu începe nici să se repete. Numărul este și transcendent, ceea ce înseamnă, printre altele, că nu există un șir finit de operații algebrice cu numere întregi (puteri, extrageri de radicali, sume etc.) al căror rezultat să fie egal cu valoarea lui; demonstrarea acestui fapt a fost o realizare relativ recentă în istoria matematicii și un rezultat semnificativ al matematicienilor germani ai secolului al
Pi () [Corola-website/Science/304110_a_305439]
-
cifre ale lui π. Piemele fac parte din întregul domeniu de studiu al mnemotehnicilor pentru reținerea cifrelor lui π. Din cauza naturii transcendente a lui π, nu există expresii cu formă închisă pentru acest număr în termeni de numere și funcții algebrice. Printre formulele de calcul al lui π cu ajutorul aritmeticii elementare se numără seriile care dau un șir infinit de aproximări ale lui π. Cu cât se includ mai mulți termeni într-un calcul, cu atât mai aproape de π va fi
Pi () [Corola-website/Science/304110_a_305439]
-
menționată mai sus și a altora similare rezultă că normalitatea în baza 2 a lui π și a altor constante se poate reduce la o conjectură plauzibilă din teoria haosului. Nu se cunoaște nici dacă π și "e" sunt independente algebric, deși Iuri Nesterenko a demonstrat independența algebrică a numerelor {π, "e", Γ(1/4)} în 1996. π este omniprezent în matematică, apărând chiar și în locuri fără o legătură evidentă cu cercurile din geometria euclidiană. Pentru orice cerc de rază
Pi () [Corola-website/Science/304110_a_305439]
-
rezultă că normalitatea în baza 2 a lui π și a altor constante se poate reduce la o conjectură plauzibilă din teoria haosului. Nu se cunoaște nici dacă π și "e" sunt independente algebric, deși Iuri Nesterenko a demonstrat independența algebrică a numerelor {π, "e", Γ(1/4)} în 1996. π este omniprezent în matematică, apărând chiar și în locuri fără o legătură evidentă cu cercurile din geometria euclidiană. Pentru orice cerc de rază "r" și diametru "d" = 2"r", circumferința
Pi () [Corola-website/Science/304110_a_305439]
-
la 14 ani după moartea lui Galois, a fost considerată de succesorii săi din acest domeniu al matematicii (în particular de Sophus Lie) ca fiind momentul declanșator din punct de vedere structural și metodologic al matematicilor moderne. Cu teoria ecuațiilor algebrice a mers mai departe decât Niels Henrik Abel, dând o formă definitivă și generală problemei rezolvării ecuațiilor algebrice, construind o teorie cu totul nouă. Pentru cercetarea funcțiilor algebrice, în 1830 a creat celebra teorie a grupurilor, numite ulterior grupuri Galois
Évariste Galois () [Corola-website/Science/304339_a_305668]
-
în particular de Sophus Lie) ca fiind momentul declanșator din punct de vedere structural și metodologic al matematicilor moderne. Cu teoria ecuațiilor algebrice a mers mai departe decât Niels Henrik Abel, dând o formă definitivă și generală problemei rezolvării ecuațiilor algebrice, construind o teorie cu totul nouă. Pentru cercetarea funcțiilor algebrice, în 1830 a creat celebra teorie a grupurilor, numite ulterior grupuri Galois. A tratat și principiile teoriei grupurilor de substituții și s-a ocupat de reprezentarea liniară a grupurilor. A
Évariste Galois () [Corola-website/Science/304339_a_305668]
-
punct de vedere structural și metodologic al matematicilor moderne. Cu teoria ecuațiilor algebrice a mers mai departe decât Niels Henrik Abel, dând o formă definitivă și generală problemei rezolvării ecuațiilor algebrice, construind o teorie cu totul nouă. Pentru cercetarea funcțiilor algebrice, în 1830 a creat celebra teorie a grupurilor, numite ulterior grupuri Galois. A tratat și principiile teoriei grupurilor de substituții și s-a ocupat de reprezentarea liniară a grupurilor. A stabilit teoria generală a grupurilor care stă la baza teoriei
Évariste Galois () [Corola-website/Science/304339_a_305668]
-
baza analizei matematice și care a dat naștere analizei metrice. În 1830, Galois realizează un salt în teoria numerelor prin introducerea a ceea ce ulterior vor fi denumite „imaginarele lui Galois”. În 1831 stabilește condițiile necesare și suficiente pentru ca o ecuație algebrică să fie rezolvabilă prin radicali. Contribuția lui Galois la rezolvarea ecuațiilor algebrice este importantă nu numai prin constituirea grupurilor, cât mai ales prin aprofundarea raportului care există între ideea de grup și aceea de invariant. Teoria grupurilor abstracte a fost
Évariste Galois () [Corola-website/Science/304339_a_305668]
-
Galois realizează un salt în teoria numerelor prin introducerea a ceea ce ulterior vor fi denumite „imaginarele lui Galois”. În 1831 stabilește condițiile necesare și suficiente pentru ca o ecuație algebrică să fie rezolvabilă prin radicali. Contribuția lui Galois la rezolvarea ecuațiilor algebrice este importantă nu numai prin constituirea grupurilor, cât mai ales prin aprofundarea raportului care există între ideea de grup și aceea de invariant. Teoria grupurilor abstracte a fost reluată de: Cauchy, Betti, Cayley, I. A. Serret, Jordan, Sylow, Kronecker, Dedekind
Évariste Galois () [Corola-website/Science/304339_a_305668]
-
aceea de invariant. Teoria grupurilor abstracte a fost reluată de: Cauchy, Betti, Cayley, I. A. Serret, Jordan, Sylow, Kronecker, Dedekind și alții, care au contribuit la răspândirea operei lui Galois clarificând anumite raționamente și precizând aplicațiile acestei teorii. Întreaga disciplină algebrică: grup Galois, câmp Galois, corp Galois este cunoscută sub numele de „teoria lui Galois”. Biografia sa a fost scrisă de către Leopold Infeld și Dupuy (1896). De teoria lui Galois s-au ocupat și matematicienii români: Simion Stoilow (1944), Dan Barbilian
Évariste Galois () [Corola-website/Science/304339_a_305668]
-
reflecta poziția sa de secretar al Cairo Institute. În orașul natal i s-a ridicat o statuie. Institutul de Matematică din Grenoble îi poartă numele. Unul dintre obiectivele importante ale operei sale se referă la teoria rezolvării numerice a ecuațiilor algebrice. Astfel, în perioada 1789 - 1830, a studiat analiza algebrică cu o deosebită perseverență, prezentând un număr mare de aplicații. A utilizat metoda exprimării funcțiilor prin serii trigonometrice (transformata Fourier). A încercat să demonstreze teorema conform căreia orice funcție poate fi
Joseph Fourier () [Corola-website/Science/304398_a_305727]