1,474 matches
-
formularea multor legi din fizică, în principal a celor din electrodinamică. Conceptele moderne ale integrării se bazează pe teoria matematică abstractă numită integrală Lebesgue, dezvoltată de Henri Lebesgue. Leibniz a introdus notația standard a integralei, de forma unui "S alungit". Integrala din paragraful anterior se notează formula 3. Semnul ∫ notează integrarea, "a" și "b" sunt extremitățile intervalului, "f(x)" este funcția care se integrează, iar "dx" notează variabila în care se face integrarea. La început, "dx" reprezenta o "cantitate infinitezimală", iar S
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
integrarea, "a" și "b" sunt extremitățile intervalului, "f(x)" este funcția care se integrează, iar "dx" notează variabila în care se face integrarea. La început, "dx" reprezenta o "cantitate infinitezimală", iar S-ul alungit însemna „sumă”. Însă teoria modernă a integralei este construită pe alte fundamente, iar aceste simboluri tradiționale au devenit simple notații. Dacă o funcție are integrală, ea se numește integrabilă. Funcția pentru care se calculează integrala se mai numește integrand. Regiunea peste care este integrată o funcție se
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
cantitate infinitezimală", iar S-ul alungit însemna „sumă”. Însă teoria modernă a integralei este construită pe alte fundamente, iar aceste simboluri tradiționale au devenit simple notații. Dacă o funcție are integrală, ea se numește integrabilă. Funcția pentru care se calculează integrala se mai numește integrand. Regiunea peste care este integrată o funcție se numește domeniu de integrare. În general, integrandul poate fi o funcție de mai multe variabile, iar domeniul de integrare poate fi o suprafață, un volum, o regiune de dimensiune
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
integrandul poate fi o funcție de mai multe variabile, iar domeniul de integrare poate fi o suprafață, un volum, o regiune de dimensiune superioară sau un spațiu abstract care nu are o structură geometrică în sensul obișnuit. Cazul cel mai simplu, integrala unei funcții reale "f" de o variabilă reală "x" pe un interval formula 4, se notează cu Simbolul ∫ un „S” alungit, reprezintă integrarea; "a" și "b" sunt limita inferioară și limita superioară de integrare, definind domeniul de integrare; "f" este integrandul
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
în intervalul formula 6 iar "dx" poate avea diferite interpretări în funcție de teoria folosită. De exemplu, poate fi văzut doar ca un indicator al faptului că "x" este 'variabila de integrare', ca o reflecție a ponderilor din suma Riemann, o măsură (în integralele Lebesgue și extensiile acestora), o cantitate matematică infinitezimală (în analiza nestandard) sau independentă: o formă diferențială. Cazurile mai complicate pot varia cumva notația. Integralele apar în multe situații practice. Să considerăm un bazin. Dacă este dreptunghiular, atunci din lungimea, lățimea
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
x" este 'variabila de integrare', ca o reflecție a ponderilor din suma Riemann, o măsură (în integralele Lebesgue și extensiile acestora), o cantitate matematică infinitezimală (în analiza nestandard) sau independentă: o formă diferențială. Cazurile mai complicate pot varia cumva notația. Integralele apar în multe situații practice. Să considerăm un bazin. Dacă este dreptunghiular, atunci din lungimea, lățimea și adâncimea lui se poate determina cu ușurință volumul de apă pe care-l poate conține, suprafața lui, și lungimea muchiei. Dar dacă bazinul
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
practice pot fi la început suficiente dar în cele din urmă sunt necesare soluții riguroase ale acestor probleme. Pentru început, să considerăm curba "y" = "f"("x") între "x" = 0 și "x" = 1, cu formula 7. Întrebarea este: să numim această arie integrala lui "f". Notația pentru această integrală este Într-o primă aproximare, ne uităm la pătratul unitar dat de laturile "x"=0 la "x"=1 și "y"="f"(0)=0 și "y"="f"(1)=1. Aria sa este exact 1. Se
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
dar în cele din urmă sunt necesare soluții riguroase ale acestor probleme. Pentru început, să considerăm curba "y" = "f"("x") între "x" = 0 și "x" = 1, cu formula 7. Întrebarea este: să numim această arie integrala lui "f". Notația pentru această integrală este Într-o primă aproximare, ne uităm la pătratul unitar dat de laturile "x"=0 la "x"=1 și "y"="f"(0)=0 și "y"="f"(1)=1. Aria sa este exact 1. Se pare că valoarea reală a integralei
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
integrală este Într-o primă aproximare, ne uităm la pătratul unitar dat de laturile "x"=0 la "x"=1 și "y"="f"(0)=0 și "y"="f"(1)=1. Aria sa este exact 1. Se pare că valoarea reală a integralei trebuie să fie puțin mai mică. Scăzând lungimea dreptunghiurilor de aproximare se obține un rezultat mai bun; deci dacă împărțim intervalul în cinci pași, folosind punctele de aproximare 0, formula 9, formula 10, și tot așa până la 1. Dacă construim pentru fiecare
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
Dacă construim pentru fiecare pas câte un dreptunghi cu înălțimea egală cu valoarea la capătul din dreapta al bucății de curbă corespunzător, respectiv formula 11, formula 12, și tot așa până la formula 13. Însumând ariile acestor dreptunghiuri, se obține o aproximare mai bună a integralei, și anume Se observă că luăm o sumă de un număr finit de valori ale funcției "f", înmulțite cu diferența dintre două puncte consecutive de aproximare. Se vede ușor că aproximarea este încă prea largă. Folosirea mai multor pași produce
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
de 0,6203, care este prea mică. Ideea esențială este tranziția de la a aduna "un număr finit" de distanțe dintre puncte de aproximare înmulțite cu valori corespunzătoare ale funcției la folosirea unor pași infinit de fini, sau "infinitezimali". Notația definește integrala ca o sumă ponderată (notată cu "S"-ul alungit), cu valorile funcției (cum ar fi înălțimile, "y" = "f"("x")) înmulțite cu lungimi de pași infinitezimali, așa-numitele "diferențiale" (notate cu "dx"). În ce privește calculul efectiv al integralelor, teorema fundamentală a calculului
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
sau "infinitezimali". Notația definește integrala ca o sumă ponderată (notată cu "S"-ul alungit), cu valorile funcției (cum ar fi înălțimile, "y" = "f"("x")) înmulțite cu lungimi de pași infinitezimali, așa-numitele "diferențiale" (notate cu "dx"). În ce privește calculul efectiv al integralelor, teorema fundamentală a calculului integral, dezvoltată de Newton și Leibniz, este legătura fundamentală între operațiile de derivare și integrare. În condiții potrivite, valoarea unei integrale pe o regiune poate fi determinată privind doar limitele regiunii. Aplicată curbei rădăcinei pătrate, considerăm
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
cu lungimi de pași infinitezimali, așa-numitele "diferențiale" (notate cu "dx"). În ce privește calculul efectiv al integralelor, teorema fundamentală a calculului integral, dezvoltată de Newton și Leibniz, este legătura fundamentală între operațiile de derivare și integrare. În condiții potrivite, valoarea unei integrale pe o regiune poate fi determinată privind doar limitele regiunii. Aplicată curbei rădăcinei pătrate, considerăm funcția formula 16, și se calculează "F"(1)−"F"(0), unde 0 și 1 sunt limitele intervalului formula 17. În istorie, după eșecul primelor eforturi de a
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
limitele regiunii. Aplicată curbei rădăcinei pătrate, considerăm funcția formula 16, și se calculează "F"(1)−"F"(0), unde 0 și 1 sunt limitele intervalului formula 17. În istorie, după eșecul primelor eforturi de a defini riguros cantitățile infinitezimale, Riemann a definit formal integralele ca limite ale unor sume ponderate ordinare, astfel încât "dx" sugera limita unei diferențe (și anume mărimea intervalului). Defectele dependenței lui Riemann de intervale și continuitate au motivat noi definiții, mai ales integrala Lebesgue, bazată pe abilitatea de a extinde ideea
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
defini riguros cantitățile infinitezimale, Riemann a definit formal integralele ca limite ale unor sume ponderate ordinare, astfel încât "dx" sugera limita unei diferențe (și anume mărimea intervalului). Defectele dependenței lui Riemann de intervale și continuitate au motivat noi definiții, mai ales integrala Lebesgue, bazată pe abilitatea de a extinde ideea de "măsură" în moduri mult mai flexibile. Astfel, notația se referă la o sumă ponderată în care valorile funcțiilor sunt împărțite, cu μ o pondere ce se asociază fiecărei valori. (Aici se
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
un nou operator diferențial d, cunoscut ca diferențiala, iar teorema fundamentală devine o teoremă mai generală, teorema lui Stokes, de unde derivă teorema lui Green, teorema de divergență, și teorema fundamentală a calculului integral. Deși există diferențe între aceste concepte de integrală, ele se suprapun considerabil. Astfel, aria suprafeței bazinului oval poate fi tratată ca o elipsă, o sumă de infinitezimali, o integrală Riemann, o integrală Lebesgue, sau un spațiu euclidian cu o formă diferențială. Rezultatul obținut va fi același. Există mai
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
teorema lui Green, teorema de divergență, și teorema fundamentală a calculului integral. Deși există diferențe între aceste concepte de integrală, ele se suprapun considerabil. Astfel, aria suprafeței bazinului oval poate fi tratată ca o elipsă, o sumă de infinitezimali, o integrală Riemann, o integrală Lebesgue, sau un spațiu euclidian cu o formă diferențială. Rezultatul obținut va fi același. Există mai multe moduri de definire a integralelor, și nu toate sunt echivalente între ele. Diferențele au apărut mai ales din nevoia de
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
teorema de divergență, și teorema fundamentală a calculului integral. Deși există diferențe între aceste concepte de integrală, ele se suprapun considerabil. Astfel, aria suprafeței bazinului oval poate fi tratată ca o elipsă, o sumă de infinitezimali, o integrală Riemann, o integrală Lebesgue, sau un spațiu euclidian cu o formă diferențială. Rezultatul obținut va fi același. Există mai multe moduri de definire a integralelor, și nu toate sunt echivalente între ele. Diferențele au apărut mai ales din nevoia de a trata diferitele
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
aria suprafeței bazinului oval poate fi tratată ca o elipsă, o sumă de infinitezimali, o integrală Riemann, o integrală Lebesgue, sau un spațiu euclidian cu o formă diferențială. Rezultatul obținut va fi același. Există mai multe moduri de definire a integralelor, și nu toate sunt echivalente între ele. Diferențele au apărut mai ales din nevoia de a trata diferitele cazuri speciale de funcții care nu sunt integrabile sub o anume definiție, dar ocazional și din motive pedagogice. Cele mai comune definiții
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
sunt echivalente între ele. Diferențele au apărut mai ales din nevoia de a trata diferitele cazuri speciale de funcții care nu sunt integrabile sub o anume definiție, dar ocazional și din motive pedagogice. Cele mai comune definiții sunt cele ale integralei Riemann și a integralei Lebesgue. Integrala Riemann este definită în termeni de sume Riemann ale unor funcții în raport cu diviziuni ale intervalului. Fie ["a","b"] un interval închis de pe dreapta reală; atunci o diviziune cu puncte intermediare a lui ["a","b
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
Diferențele au apărut mai ales din nevoia de a trata diferitele cazuri speciale de funcții care nu sunt integrabile sub o anume definiție, dar ocazional și din motive pedagogice. Cele mai comune definiții sunt cele ale integralei Riemann și a integralei Lebesgue. Integrala Riemann este definită în termeni de sume Riemann ale unor funcții în raport cu diviziuni ale intervalului. Fie ["a","b"] un interval închis de pe dreapta reală; atunci o diviziune cu puncte intermediare a lui ["a","b"] este o secvență finită
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
apărut mai ales din nevoia de a trata diferitele cazuri speciale de funcții care nu sunt integrabile sub o anume definiție, dar ocazional și din motive pedagogice. Cele mai comune definiții sunt cele ale integralei Riemann și a integralei Lebesgue. Integrala Riemann este definită în termeni de sume Riemann ale unor funcții în raport cu diviziuni ale intervalului. Fie ["a","b"] un interval închis de pe dreapta reală; atunci o diviziune cu puncte intermediare a lui ["a","b"] este o secvență finită Aceasta împarte
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
O "sumă Riemann" a unei funcții "f" în raport cu o astfel de diviziune este astfel fiecare termen al sumei este aria dreptunghiului cu înălțimea egală cu valoarea funcției în punctul ales al subintervalului dat, și cu lățimea egală cu lățimea subintervalului. "Integrala Riemann" a unei funcții "f" pe intervalul ["a","b"] este egală cu "S" dacă: Când valorile intermediare alese sunt valoarea maximă (respectiv, minimă) a funcției pe fiecare interval, suma Riemann devine o sumă Darboux superioară (respectiv, inferioară), sugerând legătura strânsă
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
a unei funcții "f" pe intervalul ["a","b"] este egală cu "S" dacă: Când valorile intermediare alese sunt valoarea maximă (respectiv, minimă) a funcției pe fiecare interval, suma Riemann devine o sumă Darboux superioară (respectiv, inferioară), sugerând legătura strânsă între integrala Riemann și integrala Darboux. Integrala Riemann nu este definită pentru o gamă largă de funcții și situații cu importanță în aplicații (și de interes în teorie). De exemplu, integrala Riemann poate fi folosită pentru a integra densitatea și a găsi
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
f" pe intervalul ["a","b"] este egală cu "S" dacă: Când valorile intermediare alese sunt valoarea maximă (respectiv, minimă) a funcției pe fiecare interval, suma Riemann devine o sumă Darboux superioară (respectiv, inferioară), sugerând legătura strânsă între integrala Riemann și integrala Darboux. Integrala Riemann nu este definită pentru o gamă largă de funcții și situații cu importanță în aplicații (și de interes în teorie). De exemplu, integrala Riemann poate fi folosită pentru a integra densitatea și a găsi astfel masa unei
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]