933 matches
-
cadrul spațiilor vectoriale, deoarece abordarea înmulțirii l-a condus pe el la ceea ce astăzi numim algebre. Peano a fost primul care a dat definiția modernă a spațiilor vectoriale și a aplicațiilor liniare în 1888. O dezvoltare importantă în domeniul spațiilor vectoriale se datorează construcției de către Lebesgue. Ulterior, aceasta a fost formalizată de către Banach și Hilbert, în preajma anului 1920. La acea vreme, algebra și noul domeniu al au început să interacționeze, în special cu concepte-cheie, cum ar fi spațiile de funcții "p
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
Ulterior, aceasta a fost formalizată de către Banach și Hilbert, în preajma anului 1920. La acea vreme, algebra și noul domeniu al au început să interacționeze, în special cu concepte-cheie, cum ar fi spațiile de funcții "p"-integrabile și spațiile Hilbert. Spațiile vectoriale, inclusiv cele infinit-dimensionale, au devenit mai târziu noțiuni ferm stabilite, și multe ramuri matematice au început să facă uz de aceste concepte. Cel mai simplu exemplu de spațiu vectorial peste un corp este corpul însuși, echipat cu adunarea și înmulțirea
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
ar fi spațiile de funcții "p"-integrabile și spațiile Hilbert. Spațiile vectoriale, inclusiv cele infinit-dimensionale, au devenit mai târziu noțiuni ferm stabilite, și multe ramuri matematice au început să facă uz de aceste concepte. Cel mai simplu exemplu de spațiu vectorial peste un corp este corpul însuși, echipat cu adunarea și înmulțirea standard. Mai mult, în general, un spațiu vectorial poate fi compus din Un spațiu vectorial compus din toate -tuplurile unui corp este cunoscut drept "", de obicei, notate cu . Cazul
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
noțiuni ferm stabilite, și multe ramuri matematice au început să facă uz de aceste concepte. Cel mai simplu exemplu de spațiu vectorial peste un corp este corpul însuși, echipat cu adunarea și înmulțirea standard. Mai mult, în general, un spațiu vectorial poate fi compus din Un spațiu vectorial compus din toate -tuplurile unui corp este cunoscut drept "", de obicei, notate cu . Cazul este mai sus-menționatul exemplu simplu, în care corpul este considerat și spațiu vectorial peste el însuși. Cazurile și au
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
au început să facă uz de aceste concepte. Cel mai simplu exemplu de spațiu vectorial peste un corp este corpul însuși, echipat cu adunarea și înmulțirea standard. Mai mult, în general, un spațiu vectorial poate fi compus din Un spațiu vectorial compus din toate -tuplurile unui corp este cunoscut drept "", de obicei, notate cu . Cazul este mai sus-menționatul exemplu simplu, în care corpul este considerat și spațiu vectorial peste el însuși. Cazurile și au fost discutate în introducerea de mai sus
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
Mai mult, în general, un spațiu vectorial poate fi compus din Un spațiu vectorial compus din toate -tuplurile unui corp este cunoscut drept "", de obicei, notate cu . Cazul este mai sus-menționatul exemplu simplu, în care corpul este considerat și spațiu vectorial peste el însuși. Cazurile și au fost discutate în introducerea de mai sus. Mułțimea numerelor complexe , de exemplu, numere care pot fi scrise sub forma pentru numere reale și , unde este unitatea imaginară, formează un spațiu vectorial peste numerele reale
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
considerat și spațiu vectorial peste el însuși. Cazurile și au fost discutate în introducerea de mai sus. Mułțimea numerelor complexe , de exemplu, numere care pot fi scrise sub forma pentru numere reale și , unde este unitatea imaginară, formează un spațiu vectorial peste numerele reale cu obișnuitele operațiuni de adunare și înmulțire cu un scalar: și pentru numerele reale , , "a", și . Diferite axiome ale spațiilor vectoriale rezultă din faptul că aceleași reguli rămân valabile pentru aritmetica numerelor complexe. De fapt, exemplul numerelor
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
pot fi scrise sub forma pentru numere reale și , unde este unitatea imaginară, formează un spațiu vectorial peste numerele reale cu obișnuitele operațiuni de adunare și înmulțire cu un scalar: și pentru numerele reale , , "a", și . Diferite axiome ale spațiilor vectoriale rezultă din faptul că aceleași reguli rămân valabile pentru aritmetica numerelor complexe. De fapt, exemplul numerelor complexe este, în esență, aceleași (de exemplu, este "izomorf") cu spațiul vectorial al perechilor ordonate de numere reale menționat mai sus: dacă ne gândim
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
un scalar: și pentru numerele reale , , "a", și . Diferite axiome ale spațiilor vectoriale rezultă din faptul că aceleași reguli rămân valabile pentru aritmetica numerelor complexe. De fapt, exemplul numerelor complexe este, în esență, aceleași (de exemplu, este "izomorf") cu spațiul vectorial al perechilor ordonate de numere reale menționat mai sus: dacă ne gândim la numărul complex ca reprezentând perechea ordonată în planul complex atunci vom vedea că regulile pentru sumă și produs scalar corespund exact cu cele din exemplul anterior. Mai
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
gândim la numărul complex ca reprezentând perechea ordonată în planul complex atunci vom vedea că regulile pentru sumă și produs scalar corespund exact cu cele din exemplul anterior. Mai mult, în general, oferă o altă clasă de exemple de spații vectoriale, în special în algebră și : un corp conține un este spațiu vectorial peste "E", prin operațiunile de înmulțire de adunare din "F". De exemplu, numerele complexe sunt un spațiu vectorial peste R, iar extensia de corp formula 1 este un spațiu
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
vom vedea că regulile pentru sumă și produs scalar corespund exact cu cele din exemplul anterior. Mai mult, în general, oferă o altă clasă de exemple de spații vectoriale, în special în algebră și : un corp conține un este spațiu vectorial peste "E", prin operațiunile de înmulțire de adunare din "F". De exemplu, numerele complexe sunt un spațiu vectorial peste R, iar extensia de corp formula 1 este un spațiu vectorial peste Q. Funcțiile definite pe orice mulțime fixă cu valori într-
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
în general, oferă o altă clasă de exemple de spații vectoriale, în special în algebră și : un corp conține un este spațiu vectorial peste "E", prin operațiunile de înmulțire de adunare din "F". De exemplu, numerele complexe sunt un spațiu vectorial peste R, iar extensia de corp formula 1 este un spațiu vectorial peste Q. Funcțiile definite pe orice mulțime fixă cu valori într-un corp formează și ele spații vectoriale, prin efectuarea punctuală a operațiunilor de adunare și înmulțire cu un
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
în special în algebră și : un corp conține un este spațiu vectorial peste "E", prin operațiunile de înmulțire de adunare din "F". De exemplu, numerele complexe sunt un spațiu vectorial peste R, iar extensia de corp formula 1 este un spațiu vectorial peste Q. Funcțiile definite pe orice mulțime fixă cu valori într-un corp formează și ele spații vectoriale, prin efectuarea punctuală a operațiunilor de adunare și înmulțire cu un scalar. Adică suma a două funcții și este funcția dată de
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
de adunare din "F". De exemplu, numerele complexe sunt un spațiu vectorial peste R, iar extensia de corp formula 1 este un spațiu vectorial peste Q. Funcțiile definite pe orice mulțime fixă cu valori într-un corp formează și ele spații vectoriale, prin efectuarea punctuală a operațiunilor de adunare și înmulțire cu un scalar. Adică suma a două funcții și este funcția dată de și în mod similar pentru multiplicare. Astfel de apar în multe situații geometrice, atunci când este sau un interval
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
noțiuni de topologie și analiză, cum ar fi continuitatea, integrabilitatea sau se comportă bine în raport cu liniaritatea: adunarea și înmulțirea cu un scalar a funcțiilor care posedă o astfel de proprietate și-o conservă. Prin urmare, mulțimea acestor funcții sunt spații vectoriale. Ele sunt studiate în detaliu, folosind metodele de , vezi mai jos. Constrângerile algebrice produc și ele spații vectoriale: este dat de polinoame: Sisteme de ecuații liniare omogene sunt strâns legate de spații vectoriale. De exemplu, soluțiile sistemului sunt date de
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
înmulțirea cu un scalar a funcțiilor care posedă o astfel de proprietate și-o conservă. Prin urmare, mulțimea acestor funcții sunt spații vectoriale. Ele sunt studiate în detaliu, folosind metodele de , vezi mai jos. Constrângerile algebrice produc și ele spații vectoriale: este dat de polinoame: Sisteme de ecuații liniare omogene sunt strâns legate de spații vectoriale. De exemplu, soluțiile sistemului sunt date de triplete arbitrare cu "a", b = "a"/2 și c = −5"a"/2. Ele formează un spațiu vectorial: și
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
Prin urmare, mulțimea acestor funcții sunt spații vectoriale. Ele sunt studiate în detaliu, folosind metodele de , vezi mai jos. Constrângerile algebrice produc și ele spații vectoriale: este dat de polinoame: Sisteme de ecuații liniare omogene sunt strâns legate de spații vectoriale. De exemplu, soluțiile sistemului sunt date de triplete arbitrare cu "a", b = "a"/2 și c = −5"a"/2. Ele formează un spațiu vectorial: și după adunarea și înmulțirea cu un scalar a acestui gen de triplete, ele continuă să
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
spații vectoriale: este dat de polinoame: Sisteme de ecuații liniare omogene sunt strâns legate de spații vectoriale. De exemplu, soluțiile sistemului sunt date de triplete arbitrare cu "a", b = "a"/2 și c = −5"a"/2. Ele formează un spațiu vectorial: și după adunarea și înmulțirea cu un scalar a acestui gen de triplete, ele continuă să satisfacă aceleași raporturi dintre cele trei variabile; astfel și ele sunt soluții. Matricele pot fi folosite pentru a condensa mai multe ecuații liniare ca
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
mai multe ecuații liniare ca mai sus într-un singur vector ecuație, și anume: unde "A" = formula 2 este matricea care conține coeficienții ecuațiilor date, este vectorul , reprezintă , și este vectorul nul. În mod similar, soluții "ecuațiilor diferențiale liniare "formează spații vectoriale. De exemplu, produce , unde "a" și sunt constante arbitrare, și e funcția exponențială cu baza naturală. "Bazele" permit reprezentarea vectorilor cu ajutorul unui șir de scalari numit "coordonate" sau "componente". O bază este o mulțime (finită sau infinită) de vectori , pentru
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
vector poate fi exprimat ca sumă finită (numită "combinație liniară") a elementelor bazei: formula 3 unde sunt scalari, numiți coordonatele (sau componentele) vectorului în raport cu baza , iar elemente din . Independența liniară înseamnă că coordonatele sunt unic determinate pentru orice vector din spațiu vectorial. De exemplu, , , până la , formează o bază în , numit , deoarece orice vector poate fi exprimat unic ca o combinație liniară a acestor vectori: Coordonatele corespunzătoare , , , sunt coordonatele carteziene ale vectorului. Fiecare spațiu vectorial are o bază. Acest lucru rezultă din lema
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
sunt unic determinate pentru orice vector din spațiu vectorial. De exemplu, , , până la , formează o bază în , numit , deoarece orice vector poate fi exprimat unic ca o combinație liniară a acestor vectori: Coordonatele corespunzătoare , , , sunt coordonatele carteziene ale vectorului. Fiecare spațiu vectorial are o bază. Acest lucru rezultă din lema lui Zorn, o formulare echivalentă a axiomei alegerii. Date fiind celelalte axiome ale , existența bazelor este echivalentă cu axioma alegerii. , care este mai slabă decât axioma alegerii, implică faptul că toate bazele
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
Acest lucru rezultă din lema lui Zorn, o formulare echivalentă a axiomei alegerii. Date fiind celelalte axiome ale , existența bazelor este echivalentă cu axioma alegerii. , care este mai slabă decât axioma alegerii, implică faptul că toate bazele unui anumit spațiu vectorial au același număr de elemente, sau același (cf. ""). Acest cardinal se numește "dimensiunea" spațiului vectorial, notată dim "V". Dacă spațiul este generat de un număr finit de vectori, afirmațiile de mai sus pot fi demonstrate fără o astfel de informație
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
celelalte axiome ale , existența bazelor este echivalentă cu axioma alegerii. , care este mai slabă decât axioma alegerii, implică faptul că toate bazele unui anumit spațiu vectorial au același număr de elemente, sau același (cf. ""). Acest cardinal se numește "dimensiunea" spațiului vectorial, notată dim "V". Dacă spațiul este generat de un număr finit de vectori, afirmațiile de mai sus pot fi demonstrate fără o astfel de informație fundamentală din teoria mulțimilor. Dimensiunea de spațiului de coordonate este , conform bazei expuse mai sus
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
soluțiilor ecuației de mai sus este generat de . Aceste două funcții sunt liniar independente peste , astfel încât dimensiunea acestui spațiu este doi, atât cât este și gradul ecuației. O extensie de corp peste mulțimea numerelor raționale poate fi gândită ca spațiu vectorial peste (prin definirea adunării vectoriale ca adunarea corpului, definirea multiplicarea scalarilor ca fiind multiplicarea cu elemente din , și altfel ignorând multiplicarea corpului). Dimensiunea (sau gradul) de extensiei de domeniu peste depinde de . Dacă satisface o ecuație polinomială ("α este "), dimensiunea
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
este generat de . Aceste două funcții sunt liniar independente peste , astfel încât dimensiunea acestui spațiu este doi, atât cât este și gradul ecuației. O extensie de corp peste mulțimea numerelor raționale poate fi gândită ca spațiu vectorial peste (prin definirea adunării vectoriale ca adunarea corpului, definirea multiplicarea scalarilor ca fiind multiplicarea cu elemente din , și altfel ignorând multiplicarea corpului). Dimensiunea (sau gradul) de extensiei de domeniu peste depinde de . Dacă satisface o ecuație polinomială ("α este "), dimensiunea este finită. Mai exact, este
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]