1,171 matches
-
2.1.1. Apariția geometriilor neeuclidiene / 46 1.2.1.2. O nouă fundamentare a geometriei / 55 1.2.1.3. Schimbarea viziunii asupra geometriei / 60 1.2.1.4. Fundamente noi pentru calcul / 62 1.2.1.5. Axiomatizarea aritmeticii / 66 1.2.1.6. Logica poliadică / 67 1.2.2. Teoria relativității generale / 69 1.2.3. O nouă viziune asupra matematicii / 75 1.2.3.1. Mill / 79 1.2.3.2. Frege / 84 1.2.4. Distincția
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
pură. În acest punct, cred că putem spune liniștiți că analiza conceptuală nu poate fi considerată ca sursă a cunoașterii matematice, pentru aceasta fiind nevoie de ceva mai mult decât de o desfacere a conceptelor în elementele lor. În cazul aritmeticii lucrurile sunt un pic mai simple și pot da un plus de forță celor spuse până acum. Asta deoarece aici nu mai avem de-a face cu axiome ca în cazul geometriei, ci doar cu formule numerice, deci, în cazul
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
formule numerice, deci, în cazul ei, nu se mai poate pune problema derivării pur logice sau analitice a teoremelor din axiome. Pentru ca o judecată să poată juca rolul de axiomă, trebuie să fie și sintetică și generală, dar în cazul aritmeticii nu avem nimic care să satisfacă aceste două condiții. Dacă luăm o judecată de genul "cantități egale adăugate la cantități egale sau scăzute din cantități egale dau cantități egale" (CRP, p. 189), observăm că, deși este generală, este analitică. Dacă
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
nu este gândit și acel număr care le cuprinde pe amândouă. Deși sintetice, astfel de judecăți nu sunt generale. Spre deosebire de cazul geometriei, unde nu am "decât simpla funcție a imaginației productive" care poate produce o figură în diferite feluri, în aritmetică nu avem decât "sinteza omogenului (a unităților) [care]... nu poate avea loc aici decât într-un singur mod, cu toate că folosirea acestor numere este apoi generală" (CRP, p. 189). Oricum am lua-o, nici judecățile matematice nu sunt analitice și nici
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
înțeles ca formă a sensibilității, este acel ceva pe care se întemeiază posibilitatea fenomenelor, cunoașterea la care ajunge geometrul în legătură cu acesta va fi valabilă și despre tot ce poate fi întâlnit în spațiu. Putem dezvolta considerații similare și în cazul aritmeticii. 1.1.4. Distincția pur aplicat Din cele spuse mai sus despre construcția obiectelor matematice și despre felul în care este aplicată matematica la lume, reiese destul de clar că, la Kant, nu poate fi vorba despre matematică privită ca un
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
sus, nu mai poate fi considerată ca fiind caracteristică nici pentru demonstrația geometrică. Definițiile date de Cauchy și Weierstrass conceptelor fundamentale ale calculului nu mai sunt nici intuitive și nici kinematice, ci algebrice și statice. 1.2.1.5. Axiomatizarea aritmeticii "Secolul al XIX-lea a asistat la o transformare gradual a matematicii de fapt, o revoluție gradual (dacă asta nu este o contradicție în termeni)" (Kleiner 1991: 304). Am văzut mai sus ce fel de transformări "revoluționare" s-au produs
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
dacă asta nu este o contradicție în termeni)" (Kleiner 1991: 304). Am văzut mai sus ce fel de transformări "revoluționare" s-au produs în geometrie, analiză și axiomatică. Un alt domeniu matematic în care au avut loc transformări a fost aritmetica. Spre sfârșitul secolului nouăsprezece, matematicienii au reușit să axiomatizeze și aritmetica. Primul care a produs un astfel de sistem a fost Dedekind în 1888, urmat la numai un an de Peano. Ca și în cazul celorlalte schimbări care au avut
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Am văzut mai sus ce fel de transformări "revoluționare" s-au produs în geometrie, analiză și axiomatică. Un alt domeniu matematic în care au avut loc transformări a fost aritmetica. Spre sfârșitul secolului nouăsprezece, matematicienii au reușit să axiomatizeze și aritmetica. Primul care a produs un astfel de sistem a fost Dedekind în 1888, urmat la numai un an de Peano. Ca și în cazul celorlalte schimbări care au avut loc în matematică, nici aceasta nu merge compatibilizată cu viziunea kantiană
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
nu trebuie numite axiome (căci altfel ar exista un număr infinit de axiome), ci formule numerice." (CRP, p. 189). Asta deoarece, pentru ca o judecată să poată juca rolul de axiomă, trebuie să fie și sintetică și generală, dar în cazul aritmeticii nu avem nimic care să satisfacă aceste două condiții. Dacă luăm o judecată generală (e.g. cantități egale adăugate la cantități egale sau scăzute din cantități egale dau cantități egale) observăm că este analitică. Dacă, în schimb, luăm o judecată a
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
a înțelege cunoașterea matematică ca fundamentată pe interacțiunile noastre cu lumea. Putem prezenta poziția lui Mill, cel mai bine, dacă luăm în considerarea răspunsurile date de el la următoarele trei întrebări: "(1) Ce sunt entitățile cu care sunt preocupate enunțurile aritmeticii și geometriei? (2) Cum ne dau interacțiunile cu obiectele fizice o cunoaștere a proprietăților acestor entități care apar în adevărurile standard ale aritmeticii și geometriei? (3) Cum ajunge să fie cunoașterea elementară obținută prin interacțiunile fizice simple extinsă în cunoașterea
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
răspunsurile date de el la următoarele trei întrebări: "(1) Ce sunt entitățile cu care sunt preocupate enunțurile aritmeticii și geometriei? (2) Cum ne dau interacțiunile cu obiectele fizice o cunoaștere a proprietăților acestor entități care apar în adevărurile standard ale aritmeticii și geometriei? (3) Cum ajunge să fie cunoașterea elementară obținută prin interacțiunile fizice simple extinsă în cunoașterea complexă a matematicii contemporane sofisticate?" (ibidem, 63) Să le luăm pe rând. În cazul aritmeticii, aceste entități sunt "agregatele"54, care nu sunt
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
acestor entități care apar în adevărurile standard ale aritmeticii și geometriei? (3) Cum ajunge să fie cunoașterea elementară obținută prin interacțiunile fizice simple extinsă în cunoașterea complexă a matematicii contemporane sofisticate?" (ibidem, 63) Să le luăm pe rând. În cazul aritmeticii, aceste entități sunt "agregatele"54, care nu sunt însă același lucru cu mulțimile, ci sunt entități concrete individuate printr-un principiu al agregării. Ajungem la adevăruri despre aceste entități observând anumite regularități în activitatea noastră de rearanjare a obiectelor înconjurătoare
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
ar fi informative. Ei resping prima alternativă, din motivele amintite în secțiunea anterioară, și susțin că adevărurile matematice sunt analitice. Ceva de genul acesta a susținut și Frege. Adoptă pozitiviștii logici o viziune fregeană asupra matematicii?62 După Frege, adevărurile aritmeticii sunt adevăruri analitice, deoarece se poate arăta că acestea sunt abrevieri definiționale ale adevărurilor logice. Pentru el analiticitatea are sensul de derivabilitate din legi logice generale și definiții. În Fundamentele aritmeticii găsim următoarea împărțire a judecăților: "După părerea mea, distincțiile
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
o viziune fregeană asupra matematicii?62 După Frege, adevărurile aritmeticii sunt adevăruri analitice, deoarece se poate arăta că acestea sunt abrevieri definiționale ale adevărurilor logice. Pentru el analiticitatea are sensul de derivabilitate din legi logice generale și definiții. În Fundamentele aritmeticii găsim următoarea împărțire a judecăților: "După părerea mea, distincțiile între a priori și a posteriori, sintetic și analitic, nu privesc conținutul judecății, ci justificarea emiterii ei. Acolo unde justificarea lipsește, dispare și posibilitatea efectuării acestei clasificări... Acum, ceea ce se cere
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
asupra apariției și dezvoltării matematicii. Această perspectiva ne spune ceva despre relația dintre matematică și lume. Ne spune că, la început, a existat o legătură strânsă între anumite practici umane precum număratul și măsuratul și anumite ramuri ale matematicii precum aritmetica și geometria. Nu contează în acest moment care era natura acestei legături, ce contează este opinia larg răspândită că în evoluția sa matematica s-a rupt complet de practicile umane și de lume. Pe parcursul dezvoltării sale într-o disciplină de
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
mult decât un grup de cifre care vor fi transformate în alt grup de cifre în acord cu anumite reguli?" cum am putea înțelege aplicabilitatea matematicii dacă adoptăm o poziție formalistă față de matematică? Răspunsul lui este că "doar aplicabilitatea ridică aritmetica de la un joc la statutul de știință" (Frege 1950, 92). În acest punct ne putem întreba dacă această problemă apare într-adevăr doar în contextul unei anumite filosofii a matematicii sau privește orice filosofie a matematicii. Dacă ținem cont că
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Proceedings of the 1994 Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association 2. Frege, G. 1950 "E. Heine's and Thomae's theory of irrational numbers", The Philosophical Review, Vol. 59, No. 1 Jan., pp. 79-93. Frege, G. 2000 Fundamentele aritmeticii, Editura Humanitas, București (trad. Sorin Vieru). French, S. 2000 "The Reasonable Effectiveness of Mathematics: Partial Structures and the Application of Group Theory to Physics", Synthese Volume 125, Numbers 1-2 / January. French, S și Ladyman, J. 2003 "Remodelling Structural Realism" Synthese
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
76, 79, 82-89, 93-95, 97, 99-103, 111, 115, 125, 126, 200, 218 * Relativizat, 127-130, 219 Analitic, 11, 13, 14, 25, 28-30, 33-35, 53, 59, 67, 83-86, 94-97, 100, 103, 174, 176, 177 Antropocentrism, 187 Argumentul indispensabilității, 183, 185, 186, 189 Aritmetică * La Kant, 35, 36, 43 * Axiomatizare, 66 Axiome, 16, 28-30, 33-35, 46-48, 53, 55-57, 59, 67-69, 86, 87, 89, 90, 105, 120-122, 147, 160, 200 Ayer, Alfred Jules, 78, 81, 94 Azzouni, Jody, 21, 173, 179-181, 193 Benacerraf, Paul, 151
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Putem înlocui foarte bine discuția despre agregate cu o discuție despre procesele prin intermediul cărora scoatem în evidență aspecte pe care nu le mai remarcasem înainte ale obiectelor obișnuite. Plecând de aici, se pot reconstrui ideile lui Mill "despre conținutul enunțurilor aritmeticii privind numerele ca pe niște proprietăți ale acțiunilor umane, acțiuni de a agrega și de a dezagrega." (Kitcher 1998: 67). A se vedea, de asemenea, Skorupski (2005: 60-65). 55 Schlick spune, de exemplu, în legătură cu ideea lui Mill că singurul test
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
între judecățile sintetice și analitice. Spunând că adevărurile geometriei sunt sintetice a priori, el a dezvăluit esența lor reală. Acest lucru merită să fie repetat și astăzi, întru-cât el continuă adesea să fie ignorat. Deși Kant s-a înșelat în privința aritmeticii, aceasta după părerea mea nu știrbește în mod esențial meritele sale." (Frege 2000, § 89). Această afirmație a lui Frege a stat la baza unor interpretări precum ce a lui Kitcher, care consideră că "Epistemologia lui Frege rezultă din aplicarea concepției
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Astfel, cunoașterea va rămâne pentru totdeauna deschisă. Acest lucru, susține fizicianul și filozoful român, este în acord cu unul dintre cele mai importante rezultate științifice din secolul al XX-lea, teorema lui Gödel, demonstrată în 1931, care spune, pentru cazul aritmeticii, că un sistem de axiome suficient de bogat duce inevitabil la rezultate fie indecidabile, fie contradictorii 658. Ea înseamnă, din punct de vedere epistemologic, că o teorie științifică completă este iluzorie. Aplicând acest rezultat la discuția sa, Basarab Nicolescu conchide
Antinomicul în filosofia lui Lucian Blaga by Valică Mihuleac [Corola-publishinghouse/Science/886_a_2394]
-
concluzie ce nu mai este certă, ci plauzibilă 872. O altă breșă în suveranitatea logicii și în mitul raționalității totale a științei o realiza Gödel, care, prin teorema sa de indecidabilitate, formulată în 1931, "demonstra că orice sistem formalizat comportând aritmetica (...) presupune în mod necesar enunțuri indecidabile (nici demonstrabile, nici refutabile) și că noncontradicția sistemului constituie o propoziție non-demonstrabilă în acel sistem"873. Așadar, logica nu poate găsi în ea însăși un fundament absolut cert. Aceste breșe în raționalitatea cunoașteri, în
Antinomicul în filosofia lui Lucian Blaga by Valică Mihuleac [Corola-publishinghouse/Science/886_a_2394]
-
citit de ambele părți, și cu rezultate foarte diferite. De partea limitaților, pierderile sunt declarate neglijabile pentru ca ei să rămână funcționali la nesfârșit. E limpede însă că funcționarea se întrerupe uneori și ceva neînchipuit cere socoteală - alta decât și cea aritmetică, și cea juridică fondată pe ea. Căci orice socoteală nesocotește păgubirea infinitului de dreptul suveran de intervenție (o simplă parafrază la mallarméeanul "jamais un coup de dés n'abolira le hasard"). Calculul însuși maschează majestatea incalculabilului prin gârbova virgulă, codoașa
Țara cea mai de jos by Alin Cristian () [Corola-publishinghouse/Science/84994_a_85779]
-
lucr?rile c�torva juri?ți ?i matematicieni care, �n jurul anului 1830, caut? s? introduc? �n studiul ?tiin?elor morale metodă ?tiin?elor fizice ?i naturale. Dintr-un anume punct de vedere, ace?ți oameni ap?reau drept continuatorii aritmeticii politice engleze care �ncerca s? arate, �n secolul al XVII-lea, c? (problemele guvern?rîi pot fi tratate dup? legile obi?nuite ale aritmeticii( (William Petty, 1690). Grijulie s? regleze mai �nt�i problemele demografice, aceast? aritmetic? se deschide rapid
by Charles-Henry CUIN, François GRESLE [Corola-publishinghouse/Science/971_a_2479]
-
fizice ?i naturale. Dintr-un anume punct de vedere, ace?ți oameni ap?reau drept continuatorii aritmeticii politice engleze care �ncerca s? arate, �n secolul al XVII-lea, c? (problemele guvern?rîi pot fi tratate dup? legile obi?nuite ale aritmeticii( (William Petty, 1690). Grijulie s? regleze mai �nt�i problemele demografice, aceast? aritmetic? se deschide rapid ?i c?tre alte subiecte, precum studiul cre?terii economice, al bog??iei statului � prin analiza finan?elor publice � sau c?tre cel al
by Charles-Henry CUIN, François GRESLE [Corola-publishinghouse/Science/971_a_2479]