9,239 matches
-
combinație liniară a resturilor "r" și "r". Procesul de substituție a resturilor din formulele ce implică predecesoarele lor se poate continua până când se ajunge la numerele originale "a" și "b" După ce toate resturile "r", "r" etc. au fost substituite, ultima ecuație îl exprimă pe "g" sub forma unei combinații liniare de "a" și "b": "g" = "sa" + "tb". Identitatea lui Bézout, și deci și algoritmul anterior, poate fi generalizată la contextul domeniilor euclidiene. Identitatea lui Bézout dă o altă definiție a celui
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
măsurat orice volum "ua" + "vb". Aceste volume sunt toate multipli ai lui "g" = CMMDC("a", "b"). Întregii "s" și "t" din identitatea lui Bézout se pot calcula eficient utilizând algoritmul lui Euclid extins. Această extensie adaugă algoritmului lui Euclid două ecuații recursive cu valorile de început Cu ajutorul acestei relații de recurență, întregii lui Bézout "s" și "t" sunt dați de "s" = "s" și "t" = "t", unde "N" este pasul la care algoritmul se termină cu "r" = 0. Validitatea acestei abordări se
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
acestei abordări se poate demonstra prin inducție. Se presupune că formula recursivă este corectă până la pasul "k"−1 al algoritmului, cu alte cuvinte, se presupune că pentru orice "j" mai mic decât "k". Al "k"-lea pas al algoritmului dă ecuația Întrucât formula de recurență este considerată corectă pentru "r" și "r", ele pot fi exprimate în funcție de variabilele corespunzătoare "s" și "t" Rearanjând această ecuație, rezultă formula de recurență pentru pasul "k" Întregii "s" și "t" pot fi găsiți și folosind
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
presupune că pentru orice "j" mai mic decât "k". Al "k"-lea pas al algoritmului dă ecuația Întrucât formula de recurență este considerată corectă pentru "r" și "r", ele pot fi exprimate în funcție de variabilele corespunzătoare "s" și "t" Rearanjând această ecuație, rezultă formula de recurență pentru pasul "k" Întregii "s" și "t" pot fi găsiți și folosind o metodă echivalentă bazată pe matrice. Secvența de ecuații a algoritmului lui Euclid se poate scrie ca produs al matricilor câturilor 2-pe-2 înmulțite cu
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
r" și "r", ele pot fi exprimate în funcție de variabilele corespunzătoare "s" și "t" Rearanjând această ecuație, rezultă formula de recurență pentru pasul "k" Întregii "s" și "t" pot fi găsiți și folosind o metodă echivalentă bazată pe matrice. Secvența de ecuații a algoritmului lui Euclid se poate scrie ca produs al matricilor câturilor 2-pe-2 înmulțite cu un vector bidimensional al resturilor Fie M produsul tuturor matricelor-cât Aceasta simplifică algoritmul lui Euclid la forma Pentru a exprima pe "g" sub formă de
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
matricilor câturilor 2-pe-2 înmulțite cu un vector bidimensional al resturilor Fie M produsul tuturor matricelor-cât Aceasta simplifică algoritmul lui Euclid la forma Pentru a exprima pe "g" sub formă de combinație liniară de "a" și "b", ambele părți ale acestei ecuații pot fi înmulțite cu inversa matricei M. Determinantul lui M este egal cu (−1), deoarece este egal cu produsul determinanților matricelor-cât, care sunt egale cu minus unu. Întrucât determinantul lui M nu este niciodată zero, vectorul final de resturi se
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
Determinantul lui M este egal cu (−1), deoarece este egal cu produsul determinanților matricelor-cât, care sunt egale cu minus unu. Întrucât determinantul lui M nu este niciodată zero, vectorul final de resturi se poate rezolva găsind inversa lui M Deoarece ecuația de sus dă cei doi întregi ai identității lui Bézout sunt "s" = (−1)"m" și "t" = (−1)"m". Metoda matricei este la fel de eficientă ca și cea a formulei de recurență, cu două înmulțiri și două adunări la fiecare pas al
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
atunci înseamnă că "w" îl divide pe "v", pentru că, dacă cel mai mare divizor comun al lui "u" și "w" este 1, atunci se pot găsi doi întregi "s" și "t" astfel încât conform identității lui Bézout. Înmulțind ambele părți ale ecuației cu "v" rezultă relația Cum "w" divide ambii termeni din partea dreaptă, înseamnă că el divide și termenul din stânga, "v". Acest rezultat este cunoscut sub numele de lema lui Euclid: Dacă un număr prim divide pe "L", atunci el divide cel
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
p" = "q". Împărțind iterativ la factorii "p" rezultă că fiecare "p" are un corespondent "q"; cele două descompuneri în factori primi sunt identice cu excepția ordinii factorilor. Factorizarea unică a numerelor în factori primi are mai multe aplicații în demonstrațiile matematice. Ecuațiile diofantice sunt ecuații ale căror soluții sunt neapărat numere întregi; ele își trag numele de la matematicianul alexandrin din secolul al III-lea Diophantus. O ecuație diofantică liniară tipică în variabilele întregi "x" și "y" are forma unde "a", "b" și
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
iterativ la factorii "p" rezultă că fiecare "p" are un corespondent "q"; cele două descompuneri în factori primi sunt identice cu excepția ordinii factorilor. Factorizarea unică a numerelor în factori primi are mai multe aplicații în demonstrațiile matematice. Ecuațiile diofantice sunt ecuații ale căror soluții sunt neapărat numere întregi; ele își trag numele de la matematicianul alexandrin din secolul al III-lea Diophantus. O ecuație diofantică liniară tipică în variabilele întregi "x" și "y" are forma unde "a", "b" și "c" sunt numere
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
factorilor. Factorizarea unică a numerelor în factori primi are mai multe aplicații în demonstrațiile matematice. Ecuațiile diofantice sunt ecuații ale căror soluții sunt neapărat numere întregi; ele își trag numele de la matematicianul alexandrin din secolul al III-lea Diophantus. O ecuație diofantică liniară tipică în variabilele întregi "x" și "y" are forma unde "a", "b" și "c" sunt numere întregi date. Aceasta se poate scrie ca o ecuație în "x" de forma: Fie "g" cel mai mare divizor comun al lui
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
își trag numele de la matematicianul alexandrin din secolul al III-lea Diophantus. O ecuație diofantică liniară tipică în variabilele întregi "x" și "y" are forma unde "a", "b" și "c" sunt numere întregi date. Aceasta se poate scrie ca o ecuație în "x" de forma: Fie "g" cel mai mare divizor comun al lui "a" și "b". Ambii termeni din ecuația "ax" + "by" sunt divizibili cu "g"; deci, fie "c" este divizibil cu "g", fie ecuația nu are soluții. Împărțind ambele
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
x" și "y" are forma unde "a", "b" și "c" sunt numere întregi date. Aceasta se poate scrie ca o ecuație în "x" de forma: Fie "g" cel mai mare divizor comun al lui "a" și "b". Ambii termeni din ecuația "ax" + "by" sunt divizibili cu "g"; deci, fie "c" este divizibil cu "g", fie ecuația nu are soluții. Împărțind ambele părți ale ecuației la "c"/"g", ea poate fi redusă la identitatea lui Bezout unde "s" și "t" se pot
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
se poate scrie ca o ecuație în "x" de forma: Fie "g" cel mai mare divizor comun al lui "a" și "b". Ambii termeni din ecuația "ax" + "by" sunt divizibili cu "g"; deci, fie "c" este divizibil cu "g", fie ecuația nu are soluții. Împărțind ambele părți ale ecuației la "c"/"g", ea poate fi redusă la identitatea lui Bezout unde "s" și "t" se pot găsi prin algoritmul lui Euclid extins. Aceasta mai dă o soluție a ecuației diofantice, "x
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
de forma: Fie "g" cel mai mare divizor comun al lui "a" și "b". Ambii termeni din ecuația "ax" + "by" sunt divizibili cu "g"; deci, fie "c" este divizibil cu "g", fie ecuația nu are soluții. Împărțind ambele părți ale ecuației la "c"/"g", ea poate fi redusă la identitatea lui Bezout unde "s" și "t" se pot găsi prin algoritmul lui Euclid extins. Aceasta mai dă o soluție a ecuației diofantice, "x" = "s" ("c"/"g") și "y" = "t" ("c"/"g
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
g", fie ecuația nu are soluții. Împărțind ambele părți ale ecuației la "c"/"g", ea poate fi redusă la identitatea lui Bezout unde "s" și "t" se pot găsi prin algoritmul lui Euclid extins. Aceasta mai dă o soluție a ecuației diofantice, "x" = "s" ("c"/"g") și "y" = "t" ("c"/"g"). În general, o ecuație diofantică liniară fie nu are soluție, fie are un număr infinit de soluții. Pentru a demonstra cel de-al doilea caz, se consideră două soluții, ("x
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
ea poate fi redusă la identitatea lui Bezout unde "s" și "t" se pot găsi prin algoritmul lui Euclid extins. Aceasta mai dă o soluție a ecuației diofantice, "x" = "s" ("c"/"g") și "y" = "t" ("c"/"g"). În general, o ecuație diofantică liniară fie nu are soluție, fie are un număr infinit de soluții. Pentru a demonstra cel de-al doilea caz, se consideră două soluții, ("x", "y") și ("x", "y") sau echivalent Astfel, cea mai mică diferență între două soluții
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
familie infinită de soluții dintr-una singură ("x", "y"). Dacă soluțiile trebuie să fie întregi pozitivi ("x" > 0, "y" > 0), este posibil să existe doar un număr finit de soluții. Această restricție asupra soluțiilor acceptabile permite rezolvarea de sisteme de ecuații diofantice cu un număr de ecuații mai mare decât cel de necunoscute; aceasta este imposibilă pentru un sistem de ecuații liniare ale cărui soluții pot fi orice număr real. Un corp finit este o mulțime de numere cu patru operații
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
singură ("x", "y"). Dacă soluțiile trebuie să fie întregi pozitivi ("x" > 0, "y" > 0), este posibil să existe doar un număr finit de soluții. Această restricție asupra soluțiilor acceptabile permite rezolvarea de sisteme de ecuații diofantice cu un număr de ecuații mai mare decât cel de necunoscute; aceasta este imposibilă pentru un sistem de ecuații liniare ale cărui soluții pot fi orice număr real. Un corp finit este o mulțime de numere cu patru operații generice. Aceste operații se numesc adunare
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
este posibil să existe doar un număr finit de soluții. Această restricție asupra soluțiilor acceptabile permite rezolvarea de sisteme de ecuații diofantice cu un număr de ecuații mai mare decât cel de necunoscute; aceasta este imposibilă pentru un sistem de ecuații liniare ale cărui soluții pot fi orice număr real. Un corp finit este o mulțime de numere cu patru operații generice. Aceste operații se numesc adunare, scădere, înmulțire și împărțire și au proprietățile obișnuite, cum ar fi comutativitatea, asociativitatea și
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
notate cu GF("p") sau GF("p"). Într-un astfel de corp cu "m" numere, fiecare element nenul "a" are un invers multiplicativ unic modulo m, "a" astfel încât "aa" = "a""a" ≡ 1 mod "m". Acest invers se poate găsi rezolvând ecuația "ax" ≡ 1 mod "m", sau ecuația diofantică liniară echivalentă Această ecuație se poate rezolva cu ajutorul algoritmului lui Euclid, după cum s-a arătat mai sus. Găsirea inversului multiplicativ este un pas esențial în algoritmul RSA, folosit pe scară largă în comerțul
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
p"). Într-un astfel de corp cu "m" numere, fiecare element nenul "a" are un invers multiplicativ unic modulo m, "a" astfel încât "aa" = "a""a" ≡ 1 mod "m". Acest invers se poate găsi rezolvând ecuația "ax" ≡ 1 mod "m", sau ecuația diofantică liniară echivalentă Această ecuație se poate rezolva cu ajutorul algoritmului lui Euclid, după cum s-a arătat mai sus. Găsirea inversului multiplicativ este un pas esențial în algoritmul RSA, folosit pe scară largă în comerțul electronic; anume, ecuația determină întregul utilizat
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
corp cu "m" numere, fiecare element nenul "a" are un invers multiplicativ unic modulo m, "a" astfel încât "aa" = "a""a" ≡ 1 mod "m". Acest invers se poate găsi rezolvând ecuația "ax" ≡ 1 mod "m", sau ecuația diofantică liniară echivalentă Această ecuație se poate rezolva cu ajutorul algoritmului lui Euclid, după cum s-a arătat mai sus. Găsirea inversului multiplicativ este un pas esențial în algoritmul RSA, folosit pe scară largă în comerțul electronic; anume, ecuația determină întregul utilizat pentru a decripta mesajul. Deși
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
mod "m", sau ecuația diofantică liniară echivalentă Această ecuație se poate rezolva cu ajutorul algoritmului lui Euclid, după cum s-a arătat mai sus. Găsirea inversului multiplicativ este un pas esențial în algoritmul RSA, folosit pe scară largă în comerțul electronic; anume, ecuația determină întregul utilizat pentru a decripta mesajul. Deși algoritmul RSA utilizează inele și nu corpuri, se poate folosi algoritmul lui Euclid pentru găsirea inversului multiplicativ acolo unde el există. Algoritmul lui Euclid are și alte aplicații în codurile corectoare de
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
aplicații în codurile corectoare de erori; de exemplu, el se poate folosi ca alternativă la algoritmul Berlekamp-Massey pentru decodificarea codurilor BCH și Reed-Solomon, coduri bazate pe corpuri Galois. Algoritmul lui Euclid se poate folosi pentru a rezolva și mai multe ecuații liniare diofantice. Astfel de ecuații apar în teorema chinezească a resturilor, care descrie o metodă nouă de reprezentare a unui întreg "x". În loc de a reprezenta un număr întreg prin cifrele sale, el se poate reprezenta prin resturile "x" ale împărțirii
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]