1,474 matches
-
2"r", circumferința este π"d" și aria este π"r". Mai mult, π apare în formulele pentru arie și volum al multor forme geometrice bazate pe cerc, cum ar fi elipsa, sfera, conul și torul. Astfel, π apare în integralele definite care descriu circumferința, aria sau volumul unor forme generate de cercuri. În acest caz simplu, jumătate din aria discului unitate este dată de: și dă jumătate din circumferința cercului unitate. Forme mai complicate pot fi integrate ca corpuri de
Pi () [Corola-website/Science/304110_a_305439]
-
descriu rotații pe cercul unitate în planul complex; aceste rotații au o perioadă de 360° = 2π. În particular, rotația cu 180° "φ" = π are ca rezultat remarcabila identitate a lui Euler Există "n" rădăcini diferite de ordin "n" ale unității Integrala gaussiană O consecință este că funcția gamma a semiîntregilor este un multiplu rațional de √π. Deși nu este o constantă fizică, π apare frecvent în ecuații ce descriu principii fundamentale ale Universului, datorită relației sale cu natura cercului și, prin
Pi () [Corola-website/Science/304110_a_305439]
-
poziția sarcinii formula 35, formula 36 este un vector unitate pe direcția formula 37 (un vector cu baza în formula 33 și îndreptat spre sarcina formula 11), și formula 40 este modulul lui formula 41 (distanțele dintre sarcinile formula 33 și formula 11). Pentru o distribuție de sarcină, o integrală peste regiunea ce conține sarcina este echivalentă cu o sumă infinită a unor elemente infinitezimale, fiecare astfel de element infinitezimal de spațiu fiind tratat ca o sarcină punctiformă formula 44. Pentru o distribuție liniară de sarcină (o bună aproximație pentru sarcina
Legea lui Coulomb () [Corola-website/Science/311431_a_312760]
-
Forța lui Arhimede apare din cauza variației presiunii cu adâncimea: presiunea pe care fluidul o exercită asupra „bazei” (părții de jos) a corpului este mai mare decât cea exercitată asupra părții de sus a corpului. O demonstrație completă folosește deci o integrală pe suprafața (cufundată în lichid) a corpului. Pentru un corp de formă paralelipipedică nu e nevoie de integrală, și calculele se simplifică. Fie deci un paralelipiped de dimensiuni formula 1, formula 2, formula 3 cufundat complet în lichid (și având baza orizontală). Presiunea
Forță arhimedică () [Corola-website/Science/298602_a_299931]
-
de jos) a corpului este mai mare decât cea exercitată asupra părții de sus a corpului. O demonstrație completă folosește deci o integrală pe suprafața (cufundată în lichid) a corpului. Pentru un corp de formă paralelipipedică nu e nevoie de integrală, și calculele se simplifică. Fie deci un paralelipiped de dimensiuni formula 1, formula 2, formula 3 cufundat complet în lichid (și având baza orizontală). Presiunea într-un lichid este formula 4, formula 5 fiind presiunea atmosferică (pe care o putem neglija pentru că este o constantă
Forță arhimedică () [Corola-website/Science/298602_a_299931]
-
ca punctul reprezentativ al stării sistemului să se afle în interiorul volumului elementar formula 27 situat la coordonate canonice formula 9 este Densitatea de probabilitate este o funcție în spațiul fazelor, care nu poate lua valori negative și tinde spre zero la infinit. Integrala ei pe întreg spațiul fazelor satisface condiția care rezultă din regula de sumare a probabilităților și exprimă certitudinea că punctul reprezentativ se află în spațiul fazelor. Din teorema lui Liouville rezultă că densitatea de probabilitate este constantă de-a lungul
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
de sumare a probabilităților și exprimă certitudinea că punctul reprezentativ se află în spațiul fazelor. Din teorema lui Liouville rezultă că densitatea de probabilitate este constantă de-a lungul unei traiectorii în spațiul fazelor; se spune că ea e o "integrală primă" a ecuațiilor canonice. Un sistem hamiltonian admite formula 33 integrale prime care nu depind explicit de timp, una dintre ele fiind energia, adică hamiltoniana (2). Densitatea de probabilitate va fi deci o funcție de hamiltoniana formula 34 și de alte formula 35 integrale
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
se află în spațiul fazelor. Din teorema lui Liouville rezultă că densitatea de probabilitate este constantă de-a lungul unei traiectorii în spațiul fazelor; se spune că ea e o "integrală primă" a ecuațiilor canonice. Un sistem hamiltonian admite formula 33 integrale prime care nu depind explicit de timp, una dintre ele fiind energia, adică hamiltoniana (2). Densitatea de probabilitate va fi deci o funcție de hamiltoniana formula 34 și de alte formula 35 integrale prime independente de timp. Pentru a reprezenta la scară microscopică
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
loc la scară microscopică duce la concluzia că densitatea de probabilitate depinde exponențial de energia sistemului, adică de hamiltoniană. Se obține distribuția "canonică" Pentru a satisface condiția de normare (5), parametrul formula 56 trebuie să fie pozitiv, iar cantitatea formula 57 numită "integrală de stare" sau "funcție de partiție", are valoarea Dacă sistemul constă din mai multe componente, între care are loc atât transfer de energie cât și transfer de substanță, este convenabilă descrierea sa printr-un colectiv statistic macrocanonic, care este o colecție
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
de la studiul seriilor Fourier. Prin studiul acestor serii, funcții periodice complicate sunt scrise ca simple sume de unde matematice reprezentate prin funcțiile sinus și cosinus. Datorită proprietăților acestor funcții este posibil să revenim la valoarea fiecărei unde din sumă printr-o integrală. În multe cazuri se dorește folosirea formulei lui Euler, care se scrie sub forma "e" = cos 2"πθ" + "i" sin 2"πθ", pentru a scrie seria Fourier în termenii undelor de bază "e". Această scriere are avantajul simplificării multor formule
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
ƒ" este dată de: iar "ƒ" este dată de formula: Dacă scriem let "ξ" = "n"/"T", iar Δ "ξ" = ("n" + 1)/"T" − "n"/"T" = 1/"T", atunci această ultimă sumă devine suma Riemann Făcând ca "T" → ∞ suma Riemann converge către integrala transformării Fourier inverse dată la sectiunea Definiție. În condiții convenabile acest argument poate fi dat cu precizie . Prin urmare, ca și în cazul seriilor Fourier, transformarea Fourier poate fi gândită ca "o funcție care măsoară cât de mult este prezentă
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
poate fi dat cu precizie . Prin urmare, ca și în cazul seriilor Fourier, transformarea Fourier poate fi gândită ca "o funcție care măsoară cât de mult este prezentă în funcție fiecare frecvență individuală" și putem recombina aceste unde folosind o integrală pentru a reproduce funcția originală. Următoarea imagine furnizează o ilustrare vizuală a modului cum transformarea Fourier măsoară dacă o frecvență este prezentă într-o funcție oarecare. Funcția desenată este formula 7, care oscilează cu frecvența de 3 hertz ("t" fiind măsurat
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
reală transformării Fourier să fie ușor de plotat. Această imagine este plotată în primul grafic. Pentru a calcula formula 8 trebuie să integrăm "e""ƒ"("t"). A doua imagine arată graficul părților reale și imaginare al acestei funcții. Partea reală a integralei este aproape peste tot pozitivă, deoarece când "ƒ"("t") este negativă, atunci partea reală a lui "e" este de asemenea negativă. Deoarece ele oscilează în același ritm, când "ƒ"("t") este pozitivă, la fel este și partea reală a lui
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
integrată partea reală, se obține o valoare relativ mare (în acest caz 0.5 ). Pe de altă parte, când încercăm să măsurăm o frecvență care nu este prezentă, precum în cazul în care privim spre formula 9, integrantul oscilează suficient ca integrala să fie foarte mică. Situația generală poate fi un pic mai complicată decât aceasta, dar acest lucru este făcut în spiritul în care transformata Fourier măsoară cât de mult o frecvență individuală este prezentă într-o funcție "ƒ"("t"). O
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
formula 34 a unei funcții integrabile "ƒ" este mărginită și continuă, dar nu neapărat integrabilă. De exemplu, transformata Fourier a funcției dreptunghiulare (care este o funcție treaptă și deci integrabilă) este "funcția sinc", care nu este integrabilă Lebesgue, cu toate că are o integrală improprie care este convergentă, dar nu "absolut convergentă". În general nu este posibil "transformarea inversă" ca o integrală Lesbesgue. Totuși, când "ƒ" și formula 34 sunt integrabile, următoarea egalitate inversă este adevărată pentru aproape toate valorile "x": Aproape peste tot "ƒ
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
a funcției dreptunghiulare (care este o funcție treaptă și deci integrabilă) este "funcția sinc", care nu este integrabilă Lebesgue, cu toate că are o integrală improprie care este convergentă, dar nu "absolut convergentă". În general nu este posibil "transformarea inversă" ca o integrală Lesbesgue. Totuși, când "ƒ" și formula 34 sunt integrabile, următoarea egalitate inversă este adevărată pentru aproape toate valorile "x": Aproape peste tot "ƒ" este egală cu funcția continuă dată de partea dreaptă a egalului, Dacă "ƒ" este dată ca funcție continuă
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
de frecvență și timp, dând astfel un punct de plecare pentru transformata Fourier fractională folosită în analiza timp-frecvență . Transformata Fourier poate fi definită și pe spații "n-dimensionale", caz în care transformata unei funcții "ƒ"("x") integrabile, se definește prin integrala: In care "x" și "ξ" sunt vectori n-dimensionali, iar este produsul lor scalar. Produsul scalar se scrie câteodată sub forma formula 60. Toate proprietățile de bază de mai sus sunt valabile și pentru transformata Fourier n-dimensională, precum și teoremele lui
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
de formă Lorentz în domeniul frecventei. De asemenea, transformata Fourier este folosită în imaginea rezonanței magnetice (IRM) și spectroscopiei de masă. Adesea este de dorit să avem cel mai general domeniu posibil al transformatei Fourier. Definirea transformatei Fourier ca o integrală, restricționează domeniul la spațiul funcțiilor integrabile. Din nefericire, nu există caracterizări simple pentru care funcțiile sunt transformate Fourier de funcții integrabile. Este posibil să extindem domeniul transformatei Fourier pe diverse căi. Lista următoare detaliază câteva din domeniile comune și raza
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
distribuției ei, dar în acest context este tipic să luăm o convenție diferită pentru constante. Funcția caracteristică tipică este definită astfel formula 119. Precum în convenția din cazul "frecvență unghiulară neunitară", nu există factorul 2"π" care să apară în ambele integrale, sau la exponețială. Următorul tabel conține câteva forme închise ale transformatei. Pentru funcțiile "ƒ"("x") , "g"("x") și "h"("x") s-au notat cu formula 77, formula 78 și formula 122 transformatele lor Fourier. Sunt incluse numai cele trei convenții comune. De notat
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
fiind extrem de dificilă. Un rezultat foarte important al statisticii Fermi-Dirac se obține pentru cazul limită al temperaturii zero absolut. Pentru formula 89, valoarea constantei formula 88 este foarte mic sau zero, astfel că factorul formula 91 devine:formula 92. Pentru această valoare, prin calculul integralei energiei se obține energia gazului Fermi la temperatura de zero absolut:formula 93. Spre deosebire de gazul perfect clasic și gazul Bose care pentru formula 89 au energia gazului nul formula 95, gazul Fermi dispune de energie apreciabilă la această temperatură. Numărul stărilor cu energie
Gaz perfect () [Corola-website/Science/309598_a_310927]
-
zero absolut:formula 93. Spre deosebire de gazul perfect clasic și gazul Bose care pentru formula 89 au energia gazului nul formula 95, gazul Fermi dispune de energie apreciabilă la această temperatură. Numărul stărilor cu energie cuprinsă sub o anumită valoare formula 96 se evaluează prin integrala:formula 97 Pentru formula 98, se obține formula 99, prin urmare formula 100 se identifică cu numărul de fermioni:formula 101 de unde valoarea limită a energiei se scrie sub forma:formula 102 Între mărimea formula 103 și factorul formula 91 existând relația:formula 105, energia gazului la zero absolut
Gaz perfect () [Corola-website/Science/309598_a_310927]
-
obișnuită (în domeniu real). De exemplu, funcțiile olomorfe sunt infinit diferențiabile, ceea ce nu are loc pentru funcțiile diferențiabile reale. Majoritatea funcțiilor elementare, incluzînd funcția exponențială, funcțiile trigonometrice și toate funcțiile polinomiale, sunt olomorfe. Un instrument central în analiza complexă este integrala. Integrala de-a lungul unei linii închise de la o funcție ce este olomorfă pe tot domeniul mărginit de această linie închisă, este întotdeauna zero; aceasta ne este dată de teorema integrală Cauchy. Valorile unei funcții olomorfe interioare unui disc pot
Analiză complexă () [Corola-website/Science/314283_a_315612]
-
în domeniu real). De exemplu, funcțiile olomorfe sunt infinit diferențiabile, ceea ce nu are loc pentru funcțiile diferențiabile reale. Majoritatea funcțiilor elementare, incluzînd funcția exponențială, funcțiile trigonometrice și toate funcțiile polinomiale, sunt olomorfe. Un instrument central în analiza complexă este integrala. Integrala de-a lungul unei linii închise de la o funcție ce este olomorfă pe tot domeniul mărginit de această linie închisă, este întotdeauna zero; aceasta ne este dată de teorema integrală Cauchy. Valorile unei funcții olomorfe interioare unui disc pot fi
Analiză complexă () [Corola-website/Science/314283_a_315612]
-
unei linii închise de la o funcție ce este olomorfă pe tot domeniul mărginit de această linie închisă, este întotdeauna zero; aceasta ne este dată de teorema integrală Cauchy. Valorile unei funcții olomorfe interioare unui disc pot fi calculate cu ajutorul unei integrale de-a lungul frontierei discului : Formula integrală Cauchy.
Analiză complexă () [Corola-website/Science/314283_a_315612]
-
Seriile, dacă sunt convergente, vor defini o funcție hipergeometrică, care poate fi extinsă în afara domeniului de definiție prin prelungire analitică. Funcțiile hipergeometrice au drept cazuri particulare foarte multe funcții speciale, incluzând funcții elementare, funcția Bessel, funcția gamma incompletă, funcția eroare, integrale eliptice, polinoame ortogonale clasice, etc. Acest fenomen se datorează faptului că funcțiile hipergeometrice sunt soluții ale ecuației diferențiale hipergeometrice, care este o ecuație diferențială ordinară de ordinul doi. Termenul serie hipergeometrică se referă la un tip specific de serie, cunoscută
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]