1,522 matches
-
are în vedere înseși bazele cunoașterii științifice. Aparent, matematica în ciuda complexității sale, este totuși o știință limitată la un număr finit de adevăruri (E. Wigner vorbește de 1000 de concluzii) obținute pe cale deductivă dintr-un număr restrâns de adevăruri elementare (axiome) este capabilă să explice și să facă predicții asupra unui univers infinit, ordonat el însuși după un număr finit de principii și legi cuantificabile prin relații și concepte matematice. Am putea să ne întrebăm, cum o făcea Henri Poincaré, de ce
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
matematica este știința mânuirii cu măiestrie a noțiunilor și regulilor inventate exact în acest scop. Accentul principal cade pe inventarea noțiunilor. Matematica ar rămâne curând fără teoreme interesante, dacă acestea ar trebui formulate doar în termenii noțiunilor apărute deja în axiome. În plus, întrucât este un adevăr incontestabil faptul că noțiunile elementare de matematică și, în special, cele de geometrie au fost formulate pentru a descrie entitățile direct sugerate de lumea reală, același lucru nu pare a fi adevărat și în
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
la perfecțiunea de care se pare că dispune. Principalul aspect pe care va trebui să-l avem în vedere mai târziu este acela că matematicianul ar putea formula doar câteva teoreme interesante fără să definească noțiuni în afara celor conținute în axiome și că aceste noțiuni, care nu sunt conținute în axiome, sunt definite în vederea construirii unor operații logice ingenioase, care fac apel la simțul nostru estetic atât ca operațiuni, cât și în rezultatele lor de mare generalitate și simplitate. [M. Polany
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
pe care va trebui să-l avem în vedere mai târziu este acela că matematicianul ar putea formula doar câteva teoreme interesante fără să definească noțiuni în afara celor conținute în axiome și că aceste noțiuni, care nu sunt conținute în axiome, sunt definite în vederea construirii unor operații logice ingenioase, care fac apel la simțul nostru estetic atât ca operațiuni, cât și în rezultatele lor de mare generalitate și simplitate. [M. Polany, în lucrarea sa Cunoaștere personală 4 [t.n.] (Univ. of
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
fost făcută încă de acum trei sute de ani [este atribuită lui Galileo] și în prezent este mai adevărată decât oricând. Pentru a arăta importanța pe care o au conceptele matematice în formularea legilor fizicii, să ne amintim, ca un exemplu, axiomele mecanicii cuantice așa cum au fost ele formulate, în mod explicit, de către marele fizician Dirac. Există două noțiuni de bază în mecanica cuantică: stările și observabilii. Stările sunt vectorii în spațiul Hilbert, iar observabilii sunt operatorii auto-adjuncți aplicați pe acești vectori
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
fapt, mirarea lui E. Wigner privind eficiența surprinzătoare a matematicii în fizică este mai degrabă retorică și pare a proveni dintr-un punct de vedere unilateral asupra matematicii privite ca sistem formal abstract derivat deductiv dintr-un set finit de axiome. Matematicienii care s-au pronunțat asupra esenței raționamentului matematic ca instrument al cunoașterii, în primul rând Henri Poincaré, la începutul secolului XX, au subliniat faptul că raționamentul matematic nu se reduce la logică și că forța sa provine nu atât
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
acum un fundament ferm, logic, simplu pentru acestea; dar se spune că familiarizarea sporește desconsiderarea, și toți suntem mai mult sau mai puțin familiarizați cu sistemul de numere reale. În momentele noastre de luciditate, foarte puțini dintre noi cred că axiomele particulare pe care câțiva logicieni le-au visat vor crea numerele; cei mai mulți cred că numerele reale există pur și simplu și că încercarea de a găsi un set frumos de axiome cărora să li se potrivească a fost un joc
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
noastre de luciditate, foarte puțini dintre noi cred că axiomele particulare pe care câțiva logicieni le-au visat vor crea numerele; cei mai mulți cred că numerele reale există pur și simplu și că încercarea de a găsi un set frumos de axiome cărora să li se potrivească a fost un joc interesant, amuzant și important. Dar să nu ne încurcăm singuri paradoxurile lui Zeno încă sunt, chiar și după 2000 de ani, prea proaspete în minte ca să ne putem amăgi că înțelegem
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
Miracolul este că aproape întotdeauna teoremele rămân totuși adevărate; este pur și simplu o problemă de ajustare a demonstrațiilor. Exemplul clasic al acestei ajustări este lucrarea lui Euclid Elementele. Ni s-a părut necesar să adăugăm câteva noi postulate (sau axiome, dacă doriți, deoarece nu mai este nevoie să facem distincția între ele) pentru a găsi standarde de demonstrație. Și, totuși, cum se face că nicio teorie din toate cele 30 de cărți nu este falsă acum? Nicio teorie nu a
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
este orbit de afirmația autoritară că matematica nu este ceea ce profesorii din școala elementară ne-au spus că este. Este, cu certitudine, cu totul altceva. Ce este acest "altceva"? Odată ce începi să privești, afli că, dacă te-ai limitat la axiome și postulate, atunci vei putea deduce foarte puțin. Primul pas major este introducerea noilor concepte reieșite din ipoteze, concepte cum ar fi triunghiurile. Căutarea de concepte corespunzătoare și definiții este una din trăsăturile necesare celui ce vrea să facă matematică
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
matematice extrem de formalizate și de speculative, care s-au îndepărtat aparent de tradițiile clasice ale conviețuirii fizicii cu matematica. Vom regăsi dezbătute aceste aspecte în articolul care urmează. Sunt interesante, deși discutabile, și opiniile autorului privitoare la rolul fundamentelor (postulate, axiome) în construcția matematică. De fapt, matematicianul nu se poate desprinde de fundamentele logice ale științei sale, și nici nu se poate dedica exclusiv raționamentului empiric. Axiomele sau postulatele sunt definiții ale noțiunilor care operează în matematică și fără de care domeniul
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
care urmează. Sunt interesante, deși discutabile, și opiniile autorului privitoare la rolul fundamentelor (postulate, axiome) în construcția matematică. De fapt, matematicianul nu se poate desprinde de fundamentele logice ale științei sale, și nici nu se poate dedica exclusiv raționamentului empiric. Axiomele sau postulatele sunt definiții ale noțiunilor care operează în matematică și fără de care domeniul nu ar avea o consistență științifică. Are matematica pură vreo legătură cu științele?14 Felix E. Browder Departe de a fi o varietate ezoterică a metafizicii
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
clarificat distincția, care a fost întotdeauna implicită, dar niciodată recunoscută, dintre un spațiu matematic și un spațiu fizic. Identificarea inițială a celor două s-a datorat unei neînțelegeri. Vizitatori efemeri în mintea noastră, senzațiile vizuale și tactile au sugerat că axiomele geometriei euclidiene erau adevărate pentru spațiul fizic. Teoremele deduse din aceste axiome erau verificate prin senzații vizuale și tactile și, iată, se potriveau perfect, cel puțin atât timp cât puteau dezvălui aceste senzații. Se presupunea că geometria euclidiană e o descriere exactă
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
spațiu matematic și un spațiu fizic. Identificarea inițială a celor două s-a datorat unei neînțelegeri. Vizitatori efemeri în mintea noastră, senzațiile vizuale și tactile au sugerat că axiomele geometriei euclidiene erau adevărate pentru spațiul fizic. Teoremele deduse din aceste axiome erau verificate prin senzații vizuale și tactile și, iată, se potriveau perfect, cel puțin atât timp cât puteau dezvălui aceste senzații. Se presupunea că geometria euclidiană e o descriere exactă a spațiului fizic. Acest obicei de gândire a devenit atât de bine
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
preotul și alaiul tuturor celorlalte erau scutite de sancțiunea divină prin truda celor trei profani: Bolyai, Lobatchevsky și Riemann. Este adevărat că în cercetarea lor aceste minți îndrăznețe au avut în vedere numai problema logică a investigării consecințelor unei noi axiome a paralelelor. Cu siguranță nu și-au dat seama de la bun început că provocau Adevărul însuși. Și atât timp cât truda lor era privită doar ca un hocus-pocus matematic ingenios, nu apărea nicio problemă serioasă. Oamenii au realizat, totuși, că geometria neeuclidiană
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
geometrii contradictorii? Doar una dintre acestea putea fi adevărată, și un fapt și mai tulburător poate adevărul era diferit și față de aceste geometrii. Crearea unor noi geometrii a forțat, totuși, recunoașterea faptului că ar putea exista un "dacă" în privința tuturor axiomelor matematice. Dacă axiomele geometriei euclidiene sunt adevărate în privința lumii fizice, atunci și teoremele sunt. Dar, din nefericire, nu putem hotărî a priori că axiomele lui Euclid, sau ale oricărei alte geometrii, sunt adevărate. În deposedarea matematicii de statutul său de
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
una dintre acestea putea fi adevărată, și un fapt și mai tulburător poate adevărul era diferit și față de aceste geometrii. Crearea unor noi geometrii a forțat, totuși, recunoașterea faptului că ar putea exista un "dacă" în privința tuturor axiomelor matematice. Dacă axiomele geometriei euclidiene sunt adevărate în privința lumii fizice, atunci și teoremele sunt. Dar, din nefericire, nu putem hotărî a priori că axiomele lui Euclid, sau ale oricărei alte geometrii, sunt adevărate. În deposedarea matematicii de statutul său de colecție de adevăruri
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
unor noi geometrii a forțat, totuși, recunoașterea faptului că ar putea exista un "dacă" în privința tuturor axiomelor matematice. Dacă axiomele geometriei euclidiene sunt adevărate în privința lumii fizice, atunci și teoremele sunt. Dar, din nefericire, nu putem hotărî a priori că axiomele lui Euclid, sau ale oricărei alte geometrii, sunt adevărate. În deposedarea matematicii de statutul său de colecție de adevăruri, crearea geometriilor neeuclidiene a răpit cel mai respectat adevăr și poate chiar speranța atingerii în viitor a vreunei certitudini despre orice
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
geometriile neeuclidiene, care erau cercetate inițial de dragul a ceea ce părea a fi o subtilitate logică interesantă, s-au dovedit a avea o importanță incomparabilă arată acum clar că matematicienii ar trebui să exploreze posibilitățile oricărei întrebări în orice serie de axiome atât timp cât cercetarea prezintă interes; aplicația în lumea fizicii, un motiv capital pentru cercetarea matematică, poate urma ulterior. În acest stadiu al istoriei sale, matematica și-a curățat zgura de pe picioare și s-a separat de știință, tot așa cum știința s-
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
face aritmetică, sau geometrie, sau oricare altă știință, ne trebuie altceva decât logica pură. Acest altceva nu poate fi denumit cu un alt cuvânt decât cu cel de intuiție. Dar câte înțelesuri diferite ascund aceste cuvinte? Să comparăm aceste patru axiome: 1. Două cantități egale cu a treia sunt egale între ele. 2. Dacă o teoremă este adevărată pentru numărul 1 și dacă se demonstrează că este adevărată și pentru n +1, fiind adevărată pentru n, atunci ea va fi adevărată
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
se află între A și B, iar punctul D între A și C, atunci punctul D se va afla între A și B. 4. Printr-un punct nu putem duce decât o singură paralelă la o dreaptă. Toate cele patru axiome trebuie să fie atribuite intuiției, și, totuși, prima este enunțul unei reguli din logica formală, a doua este o adevărată judecată sintetică a priori, fundamentul inducției matematice riguroase, a treia este un apel la imaginație, iar a patra este o
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
multe feluri de intuiții; mai întâi, apelul la simțuri și la imaginație; apoi, generalizarea prin inducție, calchiată, dacă se poate spune așa, pe procedeele științei experimentale; în sfârșit, avem intuiția numărului pur, cea din care a ieșit a doua dintre axiomele pe care le-am enunțat puțin mai înainte și care poate genera adevăratul raționament matematic. Primele două nu pot să ne dea certitudinea, așa cum am arătat deja prin exemplele de mai sus; dar cine se mai îndoiește în mod serios
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
a demonstra o teoremă nu este necesar, nici măcar util, să știi ce vrea să spună. Am putea înlocui geometrul cu pianul deștept al lui Stanley Jevons; sau, dacă preferați, ne-am putea imagina o mașină în care s-ar introduce axiomele la un capăt, iar la celălalt am culege teoremele, precum acea mașină legendară din Chicago în care porcii intrau vii și ieșeau din ea transformați deja în jambon și cârnați. Asemenea acestor mașini, nici matematicianul nu are nevoie să înțeleagă
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
mașini, nici matematicianul nu are nevoie să înțeleagă ce face. Nu-i fac niciun reproș lui Hilbert pentru acest caracter formal al geometriei sale. Acolo trebuia să ajungă, dat fiind problema care se punea. Voia să reducă la minim numărul axiomelor fundamentale ale geometriei și să facă enumerarea lor completă; or, în raționamentele în care spiritul nostru rămâne activ, în acelea în care intuiția încă joacă un rol, în raționamentele vii, ca să spunem așa, este dificil să nu introduci o axiomă
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
axiomelor fundamentale ale geometriei și să facă enumerarea lor completă; or, în raționamentele în care spiritul nostru rămâne activ, în acelea în care intuiția încă joacă un rol, în raționamentele vii, ca să spunem așa, este dificil să nu introduci o axiomă sau un postulat care să treacă neobservat. Așa încât, abia după ce toate raționamentele geometrice au fost aduse la o formă pur mecanică a putut fi sigur că îi reușise proiectul și că își desăvârșise opera. Ceea ce Hilbert făcuse pentru geometrie, alții
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]