9,239 matches
-
egal cu 0 sau v este egal cu 0. Spațiile vectoriale rezultă din geometria afină prin introducerea de coordonate în plan sau în spațiul tridimensional. În preajma lui 1636, Descartes și Fermat au pus bazele geometriei analitice prin echivalarea soluțiilor unei ecuații cu două variabile, cu puncte de pe o curbă plană. În 1804, pentru a obține soluții geometrice fără utilizarea de coordonate, Bolzano a introdus anumite operațiuni pe puncte, linii și planuri, predecesoarele vectorilor. Lucrarea sa a fost apoi utilizată în conceperea
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
în continuare cu prezentarea numerelor complexe de către Argand și Hamilton și introducerea cuaternionilor și de către acesta din urmă. Acestea sunt elemente din , și ; tratarea lor drept pot fi găsită la Laguerre în 1867, care și el a definit sisteme de ecuații liniare. În 1857, Cayley a introdus notația matriceală, care permite o armonizare și o simplificare a aplicațiilor liniare. În același timp, Grassmann a studiat calculul baricentric inițiat de Möbius. El și-a imaginat mulțimi de obiecte abstracte dotate cu operațiuni
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
posedă o astfel de proprietate și-o conservă. Prin urmare, mulțimea acestor funcții sunt spații vectoriale. Ele sunt studiate în detaliu, folosind metodele de , vezi mai jos. Constrângerile algebrice produc și ele spații vectoriale: este dat de polinoame: Sisteme de ecuații liniare omogene sunt strâns legate de spații vectoriale. De exemplu, soluțiile sistemului sunt date de triplete arbitrare cu "a", b = "a"/2 și c = −5"a"/2. Ele formează un spațiu vectorial: și după adunarea și înmulțirea cu un scalar
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
un spațiu vectorial: și după adunarea și înmulțirea cu un scalar a acestui gen de triplete, ele continuă să satisfacă aceleași raporturi dintre cele trei variabile; astfel și ele sunt soluții. Matricele pot fi folosite pentru a condensa mai multe ecuații liniare ca mai sus într-un singur vector ecuație, și anume: unde "A" = formula 2 este matricea care conține coeficienții ecuațiilor date, este vectorul , reprezintă , și este vectorul nul. În mod similar, soluții "ecuațiilor diferențiale liniare "formează spații vectoriale. De exemplu
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
un scalar a acestui gen de triplete, ele continuă să satisfacă aceleași raporturi dintre cele trei variabile; astfel și ele sunt soluții. Matricele pot fi folosite pentru a condensa mai multe ecuații liniare ca mai sus într-un singur vector ecuație, și anume: unde "A" = formula 2 este matricea care conține coeficienții ecuațiilor date, este vectorul , reprezintă , și este vectorul nul. În mod similar, soluții "ecuațiilor diferențiale liniare "formează spații vectoriale. De exemplu, produce , unde "a" și sunt constante arbitrare, și e
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
aceleași raporturi dintre cele trei variabile; astfel și ele sunt soluții. Matricele pot fi folosite pentru a condensa mai multe ecuații liniare ca mai sus într-un singur vector ecuație, și anume: unde "A" = formula 2 este matricea care conține coeficienții ecuațiilor date, este vectorul , reprezintă , și este vectorul nul. În mod similar, soluții "ecuațiilor diferențiale liniare "formează spații vectoriale. De exemplu, produce , unde "a" și sunt constante arbitrare, și e funcția exponențială cu baza naturală. "Bazele" permit reprezentarea vectorilor cu ajutorul unui
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
fi folosite pentru a condensa mai multe ecuații liniare ca mai sus într-un singur vector ecuație, și anume: unde "A" = formula 2 este matricea care conține coeficienții ecuațiilor date, este vectorul , reprezintă , și este vectorul nul. În mod similar, soluții "ecuațiilor diferențiale liniare "formează spații vectoriale. De exemplu, produce , unde "a" și sunt constante arbitrare, și e funcția exponențială cu baza naturală. "Bazele" permit reprezentarea vectorilor cu ajutorul unui șir de scalari numit "coordonate" sau "componente". O bază este o mulțime (finită
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
sus este infinit numărabilă, o bază fiind dată de , , , , dimensiunea spațiilor mai generale de funcții, cum ar fi spațiul funcțiilor pe un interval (mărginit sau nemărginit), este infinită. Sub ipoteze potrivite de regularitate a coeficienților implicați, dimensiunea spațiului soluției unei ecuații diferențiale ordinare omogene este egal cu gradul ecuației. De exemplu, spațiul soluțiilor ecuației de mai sus este generat de . Aceste două funcții sunt liniar independente peste , astfel încât dimensiunea acestui spațiu este doi, atât cât este și gradul ecuației. O extensie
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
de , , , , dimensiunea spațiilor mai generale de funcții, cum ar fi spațiul funcțiilor pe un interval (mărginit sau nemărginit), este infinită. Sub ipoteze potrivite de regularitate a coeficienților implicați, dimensiunea spațiului soluției unei ecuații diferențiale ordinare omogene este egal cu gradul ecuației. De exemplu, spațiul soluțiilor ecuației de mai sus este generat de . Aceste două funcții sunt liniar independente peste , astfel încât dimensiunea acestui spațiu este doi, atât cât este și gradul ecuației. O extensie de corp peste mulțimea numerelor raționale poate fi
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
de funcții, cum ar fi spațiul funcțiilor pe un interval (mărginit sau nemărginit), este infinită. Sub ipoteze potrivite de regularitate a coeficienților implicați, dimensiunea spațiului soluției unei ecuații diferențiale ordinare omogene este egal cu gradul ecuației. De exemplu, spațiul soluțiilor ecuației de mai sus este generat de . Aceste două funcții sunt liniar independente peste , astfel încât dimensiunea acestui spațiu este doi, atât cât este și gradul ecuației. O extensie de corp peste mulțimea numerelor raționale poate fi gândită ca spațiu vectorial peste
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
soluției unei ecuații diferențiale ordinare omogene este egal cu gradul ecuației. De exemplu, spațiul soluțiilor ecuației de mai sus este generat de . Aceste două funcții sunt liniar independente peste , astfel încât dimensiunea acestui spațiu este doi, atât cât este și gradul ecuației. O extensie de corp peste mulțimea numerelor raționale poate fi gândită ca spațiu vectorial peste (prin definirea adunării vectoriale ca adunarea corpului, definirea multiplicarea scalarilor ca fiind multiplicarea cu elemente din , și altfel ignorând multiplicarea corpului). Dimensiunea (sau gradul) de
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
fi gândită ca spațiu vectorial peste (prin definirea adunării vectoriale ca adunarea corpului, definirea multiplicarea scalarilor ca fiind multiplicarea cu elemente din , și altfel ignorând multiplicarea corpului). Dimensiunea (sau gradul) de extensiei de domeniu peste depinde de . Dacă satisface o ecuație polinomială ("α este "), dimensiunea este finită. Mai exact, este egală cu gradul de având α ca rădăcină. De exemplu, numerele complexe C formează un spațiu vectorial bidimensional real, generat de baza formată din 1 și unitatea imaginară "i". Acesta îndeplinește
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
este finită. Mai exact, este egală cu gradul de având α ca rădăcină. De exemplu, numerele complexe C formează un spațiu vectorial bidimensional real, generat de baza formată din 1 și unitatea imaginară "i". Acesta îndeplinește condiția "i" + 1 = 0, ecuație de gradul doi. Astfel, C este R-spațiu vectorial bidimensional (și, ca și orice corp, unidimensional ca spațiu vectorial peste el însuși, C). Dacă α nu este algebric, dimensiunea Q(α) peste Q este infinită. De exemplu, pentru α = π nu
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
C este R-spațiu vectorial bidimensional (și, ca și orice corp, unidimensional ca spațiu vectorial peste el însuși, C). Dacă α nu este algebric, dimensiunea Q(α) peste Q este infinită. De exemplu, pentru α = π nu există nici o astfel de ecuație, cu alte cuvinte π este transcendent. Relația dintre două spații vectoriale poate fi exprimată printr-o "aplicație liniară" sau "transformare liniară". Acestea sunt funcții care reflectă structura spațiului vectorial, adică ele conservă sumele și înmulțirea cu un scalar: Un "izomorfism
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
similar cu situațiile corespunzătoare pentru grupuri. Un exemplu important este nucleul unei aplicații liniare pentru o matrice fixă "A", ca mai sus. Nucleul aceastei aplicații este un subspațiu de vectori x , astfel încât , care este tocmai mulțimea soluțiilor sistemului omogen de ecuații liniare care aparțin lui "A". De asemenea, acest concept se extinde la ecuații diferențiale liniare În aplicația corespunzătoare derivatele funcției "f" apar liniar (adică nu apar de exemplu sub forma de "f""("x")). Când diferențierea este o procedură liniară (adică
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
liniare pentru o matrice fixă "A", ca mai sus. Nucleul aceastei aplicații este un subspațiu de vectori x , astfel încât , care este tocmai mulțimea soluțiilor sistemului omogen de ecuații liniare care aparțin lui "A". De asemenea, acest concept se extinde la ecuații diferențiale liniare În aplicația corespunzătoare derivatele funcției "f" apar liniar (adică nu apar de exemplu sub forma de "f""("x")). Când diferențierea este o procedură liniară (adică și pentru orice constantă ) această atribuire este liniară, și se numește . În particular
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
liniare În aplicația corespunzătoare derivatele funcției "f" apar liniar (adică nu apar de exemplu sub forma de "f""("x")). Când diferențierea este o procedură liniară (adică și pentru orice constantă ) această atribuire este liniară, și se numește . În particular, soluțiile ecuației diferențiale formează un spațiu vectorial (peste sau ). "Produsul direct" al unor spații vectoriale și "suma directă" a unor spații vectoriale sunt două moduri de a combina o familie indexată de spații vectoriale într-un nou spațiu vectorial. "Produsul direct" formula 8
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
corespunzătoare din bază ca fiind suficiente pentru scopul aproximării, ci, împreună cu procedeul Gram-Schmidt, ea permite și construirea unei . Astfel de baze ortogonale sunt generalizările la nivel de spațiu Hilbert a axelor de coordonate în spațiul euclidian finit-dimensional. Soluțiile a diverse ecuații diferențiale pot fi interpretate în termeni de spații Hilbert. De exemplu, numeroase de domenii ale fizicii și ingineriei duc la astfel de ecuații și soluții cu anumite proprietăți fizice sunt frecvent utilizate ca funcții de bază, de multe ori ortogonale
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
generalizările la nivel de spațiu Hilbert a axelor de coordonate în spațiul euclidian finit-dimensional. Soluțiile a diverse ecuații diferențiale pot fi interpretate în termeni de spații Hilbert. De exemplu, numeroase de domenii ale fizicii și ingineriei duc la astfel de ecuații și soluții cu anumite proprietăți fizice sunt frecvent utilizate ca funcții de bază, de multe ori ortogonale. Ca un exemplu din fizică, ecuația lui Schrödinger dependentă de timp din mecanica cuantică descrie schimbarea proprietăților fizice în timp printr-o ecuatie
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
termeni de spații Hilbert. De exemplu, numeroase de domenii ale fizicii și ingineriei duc la astfel de ecuații și soluții cu anumite proprietăți fizice sunt frecvent utilizate ca funcții de bază, de multe ori ortogonale. Ca un exemplu din fizică, ecuația lui Schrödinger dependentă de timp din mecanica cuantică descrie schimbarea proprietăților fizice în timp printr-o ecuatie cu derivate partiale, ale cărei soluții sunt numite funcții de undă. Valorile definite pentru proprietățile fizice, cum ar fi energia, sau impulsul, corespund
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
test "f" pe un domeniu Ω: Atunci când mulțimea formată dintr-un singur punct, aceasta se reduce la distribuția Dirac, notată cu δ, care asociază unei funcții test "f" valoarea sa în punctul . Distribuțiile sunt un instrument puternic de rezolvare a ecuațiilor diferențiale. Deoarece toate noțiunile analitice standard cum ar fi derivatele sunt liniare, ele se extind în mod natural în spațiul distribuțiilor. Prin urmare, ecuația în cauză poate fi transferată într-un spațiu de distribuție, care este mai mare decât spațiul
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
unei funcții test "f" valoarea sa în punctul . Distribuțiile sunt un instrument puternic de rezolvare a ecuațiilor diferențiale. Deoarece toate noțiunile analitice standard cum ar fi derivatele sunt liniare, ele se extind în mod natural în spațiul distribuțiilor. Prin urmare, ecuația în cauză poate fi transferată într-un spațiu de distribuție, care este mai mare decât spațiul funcțional de bază, astfel că sunt disponibile mai multe metode flexibile pentru rezolvarea ecuației. De exemplu, și sunt, de obicei, distributii, mai degrabă decât
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
se extind în mod natural în spațiul distribuțiilor. Prin urmare, ecuația în cauză poate fi transferată într-un spațiu de distribuție, care este mai mare decât spațiul funcțional de bază, astfel că sunt disponibile mai multe metode flexibile pentru rezolvarea ecuației. De exemplu, și sunt, de obicei, distributii, mai degrabă decât funcții propriu-zise, și pot fi apoi folosite pentru a găsi soluții ale ecuației cu condițiile la limită prescrise. Soluția găsită poate atunci, în unele cazuri, demonstrată a fi de fapt
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
mai mare decât spațiul funcțional de bază, astfel că sunt disponibile mai multe metode flexibile pentru rezolvarea ecuației. De exemplu, și sunt, de obicei, distributii, mai degrabă decât funcții propriu-zise, și pot fi apoi folosite pentru a găsi soluții ale ecuației cu condițiile la limită prescrise. Soluția găsită poate atunci, în unele cazuri, demonstrată a fi de fapt o funcție adevărată, și o soluție pentru ecuația originală (de exemplu, folosind , o consecință a ). Dezvoltarea unei funcții periodice într-o sumă de
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
mai degrabă decât funcții propriu-zise, și pot fi apoi folosite pentru a găsi soluții ale ecuației cu condițiile la limită prescrise. Soluția găsită poate atunci, în unele cazuri, demonstrată a fi de fapt o funcție adevărată, și o soluție pentru ecuația originală (de exemplu, folosind , o consecință a ). Dezvoltarea unei funcții periodice într-o sumă de funcții trigonometrice formează o "serie Fourier", o tehnică des utilizată în fizică și inginerie. Spațiul vectorial este, de obicei, spațiul Hilbert "L"(0, 2π), pentru
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]