1,516 matches
-
de aplicații de succes în lumea reală. Ideea că teoremele decurg din postulate nu se confirmă la o simplă observație. Dacă teorema pitagoreică nu ar fi fost găsită ca urmare a unui postulat, încă am căuta un mod să alterăm postulatul până am face-o adevărată. Postulatele lui Euclid au venit din teorema pitagoreică, nu pe altă cale. De mai bine de 30 de ani am făcut observația că, dacă vii în cabinetul meu și-mi arăți o demonstrație că teorema
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
reală. Ideea că teoremele decurg din postulate nu se confirmă la o simplă observație. Dacă teorema pitagoreică nu ar fi fost găsită ca urmare a unui postulat, încă am căuta un mod să alterăm postulatul până am face-o adevărată. Postulatele lui Euclid au venit din teorema pitagoreică, nu pe altă cale. De mai bine de 30 de ani am făcut observația că, dacă vii în cabinetul meu și-mi arăți o demonstrație că teorema lui Cauchy este falsă, aș fi
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
primul mare fizician. El a fost cel care a descoperit că trăim în ceea ce matematicienii numesc L2 suma pătratelor celor două laturi unui triunghi dreptunghic ne dă pătratul ipotenuzei. Așa cum am afirmat mai înainte, acesta nu este un rezultat al postulatului geometriei, ci este unul din rezultatele care modelează postulatele. Să-l luăm apoi pe Galileo. Nu cu mult timp înainte, încercam să mă imaginez în locul lui Galileo, ca să spun așa, încât să pot simți cum a ajuns el să descopere
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
descoperit că trăim în ceea ce matematicienii numesc L2 suma pătratelor celor două laturi unui triunghi dreptunghic ne dă pătratul ipotenuzei. Așa cum am afirmat mai înainte, acesta nu este un rezultat al postulatului geometriei, ci este unul din rezultatele care modelează postulatele. Să-l luăm apoi pe Galileo. Nu cu mult timp înainte, încercam să mă imaginez în locul lui Galileo, ca să spun așa, încât să pot simți cum a ajuns el să descopere legea corpurilor în cădere. Încerc să fac astfel de
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
construcții matematice extrem de formalizate și de speculative, care s-au îndepărtat aparent de tradițiile clasice ale conviețuirii fizicii cu matematica. Vom regăsi dezbătute aceste aspecte în articolul care urmează. Sunt interesante, deși discutabile, și opiniile autorului privitoare la rolul fundamentelor (postulate, axiome) în construcția matematică. De fapt, matematicianul nu se poate desprinde de fundamentele logice ale științei sale, și nici nu se poate dedica exclusiv raționamentului empiric. Axiomele sau postulatele sunt definiții ale noțiunilor care operează în matematică și fără de care
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
Sunt interesante, deși discutabile, și opiniile autorului privitoare la rolul fundamentelor (postulate, axiome) în construcția matematică. De fapt, matematicianul nu se poate desprinde de fundamentele logice ale științei sale, și nici nu se poate dedica exclusiv raționamentului empiric. Axiomele sau postulatele sunt definiții ale noțiunilor care operează în matematică și fără de care domeniul nu ar avea o consistență științifică. Are matematica pură vreo legătură cu științele?14 Felix E. Browder Departe de a fi o varietate ezoterică a metafizicii, matematica pură
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
din revoluțiile fundamentale în evoluția matematicii, care va face posibile teoriile matematizate ale fizicii secolului următor. Într-adevăr, la începutul secolului al XIX-lea, modelul osificat al geometriei euclidiene era în impas, atât prin neputința sa de a stabili independența postulatului V al Elementelor lui Euclid, cât și în virtutea limitelor sale previzibile deja de a se adapta noilor teorii fizice, printre care termodinamica, electromagnetismul, mecanica cuantică și teoria generalizată a relativității (teoria gravitației). Perfect pentru mecanica newtoniană, modelul euclidian se va
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
geometriei și să facă enumerarea lor completă; or, în raționamentele în care spiritul nostru rămâne activ, în acelea în care intuiția încă joacă un rol, în raționamentele vii, ca să spunem așa, este dificil să nu introduci o axiomă sau un postulat care să treacă neobservat. Așa încât, abia după ce toate raționamentele geometrice au fost aduse la o formă pur mecanică a putut fi sigur că îi reușise proiectul și că își desăvârșise opera. Ceea ce Hilbert făcuse pentru geometrie, alții au vrut să
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
raportăm mai întâi la un articol al dlui Couturat asupra definițiilor matematice, care a apărut în Învățământul matematic 8 [t.n.], revistă publicată la Gauthier-Villars și la Georg în Geneva. Vom vedea acolo distincția între definiția directă și definiția prin postulate. Definiția prin postulate, spune dl Couturat, nu se aplică unei singure noțiuni, ci unui sistem de noțiuni; ea consistă în enumerarea relațiilor fundamentale care le unește și care permit demonstrarea tuturor celorlalte proprietăți ale sale; aceste relații sunt postulate..." Dacă
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
la un articol al dlui Couturat asupra definițiilor matematice, care a apărut în Învățământul matematic 8 [t.n.], revistă publicată la Gauthier-Villars și la Georg în Geneva. Vom vedea acolo distincția între definiția directă și definiția prin postulate. Definiția prin postulate, spune dl Couturat, nu se aplică unei singure noțiuni, ci unui sistem de noțiuni; ea consistă în enumerarea relațiilor fundamentale care le unește și care permit demonstrarea tuturor celorlalte proprietăți ale sale; aceste relații sunt postulate..." Dacă toate aceste noțiuni
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
care le unește și care permit demonstrarea tuturor celorlalte proprietăți ale sale; aceste relații sunt postulate..." Dacă toate aceste noțiuni au fost definite în prealabil, mai puțin una, atunci aceasta din urmă va fi, prin definiție, obiectul care verifică aceste postulate. Astfel, anumite axiome ale matematicii care nu pot fi demonstrate nu ar fi decât definiții mascate. Acest punct de vedere este deseori legitim; și l-am admis și eu în ceea ce privește, de exemplu, postulatul lui Euclid. Celelalte axiome ale geometriei nu
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
fi, prin definiție, obiectul care verifică aceste postulate. Astfel, anumite axiome ale matematicii care nu pot fi demonstrate nu ar fi decât definiții mascate. Acest punct de vedere este deseori legitim; și l-am admis și eu în ceea ce privește, de exemplu, postulatul lui Euclid. Celelalte axiome ale geometriei nu sunt suficiente pentru a defini complet distanța; atunci, distanța va fi prin definiție între toate mărimile care satisfac aceste alte axiome cea care face ca postulatul lui Euclid să fie adevărat. Ei bine
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
am admis și eu în ceea ce privește, de exemplu, postulatul lui Euclid. Celelalte axiome ale geometriei nu sunt suficiente pentru a defini complet distanța; atunci, distanța va fi prin definiție între toate mărimile care satisfac aceste alte axiome cea care face ca postulatul lui Euclid să fie adevărat. Ei bine, logicienii admit pentru principiul inducției complete ceea ce eu admit pentru postulatul lui Euclid; nu vor să-l vadă decât ca pe o definiție mascată. Dar pentru a avea acest drept, trebuie îndeplinite două
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
a defini complet distanța; atunci, distanța va fi prin definiție între toate mărimile care satisfac aceste alte axiome cea care face ca postulatul lui Euclid să fie adevărat. Ei bine, logicienii admit pentru principiul inducției complete ceea ce eu admit pentru postulatul lui Euclid; nu vor să-l vadă decât ca pe o definiție mascată. Dar pentru a avea acest drept, trebuie îndeplinite două condiții. Stuart Mill spunea că orice definiție implică o axiomă, aceea prin care se afirmă existența obiectului definit
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
matematică, cuvântul a exista nu poate avea decât un sens, înseamnă lipsit de contradicție. Astfel ajustat, gândul lui Stuart Mill devine exact; definind un obiect, se afirmă că definiția nu implică o contradicție. Deci, dacă am avea un sistem de postulate și dacă am putea demonstra că aceste postulate nu implică o contradicție, atunci am avea dreptul să le considerăm ca reprezentând definiția uneia din noțiunile conținute de acesta. Dacă nu putem demonstra acest lucru, atunci trebuie să-l admitem fără
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
un sens, înseamnă lipsit de contradicție. Astfel ajustat, gândul lui Stuart Mill devine exact; definind un obiect, se afirmă că definiția nu implică o contradicție. Deci, dacă am avea un sistem de postulate și dacă am putea demonstra că aceste postulate nu implică o contradicție, atunci am avea dreptul să le considerăm ca reprezentând definiția uneia din noțiunile conținute de acesta. Dacă nu putem demonstra acest lucru, atunci trebuie să-l admitem fără demonstrație și, în acest caz, va fi o
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
le considerăm ca reprezentând definiția uneia din noțiunile conținute de acesta. Dacă nu putem demonstra acest lucru, atunci trebuie să-l admitem fără demonstrație și, în acest caz, va fi o axiomă; astfel încât, dacă am dori să căutăm definiția sub postulat, am regăsi și axioma sub definiție. De cele mai multe ori, pentru a demonstra că o definiție nu implică o contradicție, procedăm prin exemple, căutăm să formăm un exemplu de obiect care satisface definiția. Să luăm cazul unei definiții prin postulate: vrem
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
sub postulat, am regăsi și axioma sub definiție. De cele mai multe ori, pentru a demonstra că o definiție nu implică o contradicție, procedăm prin exemple, căutăm să formăm un exemplu de obiect care satisface definiția. Să luăm cazul unei definiții prin postulate: vrem să definim o noțiune A și spunem că, prin definiție, A este oricare obiect pentru care anumite postulate sunt adevărate. Dacă putem demonstra în mod direct că toate aceste postulate sunt adevărate pentru un obiect oarecare B, atunci definiția
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
o contradicție, procedăm prin exemple, căutăm să formăm un exemplu de obiect care satisface definiția. Să luăm cazul unei definiții prin postulate: vrem să definim o noțiune A și spunem că, prin definiție, A este oricare obiect pentru care anumite postulate sunt adevărate. Dacă putem demonstra în mod direct că toate aceste postulate sunt adevărate pentru un obiect oarecare B, atunci definiția va fi justificată; obiectul B va fi un exemplu pentru A. Vom fi siguri că postulatele nu sunt contradictorii
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
care satisface definiția. Să luăm cazul unei definiții prin postulate: vrem să definim o noțiune A și spunem că, prin definiție, A este oricare obiect pentru care anumite postulate sunt adevărate. Dacă putem demonstra în mod direct că toate aceste postulate sunt adevărate pentru un obiect oarecare B, atunci definiția va fi justificată; obiectul B va fi un exemplu pentru A. Vom fi siguri că postulatele nu sunt contradictorii, deoarece există cazuri în care toate sunt adevărate la un moment dat
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
pentru care anumite postulate sunt adevărate. Dacă putem demonstra în mod direct că toate aceste postulate sunt adevărate pentru un obiect oarecare B, atunci definiția va fi justificată; obiectul B va fi un exemplu pentru A. Vom fi siguri că postulatele nu sunt contradictorii, deoarece există cazuri în care toate sunt adevărate la un moment dat. Dar o asemenea demonstrație directă prin exemple nu este întotdeauna posibilă. Pentru a stabili că postulatele nu implică o contradicție, trebuie să luăm în calcul
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
fi un exemplu pentru A. Vom fi siguri că postulatele nu sunt contradictorii, deoarece există cazuri în care toate sunt adevărate la un moment dat. Dar o asemenea demonstrație directă prin exemple nu este întotdeauna posibilă. Pentru a stabili că postulatele nu implică o contradicție, trebuie să luăm în calcul toate propozițiile pe care le putem deduce din aceste postulate considerate ca premise și să arătăm că printre aceste propoziții nu există două în care una să o contrazică pe cealaltă
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
sunt adevărate la un moment dat. Dar o asemenea demonstrație directă prin exemple nu este întotdeauna posibilă. Pentru a stabili că postulatele nu implică o contradicție, trebuie să luăm în calcul toate propozițiile pe care le putem deduce din aceste postulate considerate ca premise și să arătăm că printre aceste propoziții nu există două în care una să o contrazică pe cealaltă. Dacă aceste propoziții sunt în număr finit, este posibilă o verificare directă. Dar acest caz este rar și, de
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
reușit. Mai este și o a doua condiție. Atunci când dăm o definiție, o facem pentru a ne folosi de ea. În continuarea discursului vom găsi, așadar, cuvântul definit; pornind de la obiectul reprezentat de acest cuvânt, avem oare dreptul să enunțăm postulatul care a servit drept definiție? Da, evident, dacă cuvântul și-a păstrat sensul, dacă nu i-am atribuit în mod implicit un sens diferit. Or, acest lucru se mai întâmplă uneori, și de cele mai multe ori este dificil să-ți dai
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
nu este adesea decât imaginea sa rudimentară. A spune că acest obiect satisface, cel puțin aproximativ, definiția, înseamnă să enunți un adevăr nou pe care doar experiența îl poate pune în afara oricărei îndoieli și care nu mai are caracterul unui postulat convențional. Dar, fără a ieși din cadrul matematicii pure, întâlnim din nou aceeași dificultate. Dați o definiție subtilă unui număr; apoi, odată această definiție dată, nu vă mai gândiți la ea; deoarece, în realitate, nu ea v-a învățat ce este
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]