9,239 matches
-
În acest sens, a fost atins un obiectiv al fizicii teoretice (datând din secolul 18 de la Johann Bernoulli): găsirea unei analogii între propagarea luminii și mișcarea unei particule. Ecuația de undă pentru sistemele mecanice este similară, dar nu identică, cu ecuația lui Schrödinger; din acest motiv, ecuația Hamilton-Jacobi înlesnește abordarea mecanicii cuantice, pornind de la mecanica clasică. este o ecuație cu derivate parțiale neliniare de ordinul întâi pentru o funcție formula 1, numită funcția principală a lui Hamilton: Această ecuație derivă din mecanica
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
un obiectiv al fizicii teoretice (datând din secolul 18 de la Johann Bernoulli): găsirea unei analogii între propagarea luminii și mișcarea unei particule. Ecuația de undă pentru sistemele mecanice este similară, dar nu identică, cu ecuația lui Schrödinger; din acest motiv, ecuația Hamilton-Jacobi înlesnește abordarea mecanicii cuantice, pornind de la mecanica clasică. este o ecuație cu derivate parțiale neliniare de ordinul întâi pentru o funcție formula 1, numită funcția principală a lui Hamilton: Această ecuație derivă din mecanica Hamiltoniană prin tratarea funcției formula 3 ca
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
găsirea unei analogii între propagarea luminii și mișcarea unei particule. Ecuația de undă pentru sistemele mecanice este similară, dar nu identică, cu ecuația lui Schrödinger; din acest motiv, ecuația Hamilton-Jacobi înlesnește abordarea mecanicii cuantice, pornind de la mecanica clasică. este o ecuație cu derivate parțiale neliniare de ordinul întâi pentru o funcție formula 1, numită funcția principală a lui Hamilton: Această ecuație derivă din mecanica Hamiltoniană prin tratarea funcției formula 3 ca funcție generatoare pentru o tranformare canonică a Hamiltonianului formula 4. Impulsul generalizat corespunzător
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
nu identică, cu ecuația lui Schrödinger; din acest motiv, ecuația Hamilton-Jacobi înlesnește abordarea mecanicii cuantice, pornind de la mecanica clasică. este o ecuație cu derivate parțiale neliniare de ordinul întâi pentru o funcție formula 1, numită funcția principală a lui Hamilton: Această ecuație derivă din mecanica Hamiltoniană prin tratarea funcției formula 3 ca funcție generatoare pentru o tranformare canonică a Hamiltonianului formula 4. Impulsul generalizat corespunzător primei derivate a funcției formula 3, în funcție de coordonatele generalizate este: Schimarea în acțiune de la o traiectorie la alta apropiată este
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
mecanica Hamiltoniană prin tratarea funcției formula 3 ca funcție generatoare pentru o tranformare canonică a Hamiltonianului formula 4. Impulsul generalizat corespunzător primei derivate a funcției formula 3, în funcție de coordonatele generalizate este: Schimarea în acțiune de la o traiectorie la alta apropiată este dată de ecuația: Deoarece traiectoria mișcării actuale satisface ecuația Euler-Lagrange, variația formula 8 este zero. În primul termen al ecuației punem formula 9, iar valoarea formula 10 o notăm simplu prin formula 11. Înlocuind formula 12 prin formula 13, obținem în final: Pornind de la această relație urmează că, derivatele
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
ca funcție generatoare pentru o tranformare canonică a Hamiltonianului formula 4. Impulsul generalizat corespunzător primei derivate a funcției formula 3, în funcție de coordonatele generalizate este: Schimarea în acțiune de la o traiectorie la alta apropiată este dată de ecuația: Deoarece traiectoria mișcării actuale satisface ecuația Euler-Lagrange, variația formula 8 este zero. În primul termen al ecuației punem formula 9, iar valoarea formula 10 o notăm simplu prin formula 11. Înlocuind formula 12 prin formula 13, obținem în final: Pornind de la această relație urmează că, derivatele parțiale ale acțiunii în funcție de coordonate sunt
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
Impulsul generalizat corespunzător primei derivate a funcției formula 3, în funcție de coordonatele generalizate este: Schimarea în acțiune de la o traiectorie la alta apropiată este dată de ecuația: Deoarece traiectoria mișcării actuale satisface ecuația Euler-Lagrange, variația formula 8 este zero. În primul termen al ecuației punem formula 9, iar valoarea formula 10 o notăm simplu prin formula 11. Înlocuind formula 12 prin formula 13, obținem în final: Pornind de la această relație urmează că, derivatele parțiale ale acțiunii în funcție de coordonate sunt egale cu impulsurile generalizate corespunzătoare. Similar, coordonatele generalizate pot fi
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
unui sistem mecanic, adică, putem determina coordonatele generalizate ca funcții de timp. Pozițiile și vitezele inițiale apar drept constante de integrare ale soluției formula 3, corespunzând mărimilor care se conservă în timpul evoluției sistemului mecanic, precum energia, momentul unghiular, sau vectorul Laplace-Runge-Lenz. Ecuația Hamilton-Jacobi este o ecuație cu derivate parțiale de ordinul întâi a acțiunii formula 3 în funcție de formula 18 coordonate generalizate formula 19 și timpul "t". Impulsurile generalizate nu apar în formula 3, ci numai în derivatele lui formula 3. Remarcabil este faptul că, funcția formula 3 este
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
putem determina coordonatele generalizate ca funcții de timp. Pozițiile și vitezele inițiale apar drept constante de integrare ale soluției formula 3, corespunzând mărimilor care se conservă în timpul evoluției sistemului mecanic, precum energia, momentul unghiular, sau vectorul Laplace-Runge-Lenz. Ecuația Hamilton-Jacobi este o ecuație cu derivate parțiale de ordinul întâi a acțiunii formula 3 în funcție de formula 18 coordonate generalizate formula 19 și timpul "t". Impulsurile generalizate nu apar în formula 3, ci numai în derivatele lui formula 3. Remarcabil este faptul că, funcția formula 3 este egală cu acțiunea clasică
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
de ordinul întâi a acțiunii formula 3 în funcție de formula 18 coordonate generalizate formula 19 și timpul "t". Impulsurile generalizate nu apar în formula 3, ci numai în derivatele lui formula 3. Remarcabil este faptul că, funcția formula 3 este egală cu acțiunea clasică. Pentru comparație, în ecuația de mișcare echivalentă Euler-Lagrange din mecanica Lagrangiană, de asemenea nu apar impulsurile generalizate, cu toate acestea, formează un sistem de N ecuații cu derivate de ordinul doi în funcție de coordonatele generalizate și timp. O altă comparație este aceea cu ecuația de
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
în derivatele lui formula 3. Remarcabil este faptul că, funcția formula 3 este egală cu acțiunea clasică. Pentru comparație, în ecuația de mișcare echivalentă Euler-Lagrange din mecanica Lagrangiană, de asemenea nu apar impulsurile generalizate, cu toate acestea, formează un sistem de N ecuații cu derivate de ordinul doi în funcție de coordonatele generalizate și timp. O altă comparație este aceea cu ecuația de mișcare a lui Hamilton, care este de fapt un sistem de 2N ecuații de ordinul întâi în funcție de coordonatele generalizate, impulsurile generalizate formula 23
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
în ecuația de mișcare echivalentă Euler-Lagrange din mecanica Lagrangiană, de asemenea nu apar impulsurile generalizate, cu toate acestea, formează un sistem de N ecuații cu derivate de ordinul doi în funcție de coordonatele generalizate și timp. O altă comparație este aceea cu ecuația de mișcare a lui Hamilton, care este de fapt un sistem de 2N ecuații de ordinul întâi în funcție de coordonatele generalizate, impulsurile generalizate formula 23 și timp. Deoarece ecuația Hamilton-Jacobi este o expresie echivalentă a problemelor de miminizare a integralelor, precum principiul
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
generalizate, cu toate acestea, formează un sistem de N ecuații cu derivate de ordinul doi în funcție de coordonatele generalizate și timp. O altă comparație este aceea cu ecuația de mișcare a lui Hamilton, care este de fapt un sistem de 2N ecuații de ordinul întâi în funcție de coordonatele generalizate, impulsurile generalizate formula 23 și timp. Deoarece ecuația Hamilton-Jacobi este o expresie echivalentă a problemelor de miminizare a integralelor, precum principiul lui Hamilton, ea poate fi folositoare și în alte probleme de calcul variațional, sau
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
ordinul doi în funcție de coordonatele generalizate și timp. O altă comparație este aceea cu ecuația de mișcare a lui Hamilton, care este de fapt un sistem de 2N ecuații de ordinul întâi în funcție de coordonatele generalizate, impulsurile generalizate formula 23 și timp. Deoarece ecuația Hamilton-Jacobi este o expresie echivalentă a problemelor de miminizare a integralelor, precum principiul lui Hamilton, ea poate fi folositoare și în alte probleme de calcul variațional, sau mai general, în alte ramuri ale matematicii sau fizicii, precum sistemele dinamice, geometria
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
problemelor de miminizare a integralelor, precum principiul lui Hamilton, ea poate fi folositoare și în alte probleme de calcul variațional, sau mai general, în alte ramuri ale matematicii sau fizicii, precum sistemele dinamice, geometria simplectică sau haosului cuantic. De exemplu, ecuația Hamilton-Jacobi este folositoare la determinarea geodezicelor pe o mulțime Riemanniană, care este o problemă importantă variațională din geometria Riemanniană. Pentru a fi conciși, folosim variabile îngroșate, precum formula 24, pentru a reprezenta cele formula 25 coordonate generalizate: care nu se transformă neapărat
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
formula 25 coordonate generalizate: care nu se transformă neapărat printr-o rotație ca un vector. Produsul scalar este definit aici drept suma produselor componentelor corespunzătoare, adică: Orice transformare canonică implică o funcție generatoare formula 28, care conduce la relațiile: Pentru a deriva ecuația Hamilton-Jacobi, alegem o funcție generatoare formula 30 care face noul Hamiltonian formula 31 egal cu zero. Astfel că, toate derivatele sale sunt de asemenea zero, iar Hamiltonianul devine trivial: adică, noile coordonate și impulsuri generalizate sunt constante. Noul impuls generalizat formula 33 este
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
care face noul Hamiltonian formula 31 egal cu zero. Astfel că, toate derivatele sale sunt de asemenea zero, iar Hamiltonianul devine trivial: adică, noile coordonate și impulsuri generalizate sunt constante. Noul impuls generalizat formula 33 este notat prin formula 34, adică, formula 35. Atunci, ecuația Hamilton-Jacobi rezultă din ecuația transformată formula 31: care este echivalentă cu ecuația: deoarece formula 39. Noile coordonate generalizate formula 40 sunt de asemenea constante, notate cu formula 41. Odată ce le-am rezolvat pentru formula 42, se obțin ecuațiile: sau, pentru claritate, scrise pentru componentele lui
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
formula 31 egal cu zero. Astfel că, toate derivatele sale sunt de asemenea zero, iar Hamiltonianul devine trivial: adică, noile coordonate și impulsuri generalizate sunt constante. Noul impuls generalizat formula 33 este notat prin formula 34, adică, formula 35. Atunci, ecuația Hamilton-Jacobi rezultă din ecuația transformată formula 31: care este echivalentă cu ecuația: deoarece formula 39. Noile coordonate generalizate formula 40 sunt de asemenea constante, notate cu formula 41. Odată ce le-am rezolvat pentru formula 42, se obțin ecuațiile: sau, pentru claritate, scrise pentru componentele lui formula 40: Aceste formula 25 ecuații
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
derivatele sale sunt de asemenea zero, iar Hamiltonianul devine trivial: adică, noile coordonate și impulsuri generalizate sunt constante. Noul impuls generalizat formula 33 este notat prin formula 34, adică, formula 35. Atunci, ecuația Hamilton-Jacobi rezultă din ecuația transformată formula 31: care este echivalentă cu ecuația: deoarece formula 39. Noile coordonate generalizate formula 40 sunt de asemenea constante, notate cu formula 41. Odată ce le-am rezolvat pentru formula 42, se obțin ecuațiile: sau, pentru claritate, scrise pentru componentele lui formula 40: Aceste formula 25 ecuații pot fi inversate pentru a găsi coordonatele
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
este notat prin formula 34, adică, formula 35. Atunci, ecuația Hamilton-Jacobi rezultă din ecuația transformată formula 31: care este echivalentă cu ecuația: deoarece formula 39. Noile coordonate generalizate formula 40 sunt de asemenea constante, notate cu formula 41. Odată ce le-am rezolvat pentru formula 42, se obțin ecuațiile: sau, pentru claritate, scrise pentru componentele lui formula 40: Aceste formula 25 ecuații pot fi inversate pentru a găsi coordonatele generalizate originale formula 24 ca funcții de constantele formula 48 și formula 49, astfel putând rezolva problema originală. Ecuația Hamilton-Jacobi este foarte folositoare când poate
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
ecuația transformată formula 31: care este echivalentă cu ecuația: deoarece formula 39. Noile coordonate generalizate formula 40 sunt de asemenea constante, notate cu formula 41. Odată ce le-am rezolvat pentru formula 42, se obțin ecuațiile: sau, pentru claritate, scrise pentru componentele lui formula 40: Aceste formula 25 ecuații pot fi inversate pentru a găsi coordonatele generalizate originale formula 24 ca funcții de constantele formula 48 și formula 49, astfel putând rezolva problema originală. Ecuația Hamilton-Jacobi este foarte folositoare când poate fi rezolvată via variabilelor separabile aditive, care identifică direct constantele de
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
am rezolvat pentru formula 42, se obțin ecuațiile: sau, pentru claritate, scrise pentru componentele lui formula 40: Aceste formula 25 ecuații pot fi inversate pentru a găsi coordonatele generalizate originale formula 24 ca funcții de constantele formula 48 și formula 49, astfel putând rezolva problema originală. Ecuația Hamilton-Jacobi este foarte folositoare când poate fi rezolvată via variabilelor separabile aditive, care identifică direct constantele de mișcare. De exemplu, timpul t poate fi separat dacă Hamiltonianul nu depinde explicit de timp. Î acest caz, derivata funcție de timp formula 50 trebuie
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
Hamiltonianul nu depinde explicit de timp. Î acest caz, derivata funcție de timp formula 50 trebuie să fie o constantă, notată cu formula 51, dând soluția: în care, funcția independentă de timp formula 53 este numită uneori și funcția caracteristică a lui Hamilton. Atunci, ecuația Hamilton-Jacobi redusă poate fi scrisă astfel: Pentru a ilustra separabilitatea și pentru alte variabile presupunem că, oricare coordonată generalizată formula 55 și derivata ei formula 56 apar împreună în Hamiltonian ca o singură funcție formula 57, iar H se scrie: În acest caz
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
Hamiltonian ca o singură funcție formula 57, iar H se scrie: În acest caz, funcția formula 3 poate fi despărțită în două funcții, una care depinde numai de formula 55 și alta care depinde numai de coordonatele generalizate rămase: Substituția acestor formule în ecuația Hamiton-Jacobi arată că funcția formula 62 trebuie să fie o constantă, aici notată cu formula 63, obținând o ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi pentru formula 64: În anumite cazuri, funcția formula 3 poate fi separată complet în formula 25 funcții formula 68, obținând: În astfel
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
despărțită în două funcții, una care depinde numai de formula 55 și alta care depinde numai de coordonatele generalizate rămase: Substituția acestor formule în ecuația Hamiton-Jacobi arată că funcția formula 62 trebuie să fie o constantă, aici notată cu formula 63, obținând o ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi pentru formula 64: În anumite cazuri, funcția formula 3 poate fi separată complet în formula 25 funcții formula 68, obținând: În astfel de cazuri, problema se rezolvă prin formula 25 ecuații diferențiale ordinare. Separabilitatea funcției formula 3 depinde de Hamiltonian și
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]